最新人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案全章.docx
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最新人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案全章
第十七章勾股定理
第一课时17.1勾股定理
(1)
学习目标:
1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。
学习重点:
勾股定理的内容及证明。
学习难点:
勾股定理的证明。
学习过程:
一、自主学习
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
(勾3,股4,弦5)。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:
“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42_____52,52+122_____132,那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)
对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
勾股定理内容
文字表述:
几何表述:
二、交流展示
例1、已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为
a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
⑴准备多个三角形模型,利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:
4S△+S小正=S大正
即4×
×+﹝﹞2=c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达300余种。
这个古老而精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________
右边S=_____________
左边和右边面积相等,即
_________________________
化简可得
_______________________
三、合作探究
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
⑴c=。
(已知a、b,求c)
⑵a=。
(已知b、c,求a)
⑶b=。
(已知a、c,求b)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19,b、c
192+b2=c2
3.△ABC的三边a、b、c,
(1)若满足b2=a2+c2,则=90°;
(2)若满足b2>c2+a2,则∠B是角;
(3)若满足b2<c2+a2,则∠B是角。
四、达标测试
1.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是()
2.斜边长为25B.三角形的周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20
3.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为()
A.4B.8C.10D.12
4.直角三角形的两直角边的长分别是5和12,则其斜边上的高的长为()
A.6B.8C.
D.
5、已知,如图1-1-5,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求CFCE
第二课时17.1勾股定理
(2)
教学目标:
1.会用勾股定理进行简单的计算。
2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。
重难点:
1.重点:
勾股定理的简单计算。
2.难点:
勾股定理的灵活运用。
一、自主学习
1.勾股定理的具体内容是:
。
2.如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线与斜边的关系:
;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边的关系:
;
⑷三边之间的关系:
。
二、交流展示
例1、在Rt△ABC,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2,求b。
⑶已知c=17,b=8,求a。
⑷已知a:
b=1:
2,c=5,求a。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。
分析:
刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。
⑴已知_________边,求________边,直接用_______定理。
⑵⑶已知_____边和_______边,求__________边,用勾股定理的变形式。
⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
分析:
已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。
三、合作探究
例3、已知:
如图,等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高.⑵求S△ABC。
分析:
勾股定理的使用范围是在_________三角形中,因此注意要
创造_______三角形,作____是常用的创造______三角形的辅助线做法。
欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中。
四、达标测试
1.填空题
⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=。
⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=。
⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:
b=3:
4,则a=,b=。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。
⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为。
2.已知:
如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=
,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。
3.已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,
AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。
第三课时17.1勾股定理(3)
学习目标:
1.会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.树立数形结合的思想。
重点:
勾股定理的应用。
难点:
实际问题向数学问题的转化。
学习过程:
一、自主学习
填空:
在Rt△ABC,∠C=90°,
⑴如果a=7,c=25,则b=。
⑵如果∠A=30°,a=4,则b=。
⑶如果∠A=45°,a=3,则c=。
⑷如果c=10,a-b=2,则b=。
⑸如果a、b、c是连续整数,则a+b+c=。
⑹如果b=8,a:
c=3:
5,则c=。
二、交流展示
例1(教材P25页例1)
分析:
⑴在实际问题向数学问题的转化过程中,注意勾股定理的使用条件,即门框为长方形,四个角都是直角。
⑵探讨图中有几个直角三角形?
图中标字母的线段哪条最长?
⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度,只记长度,探讨以何种方式通过?
⑷转化为勾股定理的计算,采用多种方法。
⑸小结深化数学建模思想,激发兴趣。
三、合作探究
例2(教材P25页例2)
如图,一个3米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米,那么梯子底端B也外移0.5米吗?
(计算结果保留两位小数)
分析:
要求出梯子的底端B是否也外移0.5米,实际就是求BD的长,而BD=OD-OB
四、达标测试
1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。
2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是4
米,则这两株树之间的垂直距离是
米,水平距离是米。
3.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。
2题图3题图4题图5题图
4.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°,则江面的宽度为。
5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ=厘米。
6.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为米。
7.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?
8.如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24米,∠B=∠C=30°,E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的长度。
(精确到1米)
第四课时17.1勾股定理(4)
教学目标1.会用勾股定理解决较综合的问题。
2.树立数形结合的思想。
重难点1.重点:
勾股定理的综合应用。
2.难点:
勾股定理的综合应用。
一、自主学习
如图,水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.
例4(教材P26页探究)
分析:
利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
(变式训练:
在数轴上画出表示
的点。
)
二、交流展示
例1:
已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,
CD=
,求线段AB的长。
分析:
本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”需要掌握的知识点有:
3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°或45°特殊角的特殊性质等。
三、合作探究
1、探究:
我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示
的点吗?
分析:
(1)若能画出长为
的线段,就能在数轴上画出表示
的点.
(2)由勾股定理知,直角边为1的等腰Rt△,斜边为
.因此在数轴上能表示
的点.那么长为
的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?
在数轴上画出表示
的点?
(尺规作图)
2、如图:
螺旋状图形是由若干个直角
三角形所组成的,其中①是直角边长为1的
等腰直角三角形。
那么OA1=,OA2=,OA3=,OA4=,
OA5=,OA6=,OA7=,…,OA14=,…,OAn=.
四、达标测试
1.△ABC中,AB=AC=25cm,高AD=20cm,则BC=,S△ABC=。
2.△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,AC=
cm,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,BC=,S△ABC=。
3.△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=
,CD⊥AB于D,则AC=,CD=,BD=,AD=,S△ABC=。
4.已知:
如图,在△ABC中,AD
BC于D,AB=6,AC=4,BC=8,求BD,DC的长.
5、已知:
如图,四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°
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