高考数学中与初中数学相关的知识点.docx
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高考数学中与初中数学相关的知识点
高考数学中与初中数学相关的知识点
宁海中学数学组
一、一元二次方程
1.一元二次方程的一般形式:
a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解法:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少.
3.一元二次方程根的判别式:
当ax2+bx+c=0(a≠0)时,Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题:
Δ>0<=>有两个不等的实根;Δ=0<=>有两个相等的实根;
Δ<0<=>无实根;Δ≥0<=>有两个实根(等或不等).
4.一元二次方程的根系关系:
当ax2+bx+c=0(a≠0)时,如Δ≥0,有下列公式:
5.当ax2+bx+c=0(a≠0)时,有以下等价命题:
(以下等价关系要求会用公式
;Δ=b2-4ac分析,不要求背记)
(1)两根互为相反数⇔
=0且Δ≥0⇔b=0且Δ≥0;
(2)两根互为倒数⇔
=1且Δ≥0⇔a=c且Δ≥0;
(3)两根异号⇔
<0⇔a、c异号;
6.几个常见转化:
;
;
二、解三角形
全等三角形的识别
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等。
简记(边边边或SSS)
(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这个三角形全等。
简记为(边角边SAS)(3)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(角边角ASA)(4)如果两个三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。
简记为(HL)
1.三角函数的定义:
在RtΔABC中,如∠C=90°,那么
sinA=
;cosA=
;
tanA=
;
2.余角三角函数关系------“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,那么:
sinA=cosB;cosA=sinB;
3.同角三角函数关系:
sin2A+cos2A=1;tanA=
4.函数的增减性:
在锐角的条件下,正弦,正切函数随角的增大,函数值增大;余弦函数随角的增大,函数值反而减小.
5.特殊角的三角函数值:
如图:
这是两个特殊的直角三角形,通过设k,它可以推出特殊角的直角三角函数
值,要熟练记忆它们.
∠A
0°
30°
45°
60°
90°
sinA
0
1
cosA
1
0
tanA
0
1
不存在
6.函数值的取值范围:
在0°90°时.
正弦函数值范围:
01;余弦函数值范围:
10;
正切函数值范围:
0无穷大;
7.解直角三角形:
对于直角三角形中的五个元素,可以“知二可求三”,但“知二”中至少应该有一个是边.
8.关于直角三角形的两个公式:
Rt△ABC中:
若∠C=90°,
9.坡度:
i=1:
m=h/l=tanα;坡角:
α.
10.方位角:
11.仰角与俯角:
12.解斜三角形:
已知“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.
13.解符合“SSA”条件的三角形:
若三角形存在且符合“SSA”条件,则可分三种情况:
(1)∠A≥90°,图形唯一可解;
(2)∠A<90°,∠A的对边大于或等于它的已知邻边,图形唯一可解;(3)∠A<90°,∠A的对边小于它的已知邻边,图形分两类可解.
14.解三角形的基本思路:
(1)“斜化直,一般化特殊”-------加辅助线的依据;
(2)合理设“辅助元k”,并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想;
(3)三角函数的定义,几何定理,公式,相似形等都存在着大量的相等关系,利用其列方程(或方程组)是解决数学问题的常用方法---------方程思想.
三、四边形
1.一般性质(角)
⑴内角和:
360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1:
顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2:
顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和:
360°
2.特殊四边形
(1)平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
(2)判定步骤:
四边形→平行四边形→矩形→菱形——→正方形
(3)对角线的作用:
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理:
①平行线等分线段定理及其推论1、2;②三角形、梯形的中位线定理;③平行线间的距离处处相等。
(如,找下图中面积相等的三角形)
5.重要辅助线:
①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6.作图:
任意等分线段。
四、相似形
一、相似三角形的判定和性质(比例的有关性质):
涉及概念:
①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。
注意:
①定理中“对应”二字的含义;②平行→相似(比例线段)→平行。
二、相似三角形性质
1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。
五、函数及其图象
一函数基本概念
1.函数定义:
设在某个变化过程中,有两个变量x,、y,如对x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.
2.相同函数三个条件:
(1)自变量范围相同;
(2)函数值范围相同;(3)相同的自变量值所对应的函数值也相同.
3.函数的确定:
对于y=kx2(k≠0),如x是自变量,这个函数是二次函数;如x2是自变量,这个函数是一次函数中的正比例函数.
