选修11双曲线的标准方程和几何性质教案.docx
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选修11双曲线的标准方程和几何性质教案
适用学科
1
高中数学]适用年级
1
1
亠咼二
1
一1
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)
2课时
:
知识点
双曲线的标准方程和几何性质1
1
教学目标
1•掌握双曲线的标准方程和几何性质.(重点)•
1
1
1
1
1
1
1
1
1
教学重点
2.双曲线的渐近线和离心率的求法.(难点)|
1
i
1
i
iii
i
i
教学难点
3.椭圆与双曲线几何性质的比较.(易混点)1
【教学建议】
本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程,字母a,b,c的意义和关系式,方程的特点。
【知识导图】
■教学过程pi
一、导入
教材整理双曲线的标准方程
阅读教材P39〜P40例1以上部分,完成下列问题
【教学建议】
合理利用教材上的导入课程进行导入。
提问和互动,进行概念辨析和公式推导。
与椭圆方程
进行对比辨析。
二、知识讲解
【教考建议1双曲线的定义
双曲线的定义:
平面内与两个定点F,、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F,F21)
的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2av|F1F21,这一条件可以用
“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条射线;若
2a>1F1F21,则无轨迹.
若MFrvMF2时,动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若MFj>MF2时,轨迹
为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
考点2双曲线的标准方程
标准
方程
22
予―》1(a>0,b>0)
22
ya2—含=1(a>0,b>0)
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
(p1
TP
4
焦占
八、、八、、
坐标
Fi(—c,0),
F?
(c.O)
F1(0,—c),
F2(0,c)
a,b,c之间的关系
c2=a2+b2
2222
双曲线的标准方程:
X2~y2=1和笃一仔=1(a>0,b>0).这里b2=c2-a2,其
abab
中IFrF2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同
双曲线的标准方程判别方法是:
如果x2项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果y2项的系
数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比
较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上
求双曲线的标准方程,应注意两个问题:
⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运
用待定系数法求解.
如果已知双曲线过两个点(不是在坐标轴上的点),求其标准方程时,为了避免对焦点的讨
22
论可以设其方程为Ax2By2=1(AB:
:
:
0)或——
AB
考点3双曲线的几何性质
2
1.双曲线笃-爲=1的实轴长为2a,虚轴长为2b,ab
=1(AB:
:
:
0)
c
离心率e>1,离心率e越大,
a
m2x2-n2y2=k,其中k是一个不为零的常数.
双曲线的开口越大•
曲线的标准方程只要两个独立的条件
b2
5.在双曲线中,如果一个三角形的两个顶点是焦点片丁2,另一个顶点P在椭圆上,称该三
角形为焦点三角形,则面积等于,其中b是虚半轴的长;
tan_12
2
性质
焦占
八'、八\、
FgO),F2(c,0)
F1(O,-c),F2(0,c)
焦距
2c
范围
x兰-a或x兰a,y€R
y兰一a或y兰a,xR
对称轴
x轴,y轴
对称中心
原点
顶点
A(-a,。
),A2(a,0)
A(O,-a)A(O,a)
轴
实轴:
线段A|A2,长:
2a;虚轴:
线段IRB?
],长:
2b;
实半轴长:
a,虚半轴长:
b
离心率
e=c€(1,咼)
a
渐近线
y』x
a
y=±旦x
b
二、例题精析
类型一双曲线的标准方程
例题1
根据下列条件,求双曲线的标准方程.
f15、「16\
⑴经过点P3,15,Q-史,5;
I4丿I3丿
(2)c=.6,经过点(一5,2),焦点在x轴上.
【解答】
22
(1)法一:
若焦点在x轴上,设双曲线的方程为^7-^7=1(a0,b0)
ab
•占P£些1q匚些5〕
••点p彳花,Q3,5
在双曲线上,
L=-16
解得彳2.(舍去)
I=-9.
解得a;知
lb=16.
•••P,Q两点在双曲线上,
•所求双曲线的标准方程为x2
法二:
••焦点在x轴上,c=,6,
••双曲线经过点(一5,2),
•入=5或入=30(舍去).
【教学建议】
程.解答
(2)利用待定系数法.
【教学建议】
1用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2.
求双曲线标准方程的两个关注点
坐标轴上,以判断方程的形式;
(2)
例题2
定量:
定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解
22
1.已知双曲线与椭圆—y1有共同的焦点,且过点(15,4),求双曲线的方程.
2736
22
【解析】椭圆;;=1的焦点坐标为R0,£,F20,3,故可设双曲线的方程
22
为.爲-2=1(ab0)
ab
'22
ab=9
由题意,知4215
解得a2"
p2=5
22
故双曲线的方程为
yx
1
45
类型二双曲线标准方程的讨论
例题1
22
(1)如果方程^+丄=1表示双曲线,则实数m的取值范围是
m+2m+1
⑵“ab<0是方程ax2+by2=c表示双曲线”的条件(填必要不充分”充分不必要”、充要”和既不充分也不必要”)
22
(3)若方程-厂丄1表示焦点在y轴上的双曲线,求实数m的取值范围.
5-mm-2m—3
【解析】
(1)由题意知(2+m)(1+m)v0,解得—2vmv—1.故m的取值范围是(—2,-1).
