推荐学习年高考数学个必考点专题抛物线检测.docx
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推荐学习年高考数学个必考点专题抛物线检测
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专题21抛物线
一、基础过关题
1.(2018全国卷III)已知点
和抛物线
,过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
两
点.若
则
________.
【答案】
【解析】依题意得,抛物线
的焦点为
故可设直线
,
联立
消去
得
设
,
则
,
,∴
.又
,
∴
∴
.
2.(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A、B两点,如果·=-12,那么抛物线C的方程为( )
A.x2=8yB.x2=4y
C.y2=8xD.y2=4x
【答案】C
3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2
【答案】B
【解析】∵y2=2px(p>0)的焦点坐标为(p2,0),
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,
即x=y+p2,将其代入y2=2px,得y2=2py+p2,
即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2p,∴y1+y22=p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2的值一定等于()
A.-4 B.4 C.p2D.-p2
【答案】 A
5.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9x
B.y2=6x
C.y2=3x
D.y2=x
【答案】C
【解析】如图,分别过A、B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,
6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,若点A(-1,0),则|PF||PA|的最小值是()
A.12 B.22 C.32D.23
【答案】 B
【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,如图,
过P作PN垂直直线x=-1于N,
由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,连接PA,
在Rt△PAN中,sin∠PAN=|PN||PA|,
当|PN||PA|=|PF||PA|最小时,sin∠PAN最小,即∠PAN最小,即∠PAF最大,
此时,PA为抛物线的切线,设PA的方程为y=k(x+1),
联立y=k(x+1y2=4x,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1,所以∠PAF=∠NPA=45°,
|PF||PA|=|PN||PA|=cos∠NPA=22,故选B.
7.设F为抛物线C:
y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=________.
【答案】12
8.已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=________.
【答案】 2
【解析】如图,由AB的斜率为,
知∠α=60°,又=,∴M为AB的中点.
过点B作BP垂直准线l于点P,
则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°,
∴|BP|=12|AB|=|BM|.
∴M为焦点,即p2=1,∴p=2.
9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=________.
【答案】 6
【解析】抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2.
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意,c=2,ca=12,
可得a=4,b2=16-4=12.
故椭圆方程为x216+y212=1.
把x=-2代入椭圆方程,解得y=±3.从而|AB|=6.
10.(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程为y2=8x;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
【答案】
(1)该抛物线的方程;(2)λ=0或λ=2.
二、能力提高题
1.(2016·上饶四校联考)设抛物线C:
y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8xﻩB.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x ﻩD.y2=2x或y2=16x
【答案】C
2.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是________________.
【答案】(2,4)
【解析】如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则2=4x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条.
3.设P,Q是抛物线y2=2px(p>0)上相异两点,P,Q到y轴的距离的积为4,且·=0.
(1)求该抛物线的标准方程;
(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴的交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
【答案】
(1)该抛物线的方程为y2=2x;
(2)|PR|最小值为4.
【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵·=0,则x1x2+y1y2=0.
又点P,Q在抛物线上,∴y21=2px1,y22=2px2,
代入得1·2+y1y2=0,
y1y2=-4p2,∴|x1x2|=(y1y24p2=4p2.
又|x1x2|=4,∴4p2=4,p=1,∴抛物线的标准方程为y2=2x.
(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a,
联立方程组x=my+a,y2=2x,消去x得y2-2my-2a=0,∴y1+y2=2m,y1y2=-2a,①
设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR的方程为x=ny+b,并设R(x3,y3),同理可知,
y1+y3=2n,y1y3=-2b,②
由①②可得y3y2=ba.
由题意得,Q为线段RT的中点,∴y3=2y2,∴b=2a.
又由
(1)知,y1y2=-4,代入①,
可得-2a=-4,∴a=2,∴b=4,y1y3=-8,
∴|PR|=|y1-y3|=·=2·≥4.
当n=0,即直线PR垂直于x轴时,|PR|取最小值4.
4.如图,由部分抛物线:
y2=mx+1(m>0,x≥0)和半圆x2+y2=r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”,若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(-12,32).
(1)求“黄金抛物线C”的方程;
(2)设P(0,1)和Q(0,-1),过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A,P,B三点,问是否存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB?
若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)黄金抛物线C的方程为y2=x+1(x≥0)和x2+y2=1(x≤0);
(2)存在直线l:
y=(-1)x+1,使得QP平分∠AQB.
(2)假设存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB,显然直线l的斜率存在且不为0,
设直线l:
y=kx+1,联立y=kx+1,y2=x+1,消去y,
得k2x2+(2k-1)x=0,∴xB=1-2kk2,yB=1-kk,即B(1-2kk2,1-kk),∴kBQ=k1-2k,
联立y=kx+1,x2+y2=1,消去y,得(k2+1)x2+2kx=0,
∴xA=-2kk2+1,yA=1-k2k2+1,即A(-2kk2+1,1-k2k2+1),∴kAQ=-1k,
∵QP平分∠AQB,∴kAQ+kBQ=0,
∴k1-2k-1k=0,解得k=-1±,
由图形可得k=-1-应舍去,∴k=-1,
∴存在直线l:
y=(-1)x+1,使得QP平分∠AQB.
5.(2018高考北京卷19)已知抛物线C:
=2px经过点
(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设O为原点,
,
,求证:
为定值.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由(I)知
,
.
直线PA的方程为y–2=
.
令x=0,得点M的纵坐标为
.
同理得点N的纵坐标为
.
由
,
得
,
.
所以
.
所以
为定值.
6.(2018高考浙江卷21)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(Ⅰ)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴;
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+
=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
所以
.
因此,
的面积
.
因为
,所以
.
因此,
面积的取值范围是
.
点评.本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。
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