4.平面直角坐标系:
(1)平面上点的坐标是一对有序实数,表示为:
M(x,y),x叫横坐标,y叫纵坐标;
(2)一点,两轴,(四半轴),四象限,象限中点的坐标符号规律如右图:
(3)x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;即“x轴上的点纵为0,y轴上的点横为0”;反之也
成立;
(4)象限角平分线上点M(x,y)的坐标特征:
x=y<=>M在一三象限角平分线上;x=-y<=>M在二四象限角平分线上.
(5)对称两点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标特征:
关于y轴对称的两点<=>横相反,纵相同;
关于x轴对称的两点<=>纵相反,横相同;
关于原点对称的两点<=>横、纵都相反.
5.坐标系中常用的距离几个公式-------“点求距”
(1)如图,轴上两点M、N之间的距离:
MN=|x1-x2|=x大-x小,PQ=|y1-y2|=y大-y小.
(2)如图,象限上的点M(x,y):
到y轴距离:
dy=|x|;到x轴距离:
dx=|y|;
.
(3)如图,轴上的点M(0,y)、N(x,0)到原点的距离:
MO=|y|;NO=|x|.
(4)如图,平面上任意两点M(x2,y2)、N(x2,y2)之间的距离:
6.几个直线方程:
y轴<=>直线x=0;x轴<=>直线y=0;
与y轴平行,距离为∣a∣的直线<=>直线x=a;
与x轴平行,距离为∣b∣的直线<=>直线y=b.
二、二次函数
1.二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c.(a≠0)
2.关于二次函数的几个概念:
二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过(0,c)点.
3.y=ax2(a≠0)的特性:
当y=ax2+bx+c(a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2(a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数,有下列特性:
(1)图象关于y轴对称;
(2)顶点(0,0);(3)y=ax2(a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式,顶点式和双根式,即:
y=ax2+0x+0,y=a(x-0)2+0,y=a(x-0)(x-0).
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及几个重要点的公式:
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c与Δ的符号与图象的关系:
(1)a>0<=>抛物线开口向上;a<0<=>抛物线开口向下;
(2)c>0<=>抛物线从原点上方通过;c=0<=>抛物线从原点通过;
c<0<=>抛物线从原点下方通过;
(3)a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧;a,b同号<=>对称轴在y轴的左侧;
b=0<=>对称轴是y轴;
(4)Δ>0<=>抛物线与x轴有两个交点;
Δ=0<=>抛物线与x轴有一个交点(即相切);
Δ<0<=>抛物线与x轴无交点.
6.求二次函数的解析式:
已知二次函数图象上三点的坐标,可设解析式y=ax2+bx+c,并把这三点的坐标代入,解关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法.
8.二次函数的顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0);由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h,k),对称轴方程x=h和函数的最值y最值=k.
9.求二次函数的解析式:
已知二次函数的顶点坐标(x0,y0)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x-x0)2+y0,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意:
习题无特殊说明,最后结果要求化为一般式)
10.二次函数图象的平行移动:
二次函数一般应先化为顶点式,然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时,改变的是h,k的值,a值不变,具体规律如下:
k值增大<=>图象向上平移;k值减小<=>图象向下平移;
(x-h)值增大<=>图象向左平移;(x-h)值减小<=>图象向右平移.
11.二次函数的零点式:
(即两点式)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0).
12.求二次函数的解析式:
已知二次函数图象与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2),再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意:
习题最后结果要求化为一般式)
13.二次函数图象的对称性:
已知二次函数图象上的点与对称轴,可利用图象的对称性求出已知点的对称点,这个对称点也一定在图象上.
三、反比例函数
1.反比例函数的一般形式:
图象叫双曲线.
2.关于反比例函数图象的性质:
反比例函数y=kx-1中自变量x不能取0,故函数图象与y轴无交点;函数值y也不会是0,故图象与x轴也不相交.
3.反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系:
4.求反比例函数的解析式:
已知反比例函数图象上的一点,即可设解析式y=kx-1,代入这一点可求k值,从而求出解析式.
四、二次函数与一元二次方程的关系:
(1)如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的Δ>0时,图象与x轴相交,函数值y=0,此时,二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),这个方程的两个根x1、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标,交点坐标为(x1,0)(x2,0);
(2)当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时,应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程,此时,一元二次方程的求根公式,Δ值,根系关系等都可用于这个二次函数.
(3)如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的Δ>0时,图象与x轴相交于两点A(x1,0),B(x2,0)有重要关系式:
OA=|x1|,OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断;同样,图象与y轴交点C(0,c),也有关系式:
OC=|c|.
