第二章波动力学基础一填空1一维谐振子的能量本征值En与.docx
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第二章波动力学基础一填空1一维谐振子的能量本征值En与
第二章波动力学基础
一、填空
1.一维谐振子的能量本征值En与_____有关,能量是量子化的.最低的能量是____,称为_____.能级都是等间距的,间隔都是____.
2.定态的性质:
粒子坐标的____和____不随时间变化;任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化.
二、概念与名词解释
1.态叠加原理;
2.概率流守恒定律;
3.定态,束缚态;
4.奇宇称,偶宇称
三、计算
1.由下列定态波函数计算几率流密度:
(1)
(2)
.
从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波,ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波.
2.设
(1)求归一化常数
(2)
3.设在t=0时,粒子的状态为φ=A[sin2kx+(coskx)/2],求粒子动量和能量的平均值.
4.已知做直线运动的粒子处于状态
(1)将φ(x)归一化;
(2)求出粒子坐标取值概率为最大处的位置.
5.若粒子处于状态
其中k,β为已知常数。
求归一化常数,并给出在1≤x≤a区域内发现粒子的概率.
6.粒子处在势能
的场中运动,求在能量小于U0的情况下,决定能量的关系式.
7.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.
8.一维运动的粒子处于
的状态.求归一化系数A,粒子的动量分布函数及动量平均值。
9.若线谐振子处于第一激发态,
,求其坐标概率最大的位置,其中a>0.
10.设粒子的能量E>0,求粒子在势阱
壁x=0处的反射系数.
11.一维谐振子处在
状态,求:
势能的平均值;动量的概率分布函数;动量的平均值.
12.分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为
求束缚态的能级所满足的方程,其中U0>0,U1>0.
13.粒子在如下三维势场
中运动,求粒子的能量和对应的波函数.
14.设粒子处于一维势阱中
,式中U0>0.若粒子具有一个E=-U0/4的本征态,试确定此势阱的宽度.
15.设粒子在势阱宽度为a的一维无限深势阱中运动,如果粒子的状态由波函数
描述,求粒子能量的可能值和相应的概率.
16.在势阱宽度为a的一维无限深势阱中运动的粒子,如果粒子的状态由波函数φ(x)=Ax(a-x)描述,A为归一化常数,求粒子的能量的概率分布和能量的平均值.
17.一个粒子处与中心势场
中,设其径向波函数为R(r)=u(r)/r,u(r)满足的方程为
,若l=0,求该粒子小于U0的能量和相应的本征函数.
18.粒子在势场
中运动,试给出小于零的能量本征值和本征函数,其中U1>0,U0a>0.
19.粒子在如下势场中运动
,求其能级.
20.粒子在双δ势阱U(x)=-U0d[δ(x+a)+δ(x-a)]中运动,求其束缚能级满足的方程.
21.设两个方势垒的形状分别是
,求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数.
22.求势场U(x)=-U0/(ex/a+1),入射粒子能量E>0时的反射系数.
23.能量为E=3U0的粒子射向如下势场
,求粒子的透射和反射系数.
24.能量为E>0的粒子通过如下势阱U(x)=-U0δ(x),求粒子的透射和反射系数,其中U0>0.
25.氢原子处在基态
求:
(1)r的平均值;
(2)势能-e2/r的平均值;(3)最可几的半径;
(4)动能的平均值;(5)动量的几率分布函数.
26.设氢原子处于状态
,求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.
27.粒子处于状态
,式中ξ为常量.求粒子的动量平均值,并计算测不准关系
28.设粒子在一维势垒宽度为a的无限高势垒中运动,求粒子作用在势垒壁上的平均力.
29.设氢原子处在基态,求:
它在动量表象中的表示式;px和px2的平均值;x和x2的平均值.
30.设势场为U(r)=-a/r+A/r2(a、A>0),求粒子的能量本征值.
31.设势场为U(r)=Br2+A/r2(A、B>0),求粒子的能量本征值.
32.一个质量为m的粒子被限制在半径为r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其他势场.求粒子的基态能量和基态波函数.
33.求一维薛定谔方程在势场V(x)=-Ze2/x下的能级和波函数,并与势场
的结果相比较.
四、证明
1.证明在定态中,几率流密度与时间无关.
2.设粒子处于复位势V(r)=V1(r)+iV2(r)中,式中V1(r)和V2(r)皆为实函数,证明此时粒子的概率不守恒.
3.设粒子处于实位势V(r)中,证明在任意束缚态下其能量平均值为
式中ρ为能量密度.
4.证明属于不同本征能量的束缚态本征函数是正交的.
5.利用厄米多项式的递推关系Hn+1(ξ)-2ξHn(ξ)+2nHn-1(ξ)=0,证明
,式中φn(x)为线谐振子的第n个本征波函数,
.进而证明在任意本征态下,坐标的平均值为零,势能的平均值为相应本征能量的一半.
6.证明对于一维谐振子,无论处在哪个本征态,它的动能平均值恒等于势能平均值.
7.在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:
U(-x)=U(x),证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.
8.证明对于任意势垒,粒子的反射系数R和透射系数D之和等于1.
