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动量守恒
动量守恒定律及“三类模型”问题
一、动量守恒定律
1.内容
如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为零,这个系统的总动量保持不变.
2.表达式
(1)p=p′,系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′,相互作用的两个物体组成的系统,作用前的动量和等于作用后的动量和.
(3)Δp1=-Δp2,相互作用的两个物体动量的变化量等大反向.
(4)Δp=0,系统总动量的增量为零.
3.适用条件
(1)理想守恒:
不受外力或所受外力的合力为零.
(2)近似守恒:
系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力.
(3)某一方向守恒:
如果系统在某一方向上所受外力的合力为零,则系统在这一方向上动量守恒.
动量守恒定律的“六种”性质
系统性
研究对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统
条件性
首先判断系统是否满足守恒条件
相对性
公式中v1、v2、v1′、v2′必须相对于同一个惯性系
同时性
公式中v1、v2是在相互作用前同一时刻的速度,v1′、v2′是相互作用后同一时刻的速度
矢量性
应先选取正方向,凡是与选取的正方向一致的动量为正值,相反为负值
普适性
不仅适用低速宏观系统,也适用于高速微观系统
关于系统动量守恒的条件,下列说法正确的是( )
A.只要系统内存在摩擦力,系统动量就不可能守恒
B.只要系统中有一个物体具有加速度,系统动量就不守恒
C.只要系统所受的合外力为零,系统动量就守恒
D.系统中所有物体的加速度为零时,系统的总动量不一定守恒
如图1所示,两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动,滑块A的质量为m,速度大小为2v0,方向向右,滑块B的质量为2m,速度大小为v0,方向向左,两滑块发生弹性碰撞后的运动状态是( )
A.A和B都向左运动
B.A和B都向右运动
C.A静止,B向右运动
D.A向左运动,B向右运动
多选)如图2所示,A、B两物体质量之比mA∶mB=3∶2,原来静止在平板小车C上,A、B间有一根被压缩的弹簧,地面光滑,当弹簧突然释放后,则( )
A.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B组成的系统的动量守恒
B.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B、C组成的系统的动量守恒
C.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B组成的系统的动量守恒
D.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B、C组成的系统的动量守恒
一质量为M的航天器正以速度v0在太空中飞行,某一时刻航天器接到加速的指令后,发动机瞬间向后喷出一定质量的气体,气体喷出时速度大小为v1,加速后航天器的速度大小为v2,则喷出气体的质量m为( )
A.
MB.
M
C.
MD.
M
两磁铁各放在两辆小车上,小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动.已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg,乙车和磁铁的总质量为1kg,两磁铁的N极相对.推动一下,使两车相向运动,某时刻甲的速率为2m/s,乙的速率为3m/s,方向与甲相反,两车运动过程中始终未相碰.则:
(1)两车最近时,乙的速度为多大?
(2)甲车开始反向时,乙的速度为多大?
命题点二 碰撞模型问题
1.碰撞遵循的三条原则
(1)动量守恒定律
(2)机械能不增加
Ek1+Ek2≥Ek1′+Ek2′或
+
≥
+
(3)速度要合理
①同向碰撞:
碰撞前,后面的物体速度大;碰撞后,前面的物体速度大(或相等).
②相向碰撞:
碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变.
2.弹性碰撞讨论
(1)碰后速度的求解
根据动量守恒和机械能守恒
解得v1′=
v2′=
(2)分析讨论:
当碰前物体2的速度不为零时,若m1=m2,则v1′=v2,v2′=v1,即两物体交换速度.
当碰前物体2的速度为零时,v2=0,则:
v1′=
,v2′=
,
①m1=m2时,v1′=0,v2′=v1,碰撞后两物体交换速度.
②m1>m2时,v1′>0,v2′>0,碰撞后两物体沿同方向运动.
