高中数学竞赛教材讲义 第五章 数列.docx
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高中数学竞赛教材讲义第五章数列
2019-2020年高中数学竞赛教材讲义第五章数列
一、基础知识
定义1数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,….数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…,an或a1,a2,a3,…,an…。
其中a1叫做数列的首项,an是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1若Sn表示{an}的前n项和,则S1=a1,当n>1时,an=Sn-Sn-1.
定义2等差数列,如果对任意的正整数n,都有an+1-an=d(常数),则{an}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a,b,c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d,则a=b-d,c=b+d.
定理2等差数列的性质:
1)通项公式an=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:
Sn=
;3)an-am=(n-m)d,其中n,m为正整数;4)若n+m=p+q,则an+am=ap+aq;5)对任意正整数p,q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
定义3等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{an}称为等比数列,q叫做公比。
定理3等比数列的性质:
1)an=a1qn-1;2)前n项和Sn,当q1时,Sn=;当q=1时,Sn=na1;3)如果a,b,c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a,c的等比中项;4)若m+n=p+q,则aman=apaq。
定义4极限,给定数列{an}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<,则称A为n→+∞时数列{an}的极限,记作
定义5无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
定理3第一数学归纳法:
给定命题p(n),若:
(1)p(n0)成立;
(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由
(1),
(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
竞赛常用定理
定理4第二数学归纳法:
给定命题p(n),若:
(1)p(n0)成立;
(2)当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立,则由
(1),
(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:
(1)若αβ,则xn=c1an-1+c2βn-1,其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定;
(2)若α=β,则xn=(c1n+c2)αn-1,其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。
二、方法与例题
1.不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为:
特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。
【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.
例2已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1,求通项an.
【解】因为a1=,又a1+a2=22·a2,
所以a2=,a3=,猜想(n≥1).
证明;1)当n=1时,a1=,猜想正确。
2)假设当n≤k时猜想成立。
当n=k+1时,由归纳假设及题设,a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,,
所以
=k(k+2)ak+1,
即
=k(k+2)ak+1,
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由数学归纳法可得猜想成立,所以
例3设0 对任意n∈N+,有an>1. 【证明】证明更强的结论: 1 1)当n=1时,1 2)假设n=k时,①式成立,即1 由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。 2.迭代法。 数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n换成n+1或n-1等,这种办法通常称迭代或递推。 例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0,n≥3,q0,求证: 存在常数c,使得·an+ 【证明】·an+1+(pan+1+an+2)+=an+2·(-qan)+= +an(pqn+1+qan)]=q(). 若=0,则对任意n,+=0,取c=0即可. 若0,则{+}是首项为,公式为q的等比数列。 所以+=·qn. 取·即可. 综上,结论成立。 例5已知a1=0,an+1=5an+,求证: an都是整数,n∈N+. 【证明】因为a1=0,a2=1,所以由题设知当n≥1时an+1>an. 又由an+1=5an+移项、平方得 ① 当n≥2时,把①式中的n换成n-1得 ,即 ② 因为an-1 由韦达定理得an+1+an-1=10an(n≥2). 再由a1=0,a2=1及③式可知,当n∈N+时,an都是整数。 3.数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例6已知an=(n=1,2,…),求S99=a1+a2+…+a99. 【解】因为an+a100-n=+= , 所以S99= 例7求和: +…+ 【解】一般地, , 所以Sn= 例8已知数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和,求证: Sn<2。 【证明】由递推公式可知,数列{an}前几项为1,1,2,3,5,8,13。 因为 ,① 所以 。 ② 由①-②得 , 所以。 又因为Sn-2 所以Sn,所以, 所以Sn<2,得证。 4.特征方程法。 例9已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an,求an. 【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2. 故设an=(α+βn)·2n-1,其中, 所以α=3,β=0, 所以an=3·2n-1. 例10已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an,求通项an. 【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1, 所以an=α·3n+β·(-1)n,其中, 解得α=,β, 所以·3]。 5.构造等差或等比数列。 例11正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1,求通项。 【解】由 得=1, 即 令bn=+1,则{bn}是首项为+1=2,公比为2的等比数列, 所以bn=+1=2n,所以=(2n-1)2, 所以an=·…··a0= 注: C1·C2·…·Cn. 例12已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通项。 【解】考虑函数f(x)=的不动点,由=x得x= 因为x1=2,xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。 又+2≥,所以xn+1≥(n≥1)。 又 Xn+1-==,① Xn+1+==,② 由①÷②得。 ③ 又>0, 由③可知对任意n∈N+,>0且 所以是首项为,公比为2的等比数列。 所以·,所以, 解得· 。 注: 本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。 