第二章 数的运算第一节整数的运算.docx
- 文档编号:30300721
- 上传时间:2023-08-13
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:24.09KB
第二章 数的运算第一节整数的运算.docx
《第二章 数的运算第一节整数的运算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第二章 数的运算第一节整数的运算.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第二章数的运算第一节整数的运算
第一节整数的运算
教学目标
1.理解整数的四则运算的定义。
2.掌握整数运算性质和运算定律。
3.灵活运用运算性质和运算定律进行整数的混合运算。
教学过程
整数的运算含义的理解及运算性质的掌握是本节的重点。
教学过程
一、整数的运算
(一)整数加法
1.基本定义
一般来说,在一个集合F上定义一个二元关系“+”,满足:
(1)交换律:
对任意的a,b∈F,a+b=b+a∈F;
(2)结合律:
对任意的a,b,c∈F,a+(b+c)=(a+b)+c;
(3)单位元:
存在一个元素0∈F,满足对任意的a∈F,a+0=0+a=a;
(4)逆元:
对任意的a∈F,存在一个元素(-a)∈F,满足a+(-a)=0。
“+”称作定义在集合F上的加法。
“+”是加号,加号前面和后面的数是加数,“=”是等于号,等于号后面的数是和。
100(加数)+(加号)300(加数)=(等于号)400(和)
定义1(序数理论):
如果数a与数b都是自然数,在自然能数列中的数a之后,在数出b个数来,恰好对应于自然数列中的数c,那么数c就叫做a与b的和。
求两个数和的运算叫做加法。
c是a与b的和,记作:
a+b=c,读作:
a加b等于c,a和b都叫做加数,符号“+”叫做加号。
定义2(基数理论):
设A、B是两个不相交的有限集合,它们的基数分别是a和b,如果集合A与B合并所得的并集是C,那么并集C的基数c就叫做a和b的和,求两个数和的运算叫做加法。
c是a与b的和,记作:
a+b=c,读作:
a加b等于c,a和b都叫做加数,符号“+”叫做加号。
2.主要性质
(1)加法交换律:
a+b=b+a
例:
8+1=1+8=9
(2)加法结合律:
a+b+c=a+(b+c)
例:
7+4+1=7+(4+1)=(7+4)+1=12
(3)推广:
若干数加上若干数的加法,可以任意交换,任意结合,和不变。
3.和的变化规律
如果a+b=c,那么(a+m)+b=c+b
如果a+b=c,那么(a-m)+b=c-b
如果a+b=c,那么(a+m)+(b-m)=c
4.加法表
5.加法法则
数位对齐,个位加起,满十进一。
6.运算符号“+”“-”的由来
四则运算种种符号是从十五世纪才开始逐渐使用的。
德国数学家魏德曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用“+”“-”,他认为,一条横线与一条竖线合并在一起来表示合并(增加)的意思,而从加号“+”中去掉一竖,就表示拿去(减少)的意思。
在1514年荷兰数学家赫克作为代数运算符号,后经法国数学家韦达的宣传和提倡,才得以普及,直到1630年才得到大家公认。
(二)整数减法
1.基本定义
减法是四则运算之一,从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法;已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
表示减法的符号是"-",读作减号。
用来计算减量!
算式名称
减号"-"是减号,减号前面的数是被减数,减号后面的数是减数,"="是等于号,等于号后面的数是差。
10000(被减数)-(减号)6000(减数)=(等于号)4000(差)
减法定义的理解
设A是一个有限集合(基数为a),B是A的一个子集(基数为b),从集合A中取出集合B的所有元素以后,得到集合C(基数为c)是集合A与集合B的差集。
因此,已知a与b,求它们的差c的运算,就是求集合A与集合B(B是A的子集)的差集的基数。
注:
整数减法在非负整数集中不是总是可以施行的,但是,如果两个数的差存在,那么它一定是唯一的。
2.性质
(1)减去一个数,等于加这个数的相反数。
(2)a-(b+c)=a-b-c
(3)a-(b-c)=a-b+c
(4)若干数的和减去若干数的和
3.差的变化规律
(1)如果a-b=c,那么(a+m)-b=c+m
(2)如果a-b=c,那么(a-m)-b=c-m
(3)如果a-b=c,那么(a+m)-(b+m)=c
如果a-b=c,那么(a-m)-(b-m)=c
4减法口诀表
10-1=9
10-2=89-1=8
10-3=79-2=78-1=7
10-4=69-3=68-2=67-1=6
10-5=59-4=58-3=57-2=56-1=5
10-6=49-5=48-4=47-3=46-2=45-1=4
10-7=39-6=38-5=37-4=36-3=35-2=34-1=3
5.减法的运算法则
数位对齐,个位减起,借一当十。
6.加减法的关系
加减法的验算
(三)整数乘法
1.基本定义
定义的第一种理解
b(大于1的整数)个相同加数a的和c叫做a与b的积。
求两个数积的运算叫做乘法。
记作
a×b=c,或a.b=c。
也可以记作
b×a=c,或b.a=c
读作“b乘a等于c”或“a乘b等于c”
补充定义
当b=1时,a×1=a
当b=0时,a×0=0
定义的第二种理解
设有b个没有公共元素的等价集合A1A2.......Ab,它们的基数是a,它们并集C的基数为c,那么c叫做a与b的积。
求两个数积的运算叫做乘法。
意义
3×5表示5个3相加或3个5相加。
名称"×"是乘号,乘号前面和后面的数叫做因数,"="是等于号,等于号后面的数叫做积。
10(因数)×(乘号)200(因数)=(等于号)2000(积)
因数也叫乘数。
2.运算性质
整数的乘法运算满足:
交换律,结合律, 分配律,消去律。
1°乘法交换律:
ab=ba,注:
字母与字母相乘,乘号不用写,或者可以写成·。
2°乘法结合律:
(ab)c=a(bc),
3°乘法分配律:
(a+b)c=ac+bc。
4°乘法消去律:
若AX=AY,且A≠O,则X=Y
5°若干数的和与一个数的积
6°若干数的和与若干数的和的积
7°若干数的差与一个数的积
3.积的变化规律
(1)如果a×b=c,那么(a×n)×b=c×n
(2)如果a×b=c,那么
(a×n)×(b÷n)=c
4.乘法的运算法则
(1)表内乘法
"小九九"的由来
《九九乘法歌诀》,又常称为"小九九"。
现在学生学的"小九九"口诀,是从"一一得一"开始,到"九九八十一"止,而在古代,却是倒过来,从"九九八十一"起,到"二二得四"止。
因为口诀开头两个字是"九九",所以,人们就把它简称为"九九"。
大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样"一一得一……九九八十一"。
中国使用"九九口诀"的时间较早。
在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到"三九二十七"、"六八四十八"、"四八三十二"、"六六三十六"等句子。
由此可见,早在"春秋"、"战国"的时候,《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。
大九九有81句,小九九45句。
(2)多位数乘法及积的位数
两个因数的积的位数,等于这两个因数的位数的和,或者比这个和少1.