③m1
(多选)两个小球A、B在光滑水平面上相向运动,已知它们的质量分别是m1=4kg,m2=2kg,A的速度v1=3m/s(设为正),B的速度v2=-3m/s,则它们发生正碰后,其速度可能分别是( )
A.均为1m/sB.+4m/s和-5m/s
C.+2m/s和-1m/sD.-1m/s和5m/s
4、两个小球在光滑水平面上沿同一直线,同一方向运动,B球在前,A球在后,
,
,当A球与B球发生碰撞后,AB两球的速度可能为:
()
A、
B、
C、
D、
.(多选)在光滑的水平面上有质量相等的A、B两球,其动量分别为10kg·m/s与2kg·m/s,方向均向东,且规定该方向为正方向,A球在B球后,当A球追上B球时发生正碰,则相碰以后,A、B两球的动量可能分别为( )
A.6kg·m/s,6kg·m/s
B.-4kg·m/s,16kg·m/s
C.6kg·m/s,12kg·m/s
D.3kg·m/s,9kg·m/s
(多选)如图1645所示,在光滑的水平支撑面上,有A、B两个小球,A球动量为10kg·m/s,B球动量为12kg·m/s,A球追上B球并相碰,碰撞后,A球动量变为8kg·m/s,方向没变,则A、B两球质量的比值为( )
图1645
A.0.5B.0.6
C.0.65D.0.75
现有甲、乙两滑块,质量分别为3m和m,以相同的速率v在光滑水平面上相向运动,发生了碰撞.已知碰撞后,甲滑块静止不动,那么这次碰撞是( )
A.弹性碰撞B.非弹性碰撞
C.完全非弹性碰撞D.条件不足,无法确定
(多选)如图2甲所示,在光滑水平面上的两个小球发生正碰.小球的质量分别为m1和m2.图乙为它们碰撞前后的x-t图象.已知m1=0.1kg.由此可以判断( )
A.碰前m2静止,m1向右运动
B.碰后m2和m1都向右运动
C.m2=0.3kg
D.碰撞过程中系统损失了0.4J的机械能
如图3所示,在光滑水平面上A、B两小球沿同一方向运动,A球的动量pA=4kg·m/s,B球的质量mB=1kg,速度vB=6m/s,已知两球相碰后,A球的动量减为原来的一半,方向与原方向一致。
求:
(1)碰撞后B球的速度;
(2)A球的质量范围。
(2016·全国卷Ⅲ·35
(2))如图3所示,水平地面上有两个静止的小物块a和b,其连线与墙垂直;a和b相距l,b与墙之间也相距l;a的质量为m,b的质量为
m.两物块与地面间的动摩擦因数均相同.现使a以初速度v0向右滑动.此后a与b发生弹性碰撞,但b没有与墙发生碰撞.重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件.
(2015·全国卷Ⅰ·35
(2))如图4所示,在足够长的光滑水平面上,物体A、B、C位于同一直线上,A位于B、C之间.A的质量为m,B、C的质量都为M,三者均处于静止状态.现使A以某一速度向右运动,求m和M之间应满足什么条件,才能使A只与B、C各发生一次碰撞.设物体间的碰撞都是弹性的.
拓展点1 “滑块—弹簧”碰撞模型
例5
如图5所示,质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上,其右端固定一根水平轻质弹簧,弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5m,这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ=0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑.木块A以速度v0=10m/s由滑板B左端开始沿滑板B上表面向右运动.已知木块A的质量m=1kg,g取10m/s2.求:
(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度大小;
(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能.
(2016·全国卷Ⅱ·35
(2))如图7所示,光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体,斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出,冰块平滑地滑上斜面体,在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m(h小于斜面体的高度).已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg,冰块的质量为m2=10kg,小孩与滑板始终无相对运动.取重力加速度的大小g=10m/s2.
(1)求斜面体的质量;
(2)通过计算判断,冰块与斜面体分离后能否追上小孩?