222
⑵若ax2by2二c表示双曲线,即—丄1表示双曲线,则C:
:
:
0,这就是说“ab ccab ab 条件,然而若ab<0,c等于0时不表示双曲线,即“ab<0不是充分条件. 【答案】 (1)(—2,-1) (2)必要不充分 22 xy ⑶由方程21表示焦点在y轴上的双曲线, 5-mm-2m—3 所以实数m的取值范围是(5,+^). 【总结与反思】方程表示双曲线的条件及参数范围求法 、xy2一、一、 1.对于方程1,当mnv0时表示双曲线.进一步,当m>0,nv0时表示焦点在x mn 轴上的双曲线;当mv0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线. 22 2.对于方程—-y1,,则当mn>0时表示双曲线.且当m>0,n>0时表示焦点在x轴 mn 上的双曲线;当mv0,nv0时表示焦点在y轴上的双曲线. 3.已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方 程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围. 类型三双曲线中的焦点三角形 周长及EPF2的面积. 22 法一: •••点P在双曲线—-y1上, 44 又••••FfF? =90,: F1PF2为直角三角形, PFi=2.3-2PF2=232 解得-或_ 甲=2石—2PFi=2^3—2 •••.F1PF2的周长为PFPF2F1F2=4.34.2, 11--.F1PF2的面积为㊁PFiPF2^322.3-2=4. 法二: 同解法一得.PFi-PF2=4,FiF2=4.2..PFiPF2二FF=32. 222 PF-pf2v=pf2pf22-2pfpf2即 即16=32-2PFiPF? .PFi卩F2=8. •••PFi+PF2=4.3..PFiPF2=4.3. ••FPF2的周长为PFiPF2FiF^4342, .FiPF2的面积为^PFPF22322・、3-2=4. 【教学建议】 在双曲线的焦点三角形中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点,另 外,还经常结合MFi-MF2=±a,运用平方的方法,建立它与MFi||MF2的联系,体现 了数学中的一种整体思想 并作出草图 类型四由双曲线的方程求其几何性质 y2「4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程, 【精彩点拨】本题给出的方程不是标准方程,应先化方程为标准形式,然后根据标准方程求出基本量a,b,c即可得解,注意确定焦点所在坐标轴. 22 【自主解答】将9y2-4x2=-36变形为—i, 94 22即」i—a=3,b=2,c=〔i3, 3222 因此顶点坐标Ai(-3,0),A2(3,0),焦点坐标Fi(-i3,0),F2(i3,0), 实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4, 离心率e=彳二乂単, a3 渐近线方程为y=号=±x. 作草图: 如图所示. 【教学建议】 用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为: 1将双曲线方程化为标准方程形式; 2判断焦点的位置; ]写出a与b的值; 4写出双曲线的几何性质. 类型五: 求双曲线的离心率及其取值 (1)设例懸BC是等腰三角形,/ABC=120°则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 22 ⑵已知双曲线X2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。 的直线与双曲ab 线的右支有且只有一个交点,求双曲线离心率的取值范围. 【精彩点拨】 (1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系,求出离心率; (2)可以通 过图形借助直线与双曲线的关系,因为过点F且倾斜角为60°勺直线与双曲线的右支有且只 有一个交点,则必有一》tan60°. a 【自主解答】⑴由题意2c=AB=BC, •••AC=2>2c恳in60=2\3c, 由双曲线的定义, 有2a=AC—BC=2,3c-2c? a=(3—1)c, C11+V3 Ae=訐—3—1= b 直线的斜率为k=tan60=°3,故有3, cia2*b2/ 所以e=a=<~^2-沁1+3=2, 所以所求离心率的取值范围是e>2. 【教学建议】 1•求双曲线的离心率就是求a和c的关系,一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a,b,c三者中两者的关系,进而利用c^a2b2进行转化. 2•求双曲线离心率的取值范围,一般可以从以下几个方面考虑: (1)与已知范围联系,通过 求值域或解不等式来完成. (2)通过判别式△>0来构造.(3)利用点在双曲线内部形成不等关系.⑷利用解析式的特征,如c>a,或c>b. 类型六直线与双曲线的位置关系 探究1直线与双曲线有几种位置关系? 交点个数怎样? 直线与双曲线的交点个数能否用 判别式来判断? 【提示】三种位置关系: 相交——两个或一个交点;相切——一个交点;相离——没有交 点•当判断交点个数时,要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断. 探究2过双曲线上一点存在几条直线,使该直线与双曲线有且只有一个交点? 解决这种问 题应注意什么? 【提示】过双曲线上一点存在三条直线,使该直线与双曲线有且只有一个交点,一条是切 线,两条是分别与渐近线平行的直线•解决这种问题时,应注意直线与渐近线平行的情况. 探究3在双曲线中,直线与双曲线相交会有几种情况,如何求弦长? 【提示】直线与双曲线相交时,两交点可能在两支上,也可能在同一支上•弦长公式为 RP2=抽+k2 ■X1—X2或RF2=』 'k2%-丫2 例题6 设双曲线C: 2 X2 牙-y=1(a>0)与直线I: xy=1相交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离a 心率的取值范围. 【精彩点拨】把双曲线方程和直线方程联立,得到一元二次方程,利用 △>0可得a的范 围,进而可求离心率的范围. 【自主解答】由C与I相交于两个不同点,故知方程组 '2 冬_2 -y=1有两组不同的实根, Xy=1, 消去y并整理得1-a2x2,2a2x-2a2=0•① 2 1—aHO, 所以422 4a+8a(1_a)>0
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- 选修 11 双曲线 标准 方程 几何 性质 教案