正方形与全等模型无答案.docx
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正方形与全等模型无答案
正方形与全等模型
1.(垂直相等)如图,在正方形ABCD中.
(1)若点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.试判断DE与CF的数量及位置关系,并说明理由;
(2)若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点,PQ与MN相交,且PQ=MN,问PQ⊥MN成立吗?
为什么?
2、如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H,连接BM.
(1)求直线AC的解析式;
(2)动点P从点A出发,沿折线ABC的方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)动点P从点A出发,沿线段AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当∠MPB与∠BCO互为余角时,试确定t的值.
3.(三垂)如图,直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D,AM⊥MN于M,CN⊥MN于N,BR⊥MN于R.
(1)求证:
△ADM≌△DCN:
(2)求证:
MN=AM+CN(3)试猜想BR与MN的数量关系,并证明你的猜想.
4.(三垂)如图,四边形ABCD是正方形,直线l1,l2,l3分别通过A,B,C三点,且l1∥l2∥l3,若l1与l2的距离为5,l2与l3的距离为7,则正方形ABCD的面积等于?
5、△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
6.(对角互补)已知:
如图,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.E、F分别是边AB、BC上的点,若AE=4cm,CF=3cm,且OE⊥OF,则EF的长为 _________ cm.
7.(对角互补)在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为 _________ ;
(2)如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为 _________ ;位置关系为 _________ .
8.(对角互补)如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q.
(1)如图1,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系;并加以证明;
(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.
9.(对角互补)如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=
,Q为CD中点,则下列结论:
①∠PBC=∠PQD;②BP=PQ;③∠BPC=∠BQC;④正方形ABCD的面积是16;
其中正确结论的个数是( )
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
10.(对角互补)如图1,直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合,两直角边PE,PF分别和AB,AD所在的直线交于点E和F.易得△PBE≌△PDF,故结论“PE=PF”成立;
(1)如图2,若点P在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
说明理由;
(2)如图(3)将
(2)中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变,若AB=m,BC=n,直接写出
的值.
11.(对角互补)如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:
①AM=MN;②MP=
BD;③BN+DQ=NQ;④
为定值.其中一定成立的是( )
A.
①②③
B.
①②④
C.
②③④
D.
①②③④
12.(等角共顶点)
(1)如图①,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC边上一点(与点B、C不重合),连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.可猜想线段CF,BD之间的数量关系是 _________ ,位置关系是 _________ ;
(2)当点D在线段BC的延长线时,如图②,
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,
给出证明,如果不成立,说明理由
.
13.(等角共顶点)已知点O为正方形ABCD的中心,M为射线OD上一动点(M与点O,D不重合),以线段AM为一边作正方形AMEF,连接FD.
(1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系?
请判断并直接写出结果;
(2)当点M在线段OD的延长线上时(如图2),
(1)中的结论是否仍然成立?
请结合图2说明理由.
14.(等角共顶点)以△ABC的各边,在边BC的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形ABDI,BCFE,ACHG,试探究:
(1)如图中四边形ADEG是什么四边形?
并说明理由.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是正方形?
15.(等角共顶点)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=2,以AB为边作正方形ABDE,连接AD、BE交O,CO=
,则AC的长为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
16.(等角共顶点)如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,以AE为边作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:
△ADG≌△ABE;
(2)连接FC,求证:
∠FCN=45°;
(3)请问在AB边上是否存在一点Q,使得四边形DQEF是平行四边形?
若存在,请证明;若不存在,请说明理由.
17.(等角共顶点)如图1,2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.
(1)如图1,当点E在AB边的中点,N为AD边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 _________ ;
②请证明你的上述猜想.
(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的结论.
18.(对角互补分半)已知,四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H
(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?
并证明;
(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;
小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?
19.(对角互补分半)
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3
,求AG,MN的长.
20.(对角互补分半)如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,那么四边形BCFE的面积等于 _________ ;若GH与CD交点为I,那么
GBI=____________.
21.(等角共顶点拓展)如图,四边形ABCD是正方形,以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系,并说明理由.
22.(等角共顶点拓展)如图,正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形,P、Q为它们的中心,M是BC的中点,试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系?
并证明你的结论.
23.如图所示,四边形ABCD为正方形,△BEF为等腰直角三角形(∠BFE=90°,点B、E、F按逆时针顺序),P为DE的中点,连接PC、PF.
(1)如图
(1),E点在边BC上,则线段PC、PF的数量关系为 _________ ,位置关系为 _________ (不需要证明).
