专题47平行四边形的性质与判定大题专练重难点培优解析版浙教版.docx
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专题47平行四边形的性质与判定大题专练重难点培优解析版浙教版
专题4.7平行四边形的性质与判定大题专练(重难点培优)
姓名:
__________________班级:
______________得分:
_________________
注意事项:
本试卷试题共25题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一.解答题(共25小题)
1.(2020春•江干区期末)如图,E、F是▱ABCD对角线AC上两点,AE=CF,求证:
四边形BFDE是平行四边形.
【分析】连接BD,交AC于点O.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明.
【解析】证明:
连接BD,交AC于点O.
∵ABCD是平行四边形,
∴OA=OCOB=OD,
又∵AE=CF,
∴OA﹣AE=OC﹣CF,即OE=OF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
2.(2020春•拱墅区期末)如图,在▱ABCD中,点G,H分别是AB,CD的中点,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.
(1)求证:
四边形EGFH是平行四边形;
(2)连接BD交AC于点O,若BD=10,AE+CF=EF,求EG的长.
【分析】
(1)先由平行四边形的性质及点G,H分别是AB,CD的中点,得出△AGE和△CHF全等的条件,从而判定△AGE≌△CHF(SAS),然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE=HF,GE∥HF,则可得出结论.
(2)先由平行四边形的性质及BD=10,得出OB=OD=5,再根据AE=CF、AE+CF=EF及OA=OC得出AE=OE,从而可得EG是△ABO的中位线,利用中位线定理可得EG的长度.
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠GAE=∠HCF,
∵点G,H分别是AB,CD的中点,
∴AG=CH,
∵AE=CF,
∴△AGE≌△CHF(SAS),
∴GE=HF,∠AEG=∠CFH,
∴∠GEF=∠HFE,
∴GE∥HF,
又∵GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)连接BD交AC于点O,如图:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BD=10,
∴OB=OD=5,
∵AE=CF,OA=OC,
∴OE=OF,
∵AE+CF=EF,
∴2AE=EF=2OE,
∴AE=OE,
又∵点G是AB的中点,
∴EG是△ABO的中位线,
∴EG
OB=2.5.
∴EG的长为2.5.
3.(2020•婺城区校级模拟)如图,在▱ABCD中,∠ABC和∠ADC的平分线分别交CD,AB边于点F,E,
(1)求证:
∠1=∠2.
(2)求证:
四边形DEBF是平行四边形.
【分析】
(1)根据平行四边形的性质以及角平分线的定义即可解决问题
(2)由在▱ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F,易证得∠AED=∠CDE=∠ABF,继而证得DE∥BF,则可证得四边形DEBF是平行四边形
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC,
又∵∠1
∠ADC,∠2
∠ABC,
∴∠1=∠2.
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠ADC=∠ABC,
又∵∠CDE
∠ADC,∠ABF
∠ABC,
∴∠CDE=∠ABF.
∵∠CDE=∠AED,
∴∠AED=∠ABF,
∴DE∥BF,
∴四边形DFBE是平行四边形,
4.(2020•衢州模拟)如图,在▱ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
【分析】本题中,在连接BD交AC于O,则可知OB=OD,OA=OC,又AE=CF,所以OE=OF,然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明.
【解析】证明:
连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO
∵AE=CF,
∴AO﹣AE=CO﹣CF.
即EO=FO.
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
5.(2019春•宁波期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止运动.设运动时间为ts,当t为何值时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形?
【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ,结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形,分四种情况考虑,在每种情况中由PD=BQ即可列出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,
∴PD∥BQ.
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形,则PD=BQ.
设运动时间为t.
当0<t
时,AP=t,PD=10﹣t,CQ=4t,BQ=10﹣4t,
∴10﹣t=10﹣4t,
解得:
t=0(舍去);
当
t≤5时,AP=t,PD=10﹣t,BQ=4t﹣10,
∴10﹣t=4t﹣10,
解得:
t=4;
当5<t
时,AP=t,PD=10﹣t,CQ=4t﹣20,BQ=30﹣4t,
∴10﹣t=30﹣4t,
解得:
t
;
当
t≤10时,AP=t,PD=10﹣t,BQ=4t﹣30,
∴10﹣t=4t﹣30,
解得:
t=8.
综上所述:
当运动时间为4秒或
秒或8秒时,以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形.
6.(2019春•西湖区校级月考)如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,D是BC的中点,CE=BE,CE∥AD
(1)求证:
DE=AC;
(2)连结AE,若AC=2,BC=6,求△AEB的周长.
【分析】
(1)由∠ACB=90°,DE⊥BC,CE∥AD,易证得四边形ACED是平行四边形,然后根据平行四边形的对边相等,即可求得DE的长;
(2)首先利用勾股定理即可得到结论.