5.符号 “=”“×”“÷”的由来
16世纪英国皇家法庭医生罗伯特。
雷克达在进行数学研究时,经常碰到两个数相等而无法标记,就决心创造一个符号.他觉得"世界上再也没有两条平行而又相等的直线更相同了",于是就用两条平行线来表示两个相等的数,这就产生了"="号.
18世纪,英国数学家欧德莱认为乘法也是增加数目,但与加法不同.于是他把"+"号斜写成"×"号,表示数学中增加数目的另一种运算法.而学者哈纳在算帐时遇到要把一个整数分成数份.因为没有可用的符号,于是就用一条横线分开两个圆点来表示这种算法,这就是"÷"号.
符号“。
”“:
”“{}”“【】”“﹥”“﹤”
﹥﹤,十七世纪哈利阿
。
:
,莱布尼兹
【】瓦里士
{}韦达
(四)整数除法
1.基本定义
除法是四则运算之一。
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法。
若ab=c(b≠0),用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法,写作c/b,读作c除以b(或b除c)。
其中,c叫做被除数,b叫做除数,运算的结果a叫做商。
为什么不再区分“等分除”“包含除”
(1)把12根香蕉,平均分成2份,得出每份6根,这一分物活动用算式表示为:
12÷2=6,
这就是所谓的“等分除”。
(2)把12根香蕉,每4根发一盘,求需要几个盘子,这一分物活动用算式表示为:
12÷4=3
这就是所谓的“包含除”。
0不能作除数的原因
1.如果除数是0,被除数是非0的自然数,则没有任何一个数(商)与(0)相乘能得到一个非0的自然数,它们相乘只能得到0,在这种情况下,商是不存在的。
2.如果被除数和除数都等于0,则有许多数(商)与0(除数)相乘,结果都得到0(被除数),在这种情况下,商是不唯一的。
所以0不能作除数。
注:
整数除法在非负整数集中不是总是可以施行的,但是,如果两个数的商存在,那么它一定是唯一的。
1.(a÷b).b=a
2.(a.b)÷b=a
2.有余数的除法
已知两个数a、b(b是自然数),要求两个整数q、r满足以下条件:
a=bq+r,并且r<b,
这种运算叫做有余数的除法。
记作
a÷b=q(余r)
a叫做被除数,b叫做除数,q叫做商,r叫做余数。
a-b-b-b-.........-b=r
3.除法的运算性质
(1)a÷(b.c)=a÷b÷c
(2)a÷(b÷c)=a÷b.c
(3)(a.b)÷c=(a÷c).b
(4)(a÷b)÷c=(a÷c)÷b
(5)两个数的差除以一个自然数
(6)若干个数的和除以一个自然数
4.除法的运算法则及商的位数
两个数的商的位数,等于被除数与除数的位数差,或者比这个差多一。
5.商的变化规律
(1)如果a÷b=q,那么(a×n)÷b=q×n
如果a÷b=q,那么(a÷n)÷b=q÷n
(2)如果a÷b=q,那么a÷(b÷n)=q×n
如果a÷b=q,那么a÷(b×n)=q÷n
(3)如果a÷b=q,那么(a×n)÷(b×n)=q
如果a÷b=q,那么(a÷n)÷(b÷n)=q
(4)如果a÷b=q(余r)那么
(a×n)÷(b×n)=q(余r×n)
(a÷n)÷(b÷n)=q(余r÷n)
二、估算
对事物的数量或计算结果作出粗略的判断或预测的过程叫做估算。
作用:
对运算结果经行预测
对计算后结果的考查
1.根据已知数据的最高位数字和最低位数字估算
1547+4084-2369
3094×507
2.根据已知数据的部分高位估算
3543+446+55
3458×23
3.利用四舍五入法进行估算
8732×639
48327÷623
三、简便计算
1.改变运算顺序
78+45+35+22
723-(420-277)
5600÷(25×7)
2.把已知数凑成整十整百。
。
。
的数
560×125
573-99
3.应用数的分解的方法
45×14
125×42
25×28
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第二章 数的运算 第一节 整数的运算 第二 运算 整数