(2)如图
(2),将△BEF绕B点顺时针旋转α°(0<α<45),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系?
请写出你的结论并证明.
(3)如图(3),E点旋转到图中的位置,其它条件不变,完成图(3),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系?
直接写出你的结论,不需要证明.
24.(等角共顶点拓展)如图甲,操作:
把正方形CGEF的对角线,CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M.
(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,直接写出答案即可;
(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图乙),令CG=2BC其他条件不变,结论是否发生变化,并加以证明;
(2)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图丙),其他条件不变.探究:
线段MD,MF的位置及数量关系,并加以证明.
【巩固练习】
25.已知点E是正方形ABCD外的一点,EA=ED,线段BE与对角线AC相交于点F,
(1)如图1,当BF=EF时,线段AF与DE之间有怎样的数量关系?
并证明;
(2)如图2,当△EAD为等边三角形时,写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系,并证明.
26.如图1,四边形ABCD为正方形,E在CD上,∠DAE的平分线交CD于F,BG⊥AF于G,交AE于H.
(1)如图1,∠DEA=60°,求证:
AH=DF;
(2)如图2,E是线段CD上(不与C、D重合)任一点,请问:
AH与DF有何数量关系并证明你的结论;
(3)如图3,E是线段DC延长线上一点,若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点,其它条件不变,请判断AH与DF的数量关系(画图,直接写出结论,不需证明).
27.在直角坐标系中,直线y=2x+4交x轴于A,交y轴于D
(1)以A为直角顶点作等腰直角△AMD,直接写出点M的坐标为 _________
(2)以AD为边作正方形ABCD,连BD,P是线段BD上(不与B、D重合)的一点,在BD上截取PG=
,过G作GF⊥BD,交BC于F,连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系?
并证明你的结论;
(3)在
(2)中的正方形中,若∠PAG=45°,试判断线段PD、PG、BG之间有何关系,并证明你的结论.
28.如图,一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动,并使得一条直角边始终经过B点.
(1)如图1,当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点,
= _________ ;
(2)如图2,当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时,
= _________ ;
(3)如图3或图4,当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时,请你在图3或图4中任选一种情形,求
的值,并说明理由.
29.已知,如图在正方形OADC中,点C的坐标为(0,4),点A的坐标为(4,0),CD的延长线交双曲线y=
于点B.
(1)求直线AB的解析式;
(2)G为x轴的负半轴上一点连接CG,过G作GE⊥CG交直线AB于E.求证CG=GE;
(3)在
(2)的条件下,延长DA交CE的延长线于F,当G在x的负半轴上运动的过程中,请问
的值是否为定值,若是,请求出其值;若不是,请说明你的理由.
30.如图,四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限,B、C在x轴上,A点函数
上,且AB∥CD∥y轴,AD∥x轴,B(1,0)、C(3,0).
(1)试判断四边形ABCD的形状;
(2)若点P是线段BD上一点PE⊥BC于E,M是PD的中点,连EM、AM.求证:
AM=EM;
(3)在图
(2)中,连接AE交BD于N,则下列两个结论:
①
值不变;
②
的值不变.其中有且仅有一个是正确的,请选择正确的结论证明并求其值.
31、已知:
在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系.
(1)如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么;
(2)如图2,若AB=BC,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出猜想,并加以证明;
(3)如图3,若AB=kBC,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出猜想不用证明.
32、在学习三角形中位线时,为了探索三角形中位线的性质,思路如下:
第一步添加辅助线:
如图1,在△ABC中,延长DE (D、E分别是AB、AC的中点)到点F,使得EF=DE,连接CF;
第二步证明△ADE≌△CFE,再证四边形DBCF是平行四边形,从而得到DE∥BC,DE=
BC.
(2)问题解决
如图2,在正方形ABCD中,E为AD的中点,G、F分别为AB、CD边上的点,若AG=2,DF=3,∠GEF=90°,求GF的长.
(3)拓展研究
如图3,在四边形ABCD中,∠A=105°,∠D=120°,E为AD的中点,G、F分别为AB、CD边上的点,若AG=3,DF=2
,∠GEF=90°,求GF的长.
33、
34、
34、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB<BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③),图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。
⑴该学习小组成员意外的发现图①(三角板一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2,在图③中(三角板一边与OC重合),CN2=BN2+CD2,请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。
⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由
⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD,直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④,两直角边与AB、BC分别交于M、N,直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系。
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