三、基础训练题 1.数列{xn}满足x1=2,xn+1=Sn+(n+1),其中Sn为{xn}前n项和,当n≥2时,xn=_________. 2.数列{xn}满足x1=,xn+1=,则{xn}的通项xn=_________. 3.数列{xn}满足x1=1,xn=+2n-1(n≥2),则{xn}的通项xn=_________. 4.等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0,Sn为前n项之和,则当Sn最大时,n=_________. 5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=_________. 6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则S100=_________. 7.数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________. 8.若 ,并且x1+x2+…+xn=8,则x1=_________. 9.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若,则=_________. 10.若n! =n(n-1)…2·1,则=_________. 11.若{an}是无穷等比数列,an为正整数,且满足a5+a6=48,log2a2·log2a3+log2a2·log2a5+log2a2·log2a6+log2a5·log2a6=36,求的通项。 12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{}是公比为q的等比数列,且b1=1,b2=5,b3=17,求: (1)q的值; (2)数列{bn}的前n项和Sn。 四、高考水平训练题 1.已知函数f(x)= ,若数列{an}满足a1=,an+1=f(an)(n∈N+),则axx=_____________. 2.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项an=. 3.若an=n2+,且{an}是递增数列,则实数的取值范围是__________. 4.设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0,则an=_____________. 5.已知,则a的取值范围是______________. 6.数列{an}满足an+1=3an+n(n∈N+),存在_________个a1值,使{an}成等差数列;存在________个a1值,使{an}成等比数列。 7.已知(n∈N+),则在数列{an}的前50项中,最大项与最小项分别是____________. 8.有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为____________. 9.设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,则an=____________. 10.在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整数. 11.已知数列{an}中,an0,求证: 数列{an}成等差数列的充要条件是 (n≥2)①恒成立。 12.已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),当a1=p,b1=q(p>0,q>0)且p+q=1时, (1)求证: an>0,bn>0且an+bn=1(n∈N); (2)求证: an+1=;(3)求数列 13.是否存在常数a,b,c,使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切自然数n都成立? 证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为972,这样的数列共有_________个。 2.设数列{xn}满足x1=1,xn=,则通项xn=__________. 3.设数列{an}满足a1=3,an>0,且,则通项an=__________. 4.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且a0=3,则=__________. 5.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比为=__________. 6.各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有__________项. 7.数列{an}满足a1=2,a2=6,且=2,则 ________. 8.数列{an}称为等差比数列,当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为q的等比数列,q称为此等差比数列的差比。 那么,由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时,项数最多有__________项. 9.设h∈N+,数列{an}定义为: a0=1,an+1= 。 问: 对于怎样的h,存在大于0的整数n,使得an=1? 10.设{ak}k≥1为一非负整数列,且对任意k≥1,满足ak≥a2k+a2k+1, (1)求证: 对任意正整数n,数列中存在n个连续项为0; (2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的数列。 11.求证: 存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1,a2>1,an+1(an+1-1)= 六、联赛二试水平训练题 1.设an为下述自然数N的个数: N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4,求证: a2n是完全平方数,这里n=1,2,…. 2.设a1,a2,…,an表示整数1,2,…,n的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目: ①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1。 试问f(xx)能否被3整除? 3.设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0,且 求证: an(n=0,1,2,…)是完全平方数。 4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质: x0=1,xi+1 (1)求证: 对具有上述性质的任一数列,总能找到一个n≥1,使≥3.999均成立; (2)寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立。 5.设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项? 6.设a1=a2=,且当n=3,4,5,…时,an=, (ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证: 是整数的平方。 7.整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1,且对每个正整数n,un+1un-1=kuu,这里k是某个固定的正整数。 如果uxx=xx,求k的所有可能的值。 8.求证: 存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的m,k,有|xm-xk|≥ 9.已知n个正整数a0,a1,…,an和实数q,其中0 n个实数b0,b1,…,bn和满足: (1)ak (2)q<<(k=1,2,…,n); (3)b1+b2+…+bn<(a0+a1+…+an). 2019-2020年高中数学竞赛教材讲义第八章平面向量 一、基础知识 定义1既有大小又有方向的量,称为向量。 画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。 向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。 书中用黑体表示向量,如a.|a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。 零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。 