常用数学公式汇总.docx
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常用数学公式汇总
常用数学公式汇总
一、基础代数公式
1. 平方差公式:
(a+b)×(a-b)=a2-b2
2. 完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2
完全立方公式:
(a±b)3=(a±b)(a2ab+b2)
3. 同底数幂相乘:
am×an=am+n(m、n为正整数,a≠0)
同底数幂相除:
am÷an=am-n(m、n为正整数,a≠0)
a0=1(a≠0)
a-p=(a≠0,p为正整数)
4. 等差数列:
(1)sn==na1+n(n-1)d;
(2)an=a1+(n-1)d;
(3)n=+1;
(4)若a,A,b成等差数列,则:
2A=a+b;
(5)若m+n=k+i,则:
am+an=ak+ai;
(其中:
n为项数,a1为首项,an为末项,d为公差,sn为等差数列前n项的和)
5. 等比数列:
(1)an=a1q-1;
(2)sn=(q1)
(3)若a,G,b成等比数列,则:
G2=ab;
(4)若m+n=k+i,则:
am•an=ak•ai;
(5)am-an=(m-n)d
(6)=q(m-n)
(其中:
n为项数,a1为首项,an为末项,q为公比,sn为等比数列前n项的和)
6.一元二次方程求根公式:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
其中:
x1=;x2=(b2-4ac0)
根与系数的关系:
x1+x2=-,x1•x2=
二、基础几何公式
1. 三角形:
不在同一直线上的三点可以构成一个三角形;三角形内角和等于180°;三角形中任两
边之和大于第三边、任两边之差小于第三边;
(1)角平分线:
三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
(2)三角形的中线:
连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)三角形的高:
三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段,叫做三角形的高。
(4)三角形的中位线:
连结三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线。
(5)内心:
角平分线的交点叫做内心;内心到三角形三边的距离相等。
重心:
中线的交点叫做重心;重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。
垂线:
高线的交点叫做垂线;三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。
外心:
三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
外心到三角形的三个顶点的距离相等。
直角三角形:
有一个角为90度的三角形,就是直角三角形。
直角三角形的性质:
(1)直角三角形两个锐角互余;
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(3)直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
(4)直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角是30°;
(5)直角三角形中,c2=a2+b2(其中:
a、b为两直角边长,c为斜边长);
(6)直角三角形的外接圆半径,同时也是斜边上的中线;
直角三角形的判定:
(1)有一个角为90°;
(2)边上的中线等于这条边长的一半;
(3)若c2=a2+b2,则以a、b、c为边的三角形是直角三角形;
2. 面积公式:
正方形=边长×边长;
长方形= 长×宽;
三角形=×底×高;
梯形 =;
圆形 =R2
平行四边形=底×高
扇形 = R2
正方体=6×边长×边长
长方体=2×(长×宽+宽×高+长×高);
圆柱体=2πr2+2πrh;
球的表面积=4R2
3. 体积公式
正方体=边长×边长×边长;
长方体=长×宽×高;
圆柱体=底面积×高=Sh=πr2h
圆锥 =πr2h
球 =
4. 与圆有关的公式
设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则有:
(1)d﹤r:
点在圆内(即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合);
(2)d=r:
点在圆上(即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合);
(3)d﹥r:
点在圆外(即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合);
线与圆的位置关系的性质和判定:
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么:
(1)直线与⊙O相交:
d﹤r;
(2)直线与⊙O相切:
d=r;
(3)直线与⊙O相离:
d﹥r;
圆与圆的位置关系的性质和判定:
设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,那么:
(1)两圆外离:
;
(2)两圆外切:
;
(3)两圆相交:
();
(4)两圆内切:
();
(5)两圆内含:
().
圆周长公式:
C=2πR=πd(其中R为圆半径,d为圆直径,π≈3.1415926≈);
的圆心角所对的弧长的计算公式:
=;
扇形的面积:
(1)S扇=πR2;
(2)S扇= R;
若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积:
S侧=πr;
圆锥的体积:
V=Sh=πr2h。
三、其他常用知识
1.2X、3X、7X、8X的尾数都是以4为周期进行变化的;4X、9X的尾数都是以2为周期进行变化的;
另外5X和6X的尾数恒为5和6,其中x属于自然数。
2.对任意两数a、b,如果a-b>0,则a>b;如果a-b<0,则a<b;如果a-b=0,则a=b。
当a、b为任意两正数时,如果a/b>1,则a>b;如果a/b<1,则a<b;如果a/b=1,则a=b。
当a、b为任意两负数时,如果a/b>1,则a<b;如果a/b<1,则a>b;如果a/b=1,则a=b。
对任意两数a、b,当很难直接用作差法或者作商法比较大小时,我们通常选取中间值C,如果
a>C,且C>b,则我们说a>b。
3.工程问题:
工作量=工作效率×工作时间;工作效率=工作量÷工作时间;
工作时间=工作量÷工作效率;总工作量=各分工作量之和;
注:
在解决实际问题时,常设总工作量为1。
4.方阵问题:
(1)实心方阵:
方阵总人数=(最外层每边人数)2
最外层人数=(最外层每边人数-1)×4
(2)空心方阵:
中空方阵的人数=(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2
=(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
例:
有一个3层的中空方阵,最外层有10人,问全阵有多少人?