如图所示,一质量M=3.0kg的长方形木板B放在光滑水平地面上,在其右端放一个质量m=1.0kg的小木块A,同时给A和B以大小均为4.0m/s,方向相反的初速度,使A开始向左运动,B开始向右运动,A始终没有滑离B板,在小木块A做加速运动的时间内,木板速度大小可能是( )
A.2.1m/sB.2.4m/s
C.2.8m/sD.3.0m/s
命题点三 “人船模型”问题
1.特点
2.方程
m1v1-m2v2=0(v1、v2为速度大小)
3.结论
m1x1=m2x2(x1、x2为位移大小)
1.“人船模型”问题
两个原来静止的物体发生相互作用时,若所受外力的矢量和为零,则动量守恒,在相互作用的过程中,任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。
这样的问题归为“人船模型”问题。
2.“人船模型”的特点
(1)两物体满足动量守恒定律:
m1v1-m2v2=0。
(2)运动特点:
人动船动,人静船静,人快船快,人慢船慢,人左船右;人船位移比等于它们质量的反比;人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比,即
=
=
。
(3)应用此关系时要注意一个问题:
公式v1、v2和x一般都是相对地面而言的。
例8
长为L、质量为M的小船停在静水中,一个质量为m的人立在船头,若不计水的阻力和空气阻力,当人从船头走到船尾的过程中,船和人对地面的位移各是多少?
如图8所示,质量为M的气球下挂着长为L的绳梯,一质量为m的人站在绳梯的下端,人和气球静止在空中,人从绳梯的下端往上爬到顶端时,人和气球相对于地面移动的距离分别是多少?
(不计空气阻力)
如图9所示,气球下面有一根长绳,一个质量为m1=50kg的人抓在气球下方,气球和长绳的总质量为m2=20kg,长绳的下端刚好和水平面接触,当静止时人离地面的高度为h=5m。
如果这个人开始沿绳向下滑,当他滑到绳下端时,他离地面高度是(可以把人看做质点)( )
A.5mB.3.6m
C.2.6mD.8m
如图所示,在光滑水平面上有一辆质量M=8kg的平板小车,车上有一个质量m=1.9kg的木块,木块距小车左端6m(木块可视为质点),车与木块一起以v=1m/s的速度水平向右匀速行驶.一颗质量m0=0.1kg的子弹以v0=179m/s的初速度水平向左飞,瞬间击中木块并留在其中.如果木块刚好不从车上掉下,求木块与平板小车之间的动摩擦因数μ(g=10m/s2).
如图,光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计).设A以速度v0朝B运动,压缩弹簧;当A、B速度相等时,B与C恰好相碰并粘接在一起,然后继续运动.假设B和C碰撞过程时间极短,求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中,
(1)整个系统损失的机械能;
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能.
如图5所示,在平静的水面上有A、B两艘小船,A船的左侧是岸,在B船上站着一个人,人与B船的总质量是A船的10倍。
两船开始时都处于静止状态,当人把A船以相对于地面的速度v向左推出,A船到达岸边时岸上的人马上以原速率将A船推回,B船上的人接到A船后,再次把它以原速率反向推出……直到B船上的人不能再接到A船,则B船上的人推船的次数为( )
A.7B.6C.3D.9
2、质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上,箱子中间的一质量为m的小物块,小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ。
初始时小物块停在箱子正中间,如图5-4所示。
现给小物块一水平向右的初速度v,小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间,并与箱了保持相对静止。
设碰撞都是弹性的,则整个过程中,系统损失的动能为:
()
A.
mv2B.
v2C.
NμmgLD.NμmgL
3、矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成,将其放在光滑的水平面上,质量为m的子弹以速度v水平射向滑块。
若射击下层,子弹刚好不射出;若射击上层,则子弹刚好能射穿一半厚度,如图所示。
则上述两种情况相比较:
()
A.子弹的末速度大小相等B.系统产生的热量一样多
C.子弹对滑块做的功不相同D.子弹和滑块间的水平作用力一样大
5如图所示,光滑水平面上静置长木板,长木板上表面的AB部分为光滑圆弧,BC部分为粗糙平面,AB与BC平滑连接。
小物体由A点静止释放,恰好未滑离木板。
已知A点与BC竖直高度差为h,BC部分长度为L,长木板质量为2m,小物体质量为m。
求:
(1)小物体滑到B点时,二者的速度大小;
(2)BC部分与小物体间的动摩擦因数。
7、湖北武钢三中、武汉三中、省实验中学2015~2016学年高二下学期联考)在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物块B,物块与左右两边槽壁的距离如图所示,L为2.0m,凹槽与物块的质量均为m,两者之间的动摩擦因数μ为0.03,开始时物块静止,凹槽以v0=6m/s初速度向右运动,设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失,且碰撞时间不计。
g取10m/s2,求:
(1)物块与凹槽相对静止的速度?