定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。 加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f 定理3平面向量的基本定理,若平面内的向量a,b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底。 定义3向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做c坐标。 定义4向量的数量积,若非零向量a,b的夹角为,则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注: 投影可能为负值)。 定理4平面向量的坐标运算: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 1.a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), 2.λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=(a,b0), 4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0. 定义5若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数λ,使,λ叫P分所成的比,若O为平面内任意一点,则。 由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2),则 定义6设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。 设p(x,y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,则称为平移公式。 定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】因为|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注: 本定理的两个结论均可推广。 1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注: 本定理的两个结论均可推广。 1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。 2)对于任意n个向量,a1,a2,…,an,有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例1设O是正n边形A1A2…An的中心,求证: 【证明】记 ,若,则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合,所以不变,这不可能,所以 例2给定△ABC,求证: G是△ABC重心的充要条件是 【证明】必要性。 如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则 又因为BC与GP互相平分, 所以BPCG为平行四边形,所以BGPC,所以 所以 充分性。 若,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则因为,则,所以GBCP,所以AG平分BC。 同理BG平分CA。 所以G为重心。 例3在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证: AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】如图所示,结结BQ,QD。 因为 , 所以 = · = ① 又因为 同理 ,② ,③ 由①,②,③可得 。 得证。 2.证利用定理2证明共线。 例4△ABC外心为O,垂心为H,重心为G。 求证: O,G,H为共线,且OG: GH=1: 2。 【证明】首先 = 其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE 又AHBC,所以AH//CE。 又EAAB,CHAB,所以AHCE为平行四边形。 所以 所以 , 所以, 所以与共线,所以O,G,H共线。 所以OG: GH=1: 2。 3.利用数量积证明垂直。 例5给定非零向量a,b.求证: |a+b|=|a-b|的充要条件是ab. 【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab. 例6已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为AB中点,E为△ACD重心。 求证: OECD。 【证明】设, 则, 又, 所以 a·(b-c).(因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) 又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。 所以a·(b-c)=0.所以OECD。 4.向量的坐标运算。 例7已知四边形ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证: AF=AE。 【证明】如图所示,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x,y),则=(x,y-1),,因为,所以-x-(y-1)=0. 又因为,所以x2+y2=2. 由①,②解得 所以 设,则。 由和共线得 所以,即F, 所以=4+,所以AF=AE。 三、基础训练题 1.以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|,且a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若a·b=a·c,则b=c;④若a,b不共线,则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n;⑤若,且a,b共线,则A,B,C,D共线;⑥a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影为-4。 2.已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中: ①;②;③;④与,相等的有__________. 3.已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4.设s,t为非零实数,a,b为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则a和b的夹角为__________. 5.已知a,b不共线,=a+kb,=la+b,则“kl-1=0”是“M,N,P共线”的__________条件. 6.在△ABC中,M是AC中点,N是AB的三等分点,且,BM与CN交于D,若,则λ=__________. 7.已知不共线,点C分所成的比为2,,则__________. 8.已知=b,a·b=|a-b|=2,当△AOB面积最大时,a与b的夹角为__________. 9.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象,c=(1,-1),若,c·b=4,则b的坐标为__________. 10.将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则b的坐标为__________. 11.在Rt△BAC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,试问与的夹角取何值时的值最大? 并求出这个最大值。 12.在四边形ABCD中, ,如果a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形ABCD的形状。 四、高考水平训练题 1.点O是平面上一定点,A,B,C是此平面上不共线的三个点,动点P满足 则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。 2.在△ABC中,,且a·b<0,则△ABC的形状是__________. 3.非零向量,若点B关于所在直线对称的点为B1,则=__________. 4.若O为△ABC的
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