解:
(10-3)×3×4=84(人)
5.利润问题:
(1)利润=销售价(卖出价)-成本;
利润率===-1;
销售价=成本×(1+利润率);成本=。
(2)单利问题
利息=本金×利率×时期;
本利和=本金+利息=本金×(1+利率×时期);
本金=本利和÷(1+利率×时期)。
年利率÷12=月利率;
月利率×12=年利率。
例:
某人存款2400元,存期3年,月利率为10.2‰(即月利1分零2毫),三年到期后,本利和共是多少元?
”
解:
用月利率求。
3年=12月×3=36个月
2400×(1+10.2%×36)=2400×1.3672=3281.28(元)
6.排列数公式:
P=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),(m≤n)
组合数公式:
C=P÷P=(规定=1)。
“装错信封”问题:
D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44,D6=265,
7.年龄问题:
关键是年龄差不变;
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
8.日期问题:
闰年是366天,平年是365天,其中:
1、3、5、7、8、10、12月都是31天,4、6、9、11是30天,闰年时候2月份29天,平年2月份是28天。
9.植树问题
(1)线形植树:
棵数=总长间隔+1
(2)环形植树:
棵数=总长间隔
(3)楼间植树:
棵数=总长间隔-1
(4)剪绳问题:
对折N次,从中剪M刀,则被剪成了(2N×M+1)段
10.鸡兔同笼问题:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
(一般将“每”量视为“脚数”)
得失问题(鸡兔同笼问题的推广):
不合格品数=(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)
=总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)
例:
“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?
”
解:
(4×1000-3525)÷(4+15)=475÷19=25(个)
11.盈亏问题:
(1)一次盈,一次亏:
(盈+亏)÷(两次每人分配数的差)=人数
(2)两次都有盈:
(大盈-小盈)÷(两次每人分配数的差)=人数
(3)两次都是亏:
(大亏-小亏)÷(两次每人分配数的差)=人数
(4)一次亏,一次刚好:
亏÷(两次每人分配数的差)=人数
(5)一次盈,一次刚好:
盈÷(两次每人分配数的差)=人数
例:
“小朋友分桃子,每人10个少9个,每人8个多7个。
问:
有多少个小朋友和多少个桃子?
”
解(7+9)÷(10-8)=16÷2=8(个)………………人数
10×8-9=80-9=71(个)………………桃子
12.行程问题:
(1)平均速度:
平均速度=
(2)相遇追及:
相遇(背离):
路程÷速度和=时间
追及:
路程÷速度差=时间
(3)流水行船:
顺水速度=船速+水速;
逆水速度=船速-水速。
两船相向航行时,甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
两船同向航行时,后(前)船静水速度-前(后)船静水速度=两船距离缩小(拉大)速度。
(4)火车过桥:
列车完全在桥上的时间=(桥长-车长)÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=(桥长+车长)÷列车速度
(5)多次相遇:
相向而行,第一次相遇距离甲地a千米,第二次相遇距离乙地b千米,则甲乙两地相距
S=3a-b(千米)
(6)钟表问题:
钟面上按“分针”分为60小格,时针的转速是分针的,分针每小时可追及
时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180o22次。
13.容斥原理:
A+B=+
A+B+C=+++-
其中,=E
14.牛吃草问题:
原有草量=(牛数-每天长草量)×天数,其中:
一般设每天长草量为X
数学运算见解:
1、考生首先要明确出题者的本意不是让考生来花费大量时间计算,题目多数情况是一种判断和验证过程,而不是用普通方法的计算和讨论过程,因此,往往都有简便的解题方法。
2、认真审题,快速准确地理解题意,并充分注意题中的一些关键信息;通过练习,总结各种信息的准确含义,并能够迅速反应,不用进行二次思维。
3、努力寻找解题捷径。
大多数计算题都有捷径可走,盲目计算可以得出答案,但时间浪费过多。
直接计算不是出题者的本意。
平时训练一定要找到最佳办法。
考试时,根据时间情况,个别题可以考虑使用一般方法进行计算。
但平时一定要找到最佳方法。
4、通过训练和细心总结,尽量掌握一些数学运算的技巧、方法和规则,熟悉常用的基本数学知识;
5、通过练习,针对常见题型总结其解题方法;
6、学会用排除法来提高命中率;
数学运算主要包括以下几类题型:
一、数学计算
基本解题方法:
1、尾数排除法:
先计算出尾数,然后用尾数与答案中的尾数一一对照,利用排除法得出答案;
2、简便计算:
利用加减乘除的各种简便算法得出答案。
通过下面的例题讲解,来帮助您加深对上述方法理解,学会灵活运用上述方法解题。
1、加法:
例1、425+683+544+828 A.2480B.2484C.2486D.2488
解题思路:
先将各个数字尾数相加,然后将得到的数值与答案的尾数一一对照得出答案。
尾数相加确定答案的尾数为0,BCD都不符合,用排除法得答案A;
例2、1995+1996+1997+1998+1999+2000
A.11985B.11988C.12987D.12985
解析:
这是一道计算题,题中每个数字都可以分解为2000减一个数字的形式2000×6-(5+4+3+2+1)尾数为100-15=85得A
注意:
1、2000×6-(5+4+3+2+1)尽量不要写出来,要心算;
2、1+2+。
。
+5=15是常识,应该及时反应出来;
3、各种题目中接近于100、200、1000、2000等的数字,可以分解为此类数字加减一个数字的形式,这样能够更快的计算出答案。
例3、12.3+45.6+78.9+98.7+65.4+32.1
A.333B.323C.333.3D.332.3
解析:
先将题中各个数字的小数点部分相加得出尾数,然后再将个位数部分相加,最后得出答案。
本题中小数点后相加得到3.0排除C,D
小数点前的个位相加得2+5+8+8+5+2尾数是0,加上3确定
答案的尾数是3.答案是A。
解题思路:
1、先将小数点部分加起来,得到尾数,然后与答案一一对照,排除其中尾数不对的答案,缩小选择范围。
有些题目此时就可以得到答案。
2、将个位数相加得到的数值与小数点相加得到的数值再相加,最后得到的数值与剩下的答案对照,一般就可以得到正确的答案了。
2、减法:
例1、9513-465-635-113=9513-113-(465+635)=9400-1100=8300
例2、489756-263945.28=
A.220810.78B.225810.72C.225812.72D.225811.72
解析:
小数点部分相加后,尾数为72排除A,个位数相减6-1-5=0,排除C和D,答案是B。
3、乘法:
方法:
1、将数字分解后再相乘,乘积得到类似于1、10、100之类的整数数字,易于计算;
2、计算尾数后在用排除法求得答案。
例1、1.31×12.5×0.15×16=A.39.3B.40.3C.26.2D.26.31
解析:
先不考虑小数点,直接心算尾数:
125×8=10002×15=303×131=393符合要求的只有A
例2、119×120=120×120-120=14400-120=。
。
。
80
解析:
此题重点是将119分解为120-1,方便了计算。
例3、123456×654321=
A.80779853376B.80779853375C.80779853378D.80779853377
解析:
尾数是6,答案是A。
此类题型表面看来是很难,计算起来也很复杂,但我们应该考虑到出题本意决不是要我们一点一点地算出来,因此,此类题型用尾数计算排除法比较容易得出答案。
例4、125×437×32×25=( )
A、43700000 B、87400000 C、87455000 D、43755000
答案为A。
本题也不需要直接计算,只须分解一下即可:
125×437×32×25=125×32×25×437=125×8×4×25×437=1000×100
×437=43700000
5、混合运算:
例1、 85.7-7.8+4.3-12.2=85.7+4.3-(7.8+12.2)=90-20=70
4532=4532×(79÷158)=4532÷2=2266
例2、计算(1-1/10)×(1-1/9)×(1-1/8)×……(1-1/2)的值:
A、1/108000 B、1/20 C、1/10 D、1/30
解析:
答案为C。
本题只需将算式列出,然后两两相约,即可得出答案。
考生应掌握好这个题型,最好自行计算一下。
二、时钟问题:
例题:
从上午五点十五分到下午两点四十五分之间,共有多少时间?
A.8小时B.8小时30分C.9小时30分D.9小时50分
答案是14.45-5.15=9.30C
三、百分数问题:
例题:
如果a比b大25%,则b比a小多少?
解析:
本题需要对百分数这个概念有准确的理解。
a比b大25%,即a=1.25b,因此b比a小:
(a-b)/a×100%=20%
四、集合问题:
例题:
某班共有50名学生,参加数学和外语两科考试,已知数学成绩及格的有40人,外语成绩及格的有25人,据此可知数学成绩及格而外语不及格者:
A.至少有10人B.至少有15人C.有20人D.至多有30人
解析:
这是首先排除D,因为与已知条件”外语及格25人”即”外语不及格25人”不符;其次排除C,因为仅以外语及格率为50%推算数学及格者(40人)中外语不及格人数为40×50%=20人,缺乏依据;实际上,数学及格者中外语不及格的人数至少为25-(50-40)=15人,答案是B.