(2)从凹槽开始运动到两者相对静止物块与左侧槽壁碰撞的次数?
(3)从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间?
.(多选)如图3所示,质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上,其斜面光滑且足够长,与水平方向的夹角为θ.一个质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上以初速度v0开始运动.当小物块沿斜面向上运动到最高点时,速度大小为v,距地面高度为h,则下列关系式中正确的是( )
A.mv0=(m+M)v
B.mv0cosθ=(m+M)v
C.mgh=
m(v0sinθ)2
D.mgh+
(m+M)v2=
mv02
)(2017·佛山模拟)如图所示,弹簧的一端固定在竖直墙上,质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上,底部与水平面平滑连接,一个质量也为m的小球从槽上高h处由静止开始自由下滑( )
A.在下滑过程中,小球和槽之间的相互作用力对槽不做功
B.在下滑过程中,小球和槽组成的系统水平方向动量守恒
C.被弹簧反弹后,小球和槽都做速率不变的直线运动
D.被弹簧反弹后,小球能回到槽上高h处
如图4所示,具有一定质量的小球A固定在轻杆一端,另一端挂在小车支架的O点.用手将小球拉至水平,此时小车静止于光滑水平面上,放手让小球摆下与B处固定的橡皮泥碰击后粘在一起,则在此过程中小车将( )
A.向右运动
B.向左运动
C.静止不动
D.小球下摆时,车向左运动后又静止
.(多选)质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接,以恒定的速度v沿光滑水平面运动,与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞,如图5所示,碰撞时间极短,在此过程中,下列情况可能发生的是(
A.M、m0、m速度均发生变化,分别为v1、v2、v3,而且满足(M+m0)v=Mv1+m0v2+mv3
B.m0的速度不变,M和m的速度变为v1和v2,而且满足Mv=Mv1+mv2
C.m0的速度不变,M和m的速度都变为v′,且满足Mv=(M+m)v′
D.M、m0、m速度均发生变化,M、m0速度都变为v1,m的速度变为v2,且满足(M+m)v0=(M+m)v1+mv2
如图6所示,质量为m2=2kg和m3=3kg的物体静止放在光滑水平面上,两者之间有压缩着的轻弹簧(与m2、m3不拴接).质量为m1=1kg的物体以速度v0=9m/s向右冲来,为防止冲撞,释放弹簧将m3物体发射出去,m3与m1碰撞后粘合在一起.试求:
(1)m3的速度至少为多大,才能使以后m3和m2不发生碰撞?
(2)为保证m3和m2恰好不发生碰撞,弹簧的弹性势能至少为多大?
如图所示,光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C,滑块B置于A的左端,三者质量分别为mA=2kg、mB=1kg、mC=2kg.开始时C静止,A、B一起以v0=5m/s的速度匀速向右运动,A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动,经过一段时间,A、B再次达到共同速度一起向右运动,且恰好不再与C发生碰撞.求A与C碰撞后瞬间A的速度大小
如图7所示,光滑水平轨道右边与墙壁连接,木块A、B和半径为0.5m的
光滑圆轨道C静置于光滑水平轨道上,A、B、C质量分别为1.5kg、0.5kg、4kg.现让A以6m/s的速度水平向右运动,之后与墙壁碰撞,碰撞时间为0.3s,碰后速度大小变为4m/s.当A与B碰撞后会立即粘在一起运动,已知g=10m/s2,求:
(1)A与墙壁碰撞过程中,墙壁对木块A平均作用力的大小;
(2)AB第一次滑上圆轨道所能达到的最大高度h.
(2015·高考广东卷)如图所示,一条带有圆轨道的长轨道水平固定,圆轨道竖直,底端分别与两侧的直轨道相切,半径R=0.5m.物块A以v0=6m/s的速度滑入圆轨道,滑过最高点Q,再沿圆轨道滑出后,与直轨上P处静止的物块B碰撞,碰后粘在一起运动,P点左侧轨道光滑,右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列,每段长度都为L=0.1m.物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ=0.1,A、B的质量均为m=1kg(重力加速度g取10m/s2;A、B视为质点,碰撞时间极短).
(1)求A滑过Q点时的速度大小v和受到的弹力大小F;
(2)若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上,求k的数值;
(3)求碰后AB滑至第n个(n<k)光滑段上的速度vn与n的关系式.