【解析】
(1)∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∵DE⊥BC,
∴AC∥DE,
∵CE∥AD,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴DE=AC;
(2)∵∠ACB=90°,AC=2,BC=6,
∴AB
2
,
过E作EF⊥AC的延长线于F,
∴CF=DE=AC=2,EF=CD
BC=3,
∴AE
5,
∵BE
,
∴△AEB的周长=AB+BE+AE=2
5.
7.(2020春•江汉区期末)如图,E,F是▱ABCD对角线BD上两点,且BE=DF.
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
(2)连接AC,若∠BAF=90°,AB=4,AF=AE=3,求AC的长.
【分析】
(1)连接AC,交BD于点O,由平行四边形的性质得到OA=OC,OB=OD,证得OE=OF,则即可得出结论;
(2)由勾股定理求出BF=5,证出四边形AECF是菱形,得AC⊥EF,由勾股定理的OA2=AB2﹣OB2=AE2﹣OE2,解得OF=1.8,则OA=2.4,得AC=2OA=4.8.
【解析】
(1)证明:
连接AC,交BD于点O,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OB﹣BE=OD﹣DF,即OE=OF,
∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵∠BAF=90°,AB=4,AF=3,
∴BF
5,
∵四边形AECF是平行四边形,AE=AF,OE=OF,OA=OC,
∴四边形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,
∴OA2=AB2﹣OB2=AE2﹣OE2,
∴42﹣(5﹣OF)2=32﹣OF2,
解得:
OF=1.8,
∴OA
2.4,
∴AC=2OA=4.8.
8.(2020春•灯塔市期末)如图,点B、E分别在AC、DF上,AF分别交BD、CE于点M、N,∠A=∠F,∠C=∠D.
(1)求证:
四边形BCED是平行四边形;
(2)已知DE=3,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.
【分析】
(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明;
(2)根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN=CB=DE.
【解析】
(1)证明:
∵∠A=∠F,
∴DF∥AC,
∴∠C=∠FEC,
又∵∠C=∠D,
∴∠FEC=∠D,
∴DB∥EC,
∴四边形BCED是平行四边形;
(2)∵BN平分∠DBC,
∴∠DBN=∠CBN,
∵BD∥EC,
∴∠DBN=∠BNC,
∴∠CBN=∠BNC,
∴CN=BC,
又∵BC=DE=3,
∴CN=3.
9.(2020•新丰县模拟)已知,如图,在▱ABCD中,延长AB到点E,延长CD到点F,使得BE=DF,连接EF,分别交BC,AD于点M,N,连接AM,CN.
(1)求证:
△BEM≌△DFN;
(2)求证:
四边形AMCN是平行四边形.
【分析】
(1)根据平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD,AB∥CD,根据平行线的性质得出∠BAD=∠ADF,∠EBC=∠BCD,∠E=∠F,求出∠ADF=∠EBC,根据全等三角形的判定得出即可;
(2)根据全等求出DN=BM,求出AN=CM,根据平行四边形的判定得出即可.
【解析】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AB∥CD,
∴∠BAD=∠ADF,∠EBC=∠BCD,∠E=∠F,
∴∠ADF=∠EBC,
在△DFN和△BEM中
∴△DFN≌△BEM(ASA);
(2)四边形ANCM是平行四边形,
理由是:
∵由
(1)知△DFN≌△BEM,
∴DN=BM,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,且AD∥BC,
∴AD﹣DN=BC﹣BM,
∴AN=CM,AN∥CM,
∴四边形ANCM是平行四边形.
10.(2020春•海陵区校级期中)▱ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,O为AE中点,连接BO并延长交AD于F,连接EF.
(1)判断四边形ABEF的形状并说明理由;
(2)若AB=2,∠D=60°,当△BFC为直角三角形时,求△BFC的周长.
【分析】
(1)由△AOF≌△EOB,推出AF=BE,由AF∥BE,可得四边形ABEF是平行四边形,再证明AB=BE即可解决问题;
(2)分∠CBF不为直角和∠BFC=90°两种情况求得周长即可.
【解析】
(1)四边形ABEF是菱形;
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AF∥BE,
∴∠FAO=∠BEO,
∵∠AOF=∠EOB,OA=OE,
∴△AOF≌△EOB,
∴AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四边形;
∵AE平分∠BAD,
∴∠FAE=∠BAE,
∵∠FAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴BA=BE,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)∵∠BAE=∠B=60°,
∴∠CBF不可能为直角;
当∠BCF=90°时,BF=2OB
,CF
,BC=3,此时△BFC的周长为
;
当∠BFC=90°时,BC=4,CF=2,BF
,此时△BFC的周长为
;
所以△BFC的周长为
或
.
11.(2020•秦淮区二模)图,点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上,且BE=DF,连接AC、EF、AF、CE,AC与EF交于点O.
