浙江省台州市届高三上学期期末质量评估数学试题全WORD版.docx
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浙江省台州市届高三上学期期末质量评估数学试题全WORD版
台州市2019届高三年级期末质量评估试卷
数学2019.01
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式:
柱体的体积公式:
其中
表示柱体的底面积,
表示柱体的高
锥体的体积公式:
其中
表示锥体的底面积,
表示锥体的高
台体的体积公式:
其中
,
分别表示台体的上、下底面积,
表示台体的高
球的表面积公式:
球的体积公式:
,其中
表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合
,
N
,则
A.
B.
C.
D.
2.设复数
满足
,其中
为虚数单位,则复数
对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知公差不为零的等差数列
满足
,
为数列
的前
项和,则
的值为
A.
B.
C.
D.
4.已知实数
,
满足
,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
5.设不为1的实数
,
,
满足:
,则
A.
B.
C.
D.
6.在
的展开式中常数项为
A.
B.
C.
D.
7.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为
;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为
,则
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
8.设
,
为双曲线
:
的左右焦点,点
为双曲线
的一条渐近线
上的点,记直线
,
,
的斜率分别为
,
,
.若
关于
轴对称的直线与
垂直,且
,
,
成等比数列,则双曲线
的离心率为
A.
B.
C.
D.
9.已知函数
,
的最小值为
,则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为AB的中点,将△ADM沿DM翻折.在翻折过程中,当二面角A—BC—D的平面角最大时,其正切值为
A.
B.
C.
D.
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.我国古代数学著作《九章算术》中记载:
“今有邑方不知大小,各中开门.出北门三十步有木,出西门七百五十步有木.问邑方几何?
”示意图如右图,正方形
中,
,
分别为
和
的中点,若
,
,
,
,且
过点
,则正方形
的边长为▲.
12.已知
则
▲;不等式
的解集为▲.
13.已知
,
满足条件
则
的最大值是▲,原点到点
的距离的最小值是▲.
14.小明口袋中有3张10元,3张20元(因纸币有编号认定每张纸币不同),现从中掏出纸币超过45元的方法有▲种;若小明每次掏出纸币的概率是等可能的,不放回地掏出4张,刚好是50元的概率为▲.
15.已知某多面体的三视图如图所示,则该几何体的所有棱长和为▲,其体积为▲.
16.若函数
在
上有零点,则
的最小值为▲.
17.设圆
,圆
半径都为1,且相外切,其切点为
.点
,
分别在圆
,圆
上,则
的最大值为▲.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本小题满分14分)已知函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调递增区间;
(Ⅱ)设△ABC中的内角
,
,
所对的边分别为
,
,
,若
,且
,求
的取值范围.
19.(本小题满分15分)如图,四棱锥
中,
垂直平面
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:
平面
平面
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.(本小题满分15分)在数列
中,
,
,且对任意的
N*,都有
.
(Ⅰ)证明数列
是等比数列,并求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设
,记数列
的前
项和为
,若对任意的
N*都有
,求实数
的取值范围.
21.(本小题满分15分)设点
为抛物线
外一点,过点
作抛物线
的两条切线
,
,切点分别为
,
.
(Ⅰ)若点
为
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若点
为圆
上的点,记两切线
,
的斜率分别为
,
,求
的取值范围.
22.(本小题满分15分)设函数
,
R.
(Ⅰ)求函数
在
处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意的实数
,不等式
恒成立,求实数
的最大值;
(Ⅲ)设
,若对任意的实数
,关于
的方程
有且只有两个不同的实根,求实数
的取值范围.
台州市2018学年第一学期高三年级期末质量评估试题
数学参考答案2019.01
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1—5CDADD6—10ABBCB
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.
12.
;
13.
;
;14.
;
15.
;
16.
17.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.解:
(Ⅰ)
.………………………………………3分
所以
,解得
,
Z.
所以函数
的单调递增区间为
,
Z.……………7分
(Ⅱ)因为
,所以
.
所以
.…………………9分
又因为
,所以
,即
.
而
,所以
,即
.………………12分
又因为
,所以
.………………14分
19.(Ⅰ)证明:
PC⊥平面ABCD,故PC⊥AC.………………2分
又AB=2,CD=1,AD⊥AB,所以AC=BC=
.
故AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.………………4分
所以AC⊥平面PBC,所以平面ACE⊥平面PBC.…………………………6分
(Ⅱ)解:
PC⊥平面ABCD,故PC⊥CD.又PD=2,所以PC=
.…………8分
在平面ACE内,过点P作PF垂直CE,垂足为F.
由(Ⅰ)知平面ACE⊥平面PBC,所以PF垂直平面ACE.…………10分
由面积法得:
即
.
又点E为AB的中点,
.
所以
.……………………………………12分
又点E为AB的中点,所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.
连结BD交AC于点G,则GB=2DG.
所以点D到平面ACE的距离是点B到平面ACE的距离的一半,即
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.……………………15分
另解:
如图,取AB的中点F,如图建立坐标系.
因为
,所以
.所以有:
,
,
,
,
,
.…………9分
.
,
.
设平面ACE的一个法量为n
,则
取
,得
,
.
即n
.…………13分
设直线
与平面
所成角为
,则
n,
.…………15分
20.解:
(Ⅰ)由
可得
.………………2分
又
,
,所以
.
所以
是首项为2,公比为2的等比数列.…………………3分
所以
.…………………4分
所以
.…………7分
(Ⅱ)因为
.………9分
所以
.………12分
又因为对任意的
N*都有
,所以
恒成立,
即
即当
时,
.………15分
21.解:
(Ⅰ)设直线
方程为
,直线
方程为
.
由
可得
.………3分
因为
与抛物线相切,所以
,取
,则
,
.
即
.同理可得
.
所以
:
.………6分
(Ⅱ)设
,则直线
方程为
,
直线
方程为
.
由
可得
.………8分
因为直线
与抛物线相切,所以
.
同理可得
所以
,
时方程
的两根.
所以
,
.………11分
则
..………12分
又因为
,则
,
所以
..………15分
22.(Ⅰ)解:
,
..………1分
且
,所以在
处的切线方程为
.………3分
(Ⅱ)证明:
因为对任意的实数
,不等式
恒成立.
所以
恒成立..………4分
设
,
则
所以
在
,
单调递增,
在
,
单调递减.………6分
所以
,
因为
,
是方程
的两根.
所以
.(其中
)
所以
的最大值为
.………9分
(Ⅲ)解:
若对任意的实数
,关于
的方程
有且只有两个不同的实根,
当
,得
,与已知矛盾.
所以
有两根,即
与
有两个交点.…10分
令
,则
.
令
,
,则
在
单调递减,
单调递增,所以
.…11分
(ⅰ)当
时,即
时,则
,即
在
,
单调递增,且当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
.此时对任意的实数
,原方程恒有且只有两个不同的解.………12分
(ⅱ)当
时,
有两个非负根
,
,所以
在
,
,
单调递增,
单调递减,所以当
时有4个交点,
或
有3个交点,均与题意不合,舍去.………13分
(ⅲ)当
时,则
有两个异号的零点
,
,不妨设
,则
在
,
单调递增;
在
,
单调递减.
又
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
.
所以当
时,对任意的实数
,原方程恒有且只有两个不同的解.
所以有
,
,得
.
由
,得
,即
.
所以
,
,
.
故
.
所以
.
所以当
或
时,原方程对任意实数
均有且只有两个解.………15分
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