五、大小判断
这种题型往往并不需要将全部数字都直接计算,只需找到某个判断标准进行
判断即可。
例题:
1、π,3.14,√10,10/3四个数的大小顺序是:
A、10/3﹥π﹥√10﹥3.14
B、10/3﹥π﹥3.14﹥√10
C、10/3﹥√10﹥π﹥3.14
D、10/3﹥3.14﹥π﹥√10
2、某商品在原价的基础上上涨了20%,后来又下降了20%,问降价以后的价
格比未涨价前的价格:
A、涨价前价格高
B、二者相等
C、降价后价格高
D、不能确定
3、393.39的小数点先向左移动两位,再向右移动三位,得到的数再扩大10倍,
最后的得数是原来的
A、10倍 B、100倍 C、1000倍 D、不变
解答:
1、答案为C。
本题关键是判断√10的大小。
而另外三个数的大小关系显然为
10/3﹥π﹥3.14。
因此就要计算√10的范围。
我们可计算出3.15的平方为9.9225
﹤10,由此可知符合此条件的只有C。
2、答案为A。
涨价和降价的比率都是20%,那么要判断涨得多还是降得多,
就需要判断涨价的基础,显然后者大,即降的比涨的多,那么可知原来价格高。
3、答案为B。
本题比较简单,左移两位就是缩小100倍,右移三位就是扩大
1000倍,实际上扩大了10倍,再扩大10倍,就是扩大了100倍。
六、比例问题
例题:
(1)甲数比乙数大25%,则乙数比甲数小:
A、20% B、25% C、33% D、30%
(2)a数的25%等于b数的10%,则a/b为:
A、2/5 B、3/5 C、2.4倍 D、3/5倍
(3)三个学校按2:
3:
5的比例分配27000元教育经费,问最多一份为多少?
A、2700元 B、5400元 C、8100元 D、13500元
(4)在某大学班上,选修法语的人与不选修的人的比率为2:
5。
后来从外班转入
2个也选修法语的人,结果比率变为1:
2,问这个班原来有多少人?
A10 B、12 C、21 D、28
解答:
(1)答案为A。
计算这类题目有多种方法,最简便的是假设乙数为1,则甲数可
知为1.25,再加以简单的计算就可推知答案。
(2)答案为A。
可列一个简单的算式:
a•25%=b•10%,即可算出答案。
(3)答案为D。
(4)答案为D。
假设原来班上有X个人,解一个简单的一元一次方程即可:
2/3(x+2)=5/7x或者2(2/7x+2)=5/7x。
七、工程问题
例题:
(1)某车间原计划15天装300台机器,现要提前5天完成,每天平均比原计划
多装多少台?
A、10 B、20 C、15 D、30
(2)一本270页的书,某人第一天读了全书的2/9,第二天读了全书的2/5,则第
二天比第一天多读了多少页?
A、48 B、96 C、24 D、72
(3)一项工程甲单独做需要20天做完,乙单独做需要30天做完,二人合做3天
后,可完成这项工作的:
A、1/2 B、1/3 C、1/4 D、1/6
(4)一个水池,装有甲、乙、丙三根水管,独开甲管10分钟可注满全池,独开
乙管15分钟可注满全池,独开丙管6分钟可注满全池,如果三管齐开,几分钟可注
满全池?
A、5 B、4 C、3 D、2
(5)某水池装有甲、乙、丙三根水管,独开甲管12分钟可注满全池,独开乙管8
分钟可注满全池,独开丙管24分钟可注满全池,如果先把甲乙两管开4分钟,再单
独开乙管,问还用几分钟可注满水池?
A、4 B、5 C、8 D、10
解答:
(1)答案为A。
原计划每天装的台数可求为20台(300÷15),现在每天须装的
台数可求为30台(300÷10),由此答案自出。
(2)答案为A。
第二天读了108页书(270×2/5),第一天读了60页书(270×2/9),
则第二天比第一天多读了48页书(108-60)。
(3)答案为C。
甲、乙两人同时做,一共需要的时间为:
1÷(1/20+1/30),结果
为12天,因此,3天占12天的1/4。
(4)答案为C。
甲、乙、丙三管同时开放,注满水池的时间为:
1÷(1/10+1/15+1/6),
结果为3天。
(5)答案为A。
甲、丙两管共开4分钟,已经注入水池的水占全池的比例为:
1-
(1/12+1/24)×4,结果为1/2。
乙单独开注满全池的时间为8分钟,已经注入了1/2,
显然只需4分钟即可注满。
本题与前题类似,只是稍微复杂一些。
八、路程问题
例题:
(1)甲乙两地相距40公里,某人从甲地骑车出发,开始以每小时30公里的速度
骑了24分钟,接着又以每小时8公里的速度骑完剩下的路程。
问该人共花了多少
分钟时间才骑完全部路程?
A、117 B、234
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