五、二元二次方程组解的判断:
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,若消去一个未知数,则转化为一元二次方程,此时的Δ值将决定原方程组解的情况,即:
Δ>0<=>方程组有两个解;Δ=0<=>方程组有一个解;Δ<0<=>方程组无实解.
六、圆
几何基本概念:
一基本概念:
圆的有关概念:
(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。
(2)连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
大于半圆周的圆弧叫做优弧。
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫圆周角。
经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形,外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆外切三角形,三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。
直角三角形内切圆半径
满足:
。
二定理:
1.不在一直线上的三个点确定一个圆.
2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三公式:
1.有关的计算:
(1)圆的周长C=2πR;
(2)弧长L=
;(3)圆的面积S=πR2.
(4)扇形面积S扇形=
;(5)弓形面积S弓形=扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.(如图)
2.圆柱与圆锥的侧面展开图:
(1)圆柱的侧面积:
S圆柱侧=2πrh;(r:
底面半径;h:
圆柱高)
(2)圆锥的侧面积:
S圆锥侧=
.(L=2πr,R是圆锥母线长;r是底面半径)
四常识:
1.圆是轴对称和中心对称图形.
2.圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3.三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心;
三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心;
(三角形的重心⇔两中线的交点⇔顶点到重心的距离=重心到对边中点距离的两倍;
三角形的垂心⇔两高线的交点⇔顶点与垂心的连线垂直于对边.)
4.直线与圆的位置关系:
(其中d表示圆心到直线的距离;其中r表示圆的半径)
直线与圆相交⇔d<r;直线与圆相切⇔d=r;直线与圆相离⇔d>r.
5.圆与圆的位置关系:
(其中d表示圆心到圆心的距离,其中R、r表示两个圆的半径且R≥r)
两圆外离⇔d>R+r;两圆外切⇔d=R+r;两圆相交⇔R-r<d<R+r;
两圆内切⇔d=R-r;两圆内含⇔d<R-r.
6.证直线与圆相切,常利用:
“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.
关于几何圆的基本图形
1.垂径定理及推论:
如图:
有五个元素,“知二可推三”;需记忆其中四个定理,
即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.
几何表达式举例:
∵CD过圆心
∵CD⊥AB
2.平行线夹弧定理:
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
几何表达式举例:
3.“角、弦、弧、距”定理:
(同圆或等圆中)
“等角对等弦”;“等弦对等角”;
“等角对等弧”;“等弧对等角”;
“等弧对等弦”;“等弦对等(优,劣)弧”;
“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例:
(1)∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
(2)∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD
4.圆周角定理及推论:
(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;
(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图)
(3)“等弧对等角”“等角对等弧”;
(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图)
(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
(1)
(2)(3)(4)
几何表达式举例:
(1)∵∠ACB=
∠AOB
∴……………
(2)∵AB是直径
∴∠ACB=90°
(3)∵∠ACB=90°
∴AB是直径
(4)∵CD=AD=BD
∴ΔABC是RtΔ
5.圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外
角都等于它的内对角.
几何表达式举例:
∵ABCD是圆内接四边形
∴∠CDE=∠ABC
∠C+∠A=180°
6.切线的判定与性质定理:
如图:
有三个元素,“知二可推一”;
需记忆其中四个定理.
(1)经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线;
(2)圆的切线垂直于经过切点的半径;
(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
几何表达式举例:
(1)∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
(2)∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB
(3)……………
7.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,
它们的切线长相等;圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.
几何表达式举例:
∵PA、PB是切线
∴PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO=∠BPO
8.弦切角定理及其推论:
(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角;
(2)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;(如图)
(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.(如图)
(1)
(2)
几何表达式举例:
(1)∵BD是切线,BC是弦
∴∠CBD=∠CAB
(2)
∵ED,BC是切线
∴∠CBA=∠DEF
9.相交弦定理及其推论:
(1)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等;
(2)如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
(1)
(2)
几何表达式举例:
(1)∵PA·PB=PC·PD
∴………
(2)∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB
10.切割线定理及其推论:
(1)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;
(2)从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
(1)
(2)
几何表达式举例:
(1)∵PC是切线,
PB是割线
∴PC2=PA·PB
(2)∵PB、PD是割线
∴PA·PB=PC·PD
11.关于两圆的性质定理:
(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;
(2)如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.
(1)
(2)
几何表达式举例:
(1)∵O1,O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB
(2)∵⊙1、⊙2相切
∴O1、A、O2三点一线
12.正多边形的有关计算:
(1)中心角αn,半径RN,边心距rn,
边长an,内角βn,边数n;
(2)有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例:
(1)αn=
;
(2)
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