苏教版八年级数学上册知识点.docx
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苏教版八年级数学上册知识点
苏教版八年级数学上册知识点
第1章全等三角形
一、全等三角形概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形的表示
全等用符号匕”表示,读作全等于”如厶ABdADEF读作三角形AB(全等于三角形DEF。
注:
记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形有哪些性质
(1):
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):
全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
4、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1):
要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
(2):
表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
(3):
“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4):
时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
5、全等三角形的判定
边边边:
三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
AAS”)
角角边:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或HL”)
6、全等变换只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:
把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:
将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
5、证明两个三角形全等的基本思路:
一般来讲,应根据题设并结合图形,先确定两个三角形已知相等的边或角,然后按照判定公理或定理,寻找并证明还缺少的条件.其基
本思路是:
1)•有两边对应相等,找夹角对应相等,或第三边对应相等•前者利用SA醐定,后者
利用SSS判定•
2)•有两角对应相等,找夹边对应相等,或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判
定,后者利用从刮定•
3).有一边和该边的对角对应相等,找另一角对应相等•利用AAS判定•
4)•有一边和该边的邻角对应相等,找夹等角的另一边对应相等,或另一角对应相
等•前者利用SAS判定,后者利用AAS判定•
二、角的平分线:
1、角平分线:
把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;
2、角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等:
①平分线上的点;②点到边的距离;
3、角平分线的判定定理:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上
4、方法规律
(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。
(2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。
常用方法有:
使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。
3)注意:
证题时可直接应用角平分线性质定理和判定定理,不必去找全等三角形。
第2章轴对称图形
一、轴对称图形
1.把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这
两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称
占
八、、
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
区别:
(1)轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形;
(2)轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的.
联系:
(1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合;
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就
关于这条直线成轴对称;反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
4.轴对称的性质
1关于某直线对称的两个图形是全等形。
2如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
4•三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
三、画轴对称图形的步骤:
1、点出关键点。
找出所有的关键点,即图形中所有线段的端点。
2、确定关键点到对称轴的距离。
关键点离对称轴多远,对称点就离对称轴多远
3、点出对称点。
4、连线。
按照给出的一半图形将所有对称点连接成线段。
5、轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,这条直线就叫做对称轴。
轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合,关键抓两点:
一是沿某直线折叠,二是两部分互相重合。
四、等腰三角形的性质
1、有关定理及其推论
定理:
等腰三角形有两边相等;
定理:
等腰三角形的两个底角相等。
推论1:
等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边,也就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
推论2:
等边三角形的各角相等,且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直
平分线为对称轴的轴对称图形;
(二)等腰三角形的判定
1、有关的定理及其推论
定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(等角对等边)
推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)
等腰三角形的其他性质:
1等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
2等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
3等腰三角形的三边关系:
设腰长为a,底边长为b,则b/2<a
4等腰三角形的三角关系:
设顶角为顶角为/A底角为/B、/C,则/A=180。
一2Z
B,ZB=/C=(180°-/A)/2
等腰三角形的性质与判定
中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;
2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点与底边两端点距离相等。
判定1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角),那么这个三角形是等腰三角形
角平分线
1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;
2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
判定;1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形;2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。
高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和底边两端点距离相等。
判定:
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰三角形;2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角边等边对等角底的一半<腰长<周长的一半
判定:
等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形
4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:
可以证明两条直线平行。
数量关系:
可以证明线段的倍分关系。
常用结论:
任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:
三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第3章勾股定理
1.勾股定理:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a
+b2=c20
2.勾股定理逆定理:
如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。
,那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
(例:
勾股定理与勾股定理逆定理)
4.
D
直角三角形的性质
为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直
角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
/ACB=90CD$=AD*BD
=}c=AD*ABy
CD!
AB''BC2二BD・AB
6常用关系式
由三角形面积公式可得:
AB・CD=ACBC
7、直角三角形的判定
第4章实数
一、平方根
(1)平方根的定义:
如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的
平方根.即:
如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
(2)开平方的定义:
求一个数的平方根的运算,叫做开平方•开平方运算的
被开方数必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:
一3的平方等于9,9的平方根是_3
(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;
0的平方根是0.
(5)符号:
正数a的正的平方根可用...a表示,,.a也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用-va表示.
2
(6)x=a<—>
x二、a
a是x的平方
x
的平方是a
x是a的平方根
a
的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义
:
一般地,
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,
那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为、a,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:
0的算术平方根是0.
也就是,在等式x2=a(x>0)中,规定x=\怎。
(2)■.a的结果有两种情况:
当a是完全平方数时,a是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)x2=a(x>0)<—>x=、a
a是x的平方x的平方是a
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a(a-0)
;注意va的双重非负性:
-a(a<0)
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
二、立方根
(1)立方根的定义:
如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根
(也叫做三次方根),即如果x3=a,那么x叫做a的立方根。
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
(2)一个数a的立方根,记作・3a,读作:
“三次根号a”,
其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
(3)一个正数有一个正的立方根;
0有一个立方根,是它本身;
一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即普-a3aa0。
(5)x3=a<—>x=*a
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
(6)3_a=-3a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三、实数
一、实数的概念及分类
无理数:
像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循
环小数又叫无理数。
实数:
有理数和无理数统称实数。
1、实数的分类
1
r正有理数
I
厂有理数Y
L零」
■有限小数或无限循环小数
实数十
负有理数
Lj
厂正无理数-1
无理数Y
无限不循环小数
负无理数
'正实数
实数v0
匚负实数
r整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
I正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,女口.7,32等;
n
(2)有特定意义的数,如圆周率n,或化简后含有n的数,如-+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的
相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
数a的相反数是一a,这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|>0。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a>0;若|a|=-a,则a<0。
一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、实数与数轴上点的关系:
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,
数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
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