(1)求证:
AC、EF互相平分;
(2)若EF平分∠AEC,判断四边形AECF的形状并证明.
【分析】
(1)要证明线段AC与EF互相平分,可以把这两条线段作为一个四边形的对角线,然后证明这个四边形是平行四边形即可;
(2)要证四边形AECF是菱形,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可.
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC.
又∵BE=DF,
∴AB+BE=DC+DF,
即AE=CF.
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∴AC、EF互相平分.
(2)四边形AECF是菱形.
证明:
∵AB∥DC,
∴∠AEO=∠CFO.
∵EF平分∠AEC,
∴∠AEO=∠CEO.
∴∠CEO=∠CFO.
∴CE=CF.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴四边形AECF是菱形.
12.(2020春•赣榆区期中)如图,在▱ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE.
(1)求证:
△ABC≌△EAD;
(2)若∠B=65°,∠EAC=25°,求∠AED的度数.
【分析】
(1)先证明∠B=∠EAD,然后利用SAS可进行全等的证明;
(2)先根据等腰三角形的性质可得∠BAE=50°,求出∠BAC的度数,即可得∠AED的度数.
【解析】
(1)证明:
∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,BC=AD,
∴∠EAD=∠AEB,
又∵AB=AE,
∴∠B=∠AEB,
∴∠B=∠EAD,
在△ABC和△EAD中,
,
∴△ABC≌△EAD(SAS).
(2)解:
∵AB=AE,
∴∠B=∠AEB,
∴∠BAE=50°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+25°=75°,
∵△ABC≌△EAD,
∴∠AED=∠BAC=75°.
13.(2018春•鄂城区期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=10,过点A作AD∥BC,且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动,同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动,在线段QC上取点E,使得QE=2,连结PE,设点P的运动时间为t秒.
(1)若PE⊥BC,求BQ的长;
(2)请问是否存在t的值,使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)作AM⊥BC于M,由已知条件得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BM=CM,由直角三角形斜边上的中线性质得出AM
BC=5,证出△APN和△CEN是等腰直角三角形,得出PN=AP=t,CE=NE=5﹣t,由CE=CQ﹣QE=2t﹣2得出方程,解方程即可;
(2)由平行四边形的判定得出AP=BE,得出方程,解方程即可.
【解析】
(1)作AM⊥BC于M,设AC交PE于N.如图所示:
∵∠BAC=90°,∠B=45°,
∴∠C=45°=∠B,
∴AB=AC,
∴BM=CM,
∴AM
BC=5,
∵AD∥BC,
∴∠PAN=∠C=45°,
∵PE⊥BC,
∴PE=AM=5,PE⊥AD,
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形,
∴PN=AP=t,CE=NE=5﹣t,
∵CE=CQ﹣QE=2t﹣2,
∴5﹣t=2t﹣2,
解得:
t
,所以BQ=BC﹣CQ=10﹣2
;
(2)存在,t=4或12;理由如下:
若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形,
则AP=BE,
∴t=10﹣2t+2或t=2t﹣2﹣10
解得:
t=4或12
∴存在t的值,使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形,t=4或12.
14.(2020•岱岳区三模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF.
(1)若∠ADC=80°,求∠ECF;
(2)求证:
∠ECF=∠CEF.
【分析】
(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形,由线段中点的定义得到AF=FD,根据等腰三角形的性质得到∠DFC=∠DCF
(180°﹣80°)=50°,于是得到结论;
(2)如图,延长EF,交CD延长线于M,根据平行线的性质得到∠A=∠MDF,根据全等三角形的性质得到FE=MF,∠AEF=∠M,根据直角三角形的性质得到FC
EM=FE,由等腰三角形的性质得到.
【解析】
(1)∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
∵在▱ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF
(180°﹣80°)=50°,
∵CE⊥AB,
∴CE⊥CD,
∴∠DCE=90°,
∴∠ECF=90°﹣50°=40°;
(2)如图,延长EF,交CD延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDF,
∵F为AD中点,
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中,
,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90
°,
∵FM=EF,
∴FC
EM=FE,
∴∠ECF=∠CEF.
15.(2017•南充模拟)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=CD,点E,F分别在边BC,CD上,
且BE=DF=AD,AF与DE交于点G.
(1)求证:
AB=BF.
(2)当AB=5
,AD=2
,求DG的长.
【分析】
(1)先证△BCF≌△DCE,再证四边形ABED是平行四边形,从而得AB=DE=BF.
(2)延长AF交BC延长线于点M,设EC=FC=x,在Rt△DEC中,由勾股定理可得x的值,再证明点G是DE的中点即可求出DG的长.
【解析】
(1)证明:
∵BC=CD,BE=DF,
∴CF=CE,
在△BCF与△DCE中,
,
∴△BCF≌△DCE,
∴BF=DE,
∵AD∥BC,BE=AD,
∴四边形ABED是平行四边形;
∴AB=DE,
∴AB=BF.