9.粒子在势能为
的场中运动,证明对于能量E 关系式决定,其中 10.证明: 从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的. 11.证明在非相对论量子力学中,在辏力场V(r)中运动的粒子,其束缚态满足 ,式中φ(0)是原点波函数,L2是角动量平方(选ћ=1为单位). 五、综合题 1.利用氢原子的能谱公式,写出: (1)电子偶素(positronium),即e+-e-形成的束缚态的能级; (2)以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级; (3)μ+和e-形成的束缚态(Muonium)的能级. 2.一个质量为m的粒子在一个三维方势阱V(r)中运动. (1)证明: 对于一个半径R一定的阱,只有阱深至少有一个极小值时,才可能有束缚态,并计算这一极小值. (2)在一维情况下,类似问题的结果和三维的有何不同? (3)上述 (1)、 (2)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立? 例如在一维情况下,若 ,保持f(x)不变,讨论不同的λ值. 3.一电子在一无限大接地平面导体的上方运动,它被自己的像电荷吸收,但电子不能穿透导体表面.试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件,并求出电子的能级和在基态时,电子和导体表面之间的平均距离. 4.质量为m的非相对论粒子在一势场中运动,势场是U(x,y,z)=A(x2+y2+2λxy)+B(z2+2μz),其中A>0,B>0,|λ|<1,μ是任意的,求: (1)能量的本征值; (2)使势变成 ,求基态能量. 5.一个刚体具有惯性矩Iz,可以自由的在x-y平面中运动.令θ为x轴与转动轴之间的夹角,求: (1)能量本征值和相应的本征函数; (2)若在t=0时,转子由波包φ(0)=Asin2θ描述,求t>0时的φ(t). 6.考虑一维波函数φ(x)=A(x/x0)ne-x/x0,其中A、n、x0是常数, (1)利用薛定谔方程,求势场U(x)和能量E.(这时φ(x)可视为当x→∞时V(x)→0的薛定谔方程的本征函数). (2)比较你所给出的势场和轨道角动量为l的氢原子态的有效径向势的异同. 7.通常在量子力学薛定谔方程中,若已知全部能谱和全部本征函数,可以反过来推出相互作用势,这称为反散射问题.若只知道部分能谱和波函数,有时也可给出关于势场的一些性质.证明: (1)若势场满足d2V/dr2>或<0,则零点波函数满足|φ2s(0)|>或<|φ1s(0)|; (2)记势场V(r)中粒子状态为 ,则若 必有|φ0l(0)|≤|φ1l(0)|. 8.对于2P和3D能级,定义ε=E2P-E3D,u=rφ2P,v=rφ3D.势场满足V=λ2V(λr),λ是小参量,证明: (1)在(0,∞)区间中,u2-v2有且仅有一个零点; (2)令W(x)=x[2V+x(dV/dx)],则若满足W(0)=0,且d2W/dx2≥或≤0,相应的必有dε/dλ≤或≥0. 9.粒子在势壁附近的行为,可从下面近似模型出发考虑.一粒子在一维势场 中运动,求: (1)当势壁离粒子很远时,对束缚态能量的修正值.并据此说明“远离”的意义; (2)至少存在一个束缚态时,U0和d应满足的条件. 10.一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成: E1 (1)若势场U1(x)给的本征值为E1n,U2(x)给的本征值为E2n,且U1(x)≤U2(x),证明必有E1n≤E2n. (2)考虑势场 求这个势所能具有的最大的束缚态的数目N. 11.放射性同位素83Bi212衰变成81Tl208,同时放出能量为6.1MeV的α粒子. (1)为了计算寿命,首先讨论如下图有限高势垒,计算一个质量为M的粒子从左边入射的透射系数T,粒子的能量为E,并设T<<1; (2)利用上面的结果,选择敏感的势垒参数来近似α粒子势,对83Bi212的寿命做一个粗略的数值估计. 12.一束单一能量E的非相对论中子打到一个厚度为t的平板平面上,在这平板中。 中子在一吸引的均匀势阱中运动,势阱的深度为V,中子束与平面的法线的夹角为θ(如下图); (1)如果t→∞,有多少中子被反射? (2)如果V是排斥势,且V=E,但是t是有限的,有多少中子被反射? 六、思考题 1.薛定谔波函数和deBroglie波函数区别是什么/ 2.Born对量子力学的贡献在哪里? 3.为什么说Bron对波函数的统计解释是微观粒子波粒二象性的表示? 怎么表示的? 4.为什么电子衍射实验证明了微观粒子的波动性? 如果没有波动性,电子衍射实验曲线应该是什么样的? 5.何为几率波? 为什么波函数必须有归一化条件? 6.为什么波函数必须是连续函数,又必须是有限的? 7.为什么波函数必须是单值的? 8.为什么波函数必须是复函数? 9.量子力学波函数的自变量的物理意义应该是什么? 10.为什么波函数模量空间是位形空间,位形空间跟统计物理相空间有无区别? 11.量子力学的波函数有几大类? 本征函数与任意波函数的区别是什么? 12.量子力学的波函数与本征函数跟电动力学的平面波函数有什么区别? 13.为什么本征函数,任意波函数都是不可测量的? 14.波函数的物理意义是什么? 物理体系的物理意义是什么? 波函数的迭加原理是数学的加法原理对么? 15.什么叫状态? 统计物理体系的状态与量子力学状态有什么区别? 16.量子力学的状态在预言力学量测量值中起什么作用? 为什么? 17.方势阱和线振子的状态有什么区别? 18.本征态中的本征值是不可测量的,那么本征态预言的量子化本征值还有无测量意义? 19.测量的本征值究竟是哪种状态的贡献? 20.你知道几种本征态波函数? 有什么区别? 为什么? 21.零点能与热力学第三定律的区别与联系? 22.解薛定谔方程常用那几种数理函数? 23.解薛定谔方程的建立,为什么是量子力学第二原理? 要点是什么? 24.什么是定态? 为什么 不是定态? 25.对 和 两种情况,应用哪种薛定谔方程? 为什么? 26.态的迭加原理是否量子力学的专用原理,为什么? 27.相对论和非相对论量子力学有什么区别?
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