.(2017·河北石家庄检测)如图所示,甲车质量m1=m,在车上有质量M=2m的人,甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h处由静止滑下,到水平面上后继续向前滑动,此时质量m2=2m的乙车正以速度v0迎面滑来,已知h=
,为了使两车不可能发生碰撞,当两车相距适当距离时,人从甲车跳上乙车,试求人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件?
不计地面和斜坡的摩擦,小车和人均可看成质点.
如图所示,一质量M=2kg的带有弧形轨道的平台置于足够长的水平轨道上,弧形轨道与水平轨道平滑连接,水平轨道上静置一小球B.从弧形轨道上距离水平轨道高h=0.3m处由静止释放一质量mA=1kg的小球A,小球A沿轨道下滑后与小球B发生弹性正碰,碰后小球A被弹回,且恰好追不上平台.已知所有接触面均光滑,重力加速度为g.求小球B的质量.(取重力加速度g=10m/s2)
.如图,质量分别为mA、mB的两个弹性小球A、B静止在地面上方,B球距地面的高度h=0.8m,A球在B球的正上方.先将B球释放,经过一段时间后再将A球释放.当A球下落t=0.3s时,刚好与B球在地面上方的P点处相碰.碰撞时间极短,碰后瞬间A球的速度恰好为零.已知mB=3mA,重力加速度大小g=10m/s2,忽略空气阻力及碰撞中的动能损失.求:
(1)B球第一次到达地面时的速度;
(2)P点距离地面的高度.
(多选)
如图所示,在光滑水平面上停放着质量为m、装有光滑弧形槽的小车,一质量也为m的小球以水平初速度v0沿槽口向小车滑去,到达某一高度后,小球又返回右端,则( )
A.小球以后将向右做平抛运动
B.小球将做自由落体运动
C.此过程小球对小车做的功为
D.小球在弧形槽内上升的最大高度为
(2017·衡水模拟)如图所示,在光滑的水平面上放置一个质量为2m的木板B,B的左端放置一个质量为m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0飞来与物块A碰撞后立即粘住,在整个运动过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求:
(1)物块A相对木板B静止后的速度大小;
(2)木板B至少多长。
质量为m0的小车,如图所示,上面站着一个质量为m的人,以v0的速度在光滑的水平面上前进。
现在人用相对于小车为u的速度水平向后跳出后,车速增加了多少?
.如图5所示,在水平光滑地面上有A、B两个木块,A、B之间用一轻弹簧连接.A靠在墙壁上,用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态.若突然撤去力F,则下列说法中正确的是( )
A.木块A离开墙壁前,墙对木块A的冲量大小等于木块B动量变化量的大小
B.木块A离开墙壁前,弹性势能的减少量等于木块B动能的增量
C.木块A离开墙壁时,B的动能等于A、B共速时的弹性势能
D.木块A离开墙壁后,当弹簧再次恢复原长时,木块A的速度为零
.如图6所示,质量为m2的小球B静止在光滑的水平面上,质量为m1的小球A以速度v0靠近B,并与B发生碰撞,碰撞前后两个小球的速度始终在同一条直线上.A、B两球的半径相等,且碰撞过程没有机械能损失.当m1、v0一定时,若m2越大,则(
A.碰撞后A的速度越小
B.碰撞后A的速度越大
C.碰撞过程中B受到的冲量越大
D.碰撞过程中A受到的冲量越大
如图3所示,半径为R的光滑半圆圆槽质量为M,静止在光滑水平面上,其内表面有一质量为m的小球被细线吊着位于槽的边缘处,如将线烧断,小球滑行到最低点向右运动时,圆槽的速度为( )
A.0
B.
,向左
C.
,向右
D.不能确定
.如图10所示,AB为倾角θ=37°的粗糙斜面轨道,通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接,质量为m2的小球乙静止在水平轨道上,质量为m1的小球甲以速度v0与乙球发生弹性正碰.若m1∶m2=1∶2,且轨道足够长,要使两球能发生第二次碰撞,求乙球与斜面之间的动摩擦因数μ的取值范围.(sin37°=0.6,cos37°=0.8)
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