(2)由
(1)可得AB=DE=5
,设EC=FC=x,
在Rt△DEC中,由勾股定理可得x2+(x+2
)2=(5
)2,
解得:
x
,
延长AF交BC延长线于点H,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠H,
∵AD=DF,
∴∠1=∠2,
∵∠2=∠3,
∴∠3=∠H,
∴FC=CH,
∵EH=2x=2
,
∴AD=EH,
∵AD∥BC,
∴DG=EG,
∴DG
DE
.
16.(2020春•丛台区校级期末)已知:
如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.
(1)求证:
△ADE≌△FCE;
(2)求证:
四边形ACFD是平行四边形.
(3)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的长.
【分析】
(1)根据点E是CD的中点,可得DE=CE,根据CF∥AB,可得∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE,进而利用AAS可以证明△ADE≌△FCE;
(2)结合
(1)的CF=AD,再由CF∥AB,即可证明四边形ACFD是平行四边形;
(3)结合
(1)先证明四边形DCFB是平行四边形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=DB,得平行四边形DCFB是菱形,由∠DCF=120°,可得△CDB是等边三角形,由DE=2,即可求BC的长.
【解析】
(1)∵点E是CD的中点,
∴DE=CE,
∵CF∥AB,
∴∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE,
在△ADE和△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS);
(2)证明:
∵△ADE≌△FCE,
∴AD=CF,又CF∥AB,
∴四边形ACFD是平行四边形;
(3)∵点D是AB的中点,
∴AD=BD,
∵AD=CF,
∴BD=CF,又CF∥AB,
∴四边形DCFB是平行四边形,
∵∠ACB=90°,点D是AB的中点,
∴DC=AD=BD,
∴平行四边形DCFB是菱形,
∴∠DCF=120°,
∴∠CDB=60°,
∴△CDB是等边三角形,
∴BC=CD=2DE=4,
答:
BC的长为4.
17.(2020春•青羊区期末)如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,且DF∥BE.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若∠CEB=2∠EBA,BE=3,EF=2,求AC的长.
【分析】
(1)证△ADF≌△CBE(SAS),得到AD=CB,∠DAF=∠BCE,证出AD∥CB,即可得到结论;
(2)证∠EAB=∠EBA,得出AE=BE=3,则CF=AE=3,即可得出答案.
【解析】
(1)证明:
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,
∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC,
在△ADF和△CBE中,
,
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴AD=CB,∠DAF=∠BCE,
∴AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)解:
∵∠CEB=∠EBA+∠EAB=2∠EBA,
∴∠EAB=∠EBA,
∴AE=BE=3,
∴CF=AE=3,
∴AC=AE+EF+CF=3+2+3=8.
18.(2020春•莲湖区期末)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是平行四边形ABCD的对角线,AG∥BD交CB的延长线于点G.
(1)求证:
四边形BEDF是平行四边形.
(2)若AE=DE,求∠G的度数.
【分析】
(1)根据平行四边形的性质得出AD∥BC,DC∥AB,DC=AB,推出DF=BE,DF∥BE,根据平行四边形的判定推出即可;
(2)先证明四边形AGBD是平行四边形,再证出∠ADB=90°,得到四边形AGBD为矩形,即可得出结论.
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵E、F分别为边AB、CD的中点,
∴
,
∴BE=DF.
∵BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BG,
∵AG∥BD,
∴四边形AGBD是平行四边形,
∵点E是AB的中点,
∴AE=BE
AB,
∵AE=DE,
∴AE=DE=BE,即DE
AB,
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,
∴平行四边形AGBD是矩形.
∴∠G=90°.
19.(2020•扬州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB、DC于点E、F,连接AF、CE.若OE
,求EF的长;
【分析】判定△AOE≌△COF(ASA),即可得OE=OF
,进而得出EF的长;
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AO=CO,
∴∠FCO=∠EAO,
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF
,
∴EF=2OE=3;
20.(2020春•龙岗区校级期末)如图,四边形ABCD中,BE⊥AC交AD于点G,DF⊥AC于点F,已知AF=CE,AB=CD.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)如果∠GBC=∠BCD,AG=6,GE=2,求AB的长.
【分析】
(1)证Rt△ABE≌Rt△CDF(HL),得∠BAE=∠DCF,证出AB∥CD,由AB=CD,即可证出四边形ABCD是平行四边形;
(2)证四边形BCDG是等腰梯形,得BG=CD=AB,由勾股定理得AE=4
,设AB=BG=x,则BE=x﹣2,在Rt△ABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【解析】
(1)证明:
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∵AF=CE,
∴AF﹣EF=CE﹣EF,
即AE=CF,
在Rt
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- 专题 47 平行四边形 性质 判定 大题专练重 难点 解析 版浙教版
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