版高考数学大学一年级轮复习题集合和函数.docx
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版高考数学大学一年级轮复习题集合和函数
第1讲 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:
若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA.
(3)相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT展示
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
解析
(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)错误.当x=1,不满足互异性.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A
解析 由题意知A={0,1,2,3},由a=2,知a∉A.
答案 D
3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=________.
A.B.C.D.
解析 易知A=(1,3),B=,所以A∩B=.
答案 D
4.(2017·济南模拟)设全集U={x|x∈N+,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,4}B.{1,5}C.{2,5}D.{2,4}
解析 由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.
答案 D
5.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
例1
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.B.C.0D.0或
解析
(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
所以a的取值为0或.
答案
(1)C
(2)D
规律方法
(1)第
(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第
(2)题集合A中只有一个元素,要分a=0与a≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a=0的情形.
(2)用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
【训练1】
(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=________.
(2)已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
解析
(1)因为{1,a+b,a}=,a≠0,
所以a+b=0,且b=1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
(2)由A=∅知方程ax2+3x-2=0无实根,
当a=0时,x=不合题意,舍去;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<-.
答案
(1)2
(2)
考点二 集合间的基本关系
例2
(1)已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BAC.A⊆BD.B=A
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 解析 (1)易知A={x|-1≤x≤1}, 所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}. 因此BA. (2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 解得2 综上,m的取值范围为(-∞,4]. 答案 (1)B (2)(-∞,4] 规律方法 (1)若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解. 【训练2】 (1)(2017·大连质检)若集合A={x|x>0},且B⊆A,则集合B可能是( ) A.{1,2}B.{x|x≤1}C.{-1,0,1}D.R (2)(2016·郑州调研)已知集合A={x|=,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为( ) A.2B.-1C.-1或2D.或2 解析 (1)因为A={x|x>0},且B⊆A,再根据选项A,B,C,D可知选项A正确. (2)由=,得x=2,则A={2}. 因为B={1,m}且A⊆B, 所以m=2. 答案 (1)A (2)A 考点三 集合的基本运算 例3 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( ) A.5B.4C.3D.2 (2)(2016·浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3]B.(-2,3] C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞) 解析 (1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素. (2)易知Q={x|x≥2或x≤-2}. ∴∁RQ={x|-2 又P={x|1≤x≤3},故P∪(∁RQ)={x|-2 答案 (1)D (2)B 规律方法 (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化. (2)一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 【训练3】 (1)(2017·石家庄模拟)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是( ) A.N⊆MB.N∩M=∅C.M⊆ND.M∩N=R (2)(2016·山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( ) A.{2,6}B.{3,6} C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6} 解析 (1)易知N=(-2,3),且M={-1,1},∴M⊆N. (2)∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5}, 又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U(A∪B)={2,6}. 答案 (1)C (2)A [思想方法] 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. 基础巩固题组 (建议用时: 25分钟) 一、选择题 1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( ) A.A=BB.A∩B=∅C.ABD.BA 解析 ∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,∴BA. 答案 D 2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)·(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{1}B.{1,2} C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3} 解析 由(x+1)(x-2)<0,得-1 答案 C 3.(2017·沈阳模拟)已知集合A={x|lgx>0},B={x|x≤1},则( ) A.A∩B≠∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B 解析 由B={x|x≤1},且A={x|lgx>0}=(1,+∞),∴A∪B=R. 答案 B 4.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-1]B.[1,+∞) C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 解析 因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P, 得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1]. 答案 C 5.(2016·山东卷)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞) 解析 由y=2x,x∈R,知y>0,则A=(0,+∞). 又B={x|x2-1<0}=(-1,1). 因此A∪B=(-1,+∞). 答案 C 6.(2016·浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=( ) A.{1}B.{3,5} C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},∴∁UP={2,4,6},∵Q={1,2,4},∴(∁UP)∪Q={1,2,4,6}. 答案 C 7.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3 C.7D.31 解析 具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个: {-1},,. 答案 B 8.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0}B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1}D.{x|0 解析 ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1},在数轴上表示如图. ∴∁U(A∪B)={x|0 答案 D 二、填空题 9.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________. 解析 ∵1∉{x|x2-2x+a>0}, ∴1∈{x|x2-2x+a≤0}, 即1-2+a≤0,∴a≤1. 答案 (-∞,1] 10.(2016·天津卷)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=________. 解析 由A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},∴B={1,3,5},因此A∩B={1,3}. 答案 {1,3} 11.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B=________. 解析 由x(x+1)>0,得x<-1或x>0, ∴B=(-∞,-1)∪(0,+∞), ∴A-B=[-1,0). 答案 [-1,0) 12.(2017·石家庄质检)已知集合A={x|x2-2016x-2017≤0},B={x|x 解析 由x2-2016x-2017≤0,得A=[-1,2017], 又B={x|x 所以m+1>2017,则m>2016. 答案 (2016,+∞) 能力提升题组 (建议用时: 10分钟) 13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁RS)∩T=( ) A.[2,3]B.(-∞,-2)∪[3,+∞) C.(2,3)D.(0,+∞) 解析 易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),∴∁RS=(2,3), 因此(∁RS)∩T=(2,3). 答案 C 14.(2016·黄山模拟)集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0 解析 易知A=(-1,2),B=(-∞,1),∴∁UB=[1,+∞),A∩(∁UB)=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<2}. 答案 B 15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是________. 解析 由≤2x≤16,x∈N, ∴x=0,1,2,3,4,即A={0,1,2,3,4}. 又x2-3x>0,知B={x|x>3或x<0}, ∴A∩B={4},即A∩B中只有一个元素. 答案 1 16.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m+n=________. 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5 由A∩B=(-1,n)可知m<1, 则B={x|m 所以m+n=0. 答案 0 第2讲 命题与量词、基本逻辑联结词 最新考纲 1.理解全称量词与存在量词的意义;2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定;3.了解命题的概念,了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 知识梳理 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词: 短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示. (2)全称命题: 含有全称量词的命题. 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”简记为∀x∈M,p(x). (3)存在量词: 短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示. (4)存在性命题: 含有存在量词的命题. 存在性命题“存在M中的一个元素x,使p(x)成立”,简记为∃x∈M,p(x). 2.基本逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,綈p(x) ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,綈p(x) 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)“x2+2x-3<0”是命题.( ) (2)命题“5>6或5>2”是假命题.( ) (3)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( ) (4)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( ) (5)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.( ) 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. (2)错误.命题p∨q中,p,q有一真则真. (3)错误.p∧q是真命题,则p,q都是真命题. (4)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.(教材改编)已知p: 2是偶数,q: 2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题. 答案 B 3.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p: ∃n∈N,n2>2n,则綈p为( ) A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n 解析 命题p的量词“∃”改为“∀”,“n2>2n”改为“n2≤2n”,∴綈p: ∀n∈N,n2≤2n. 答案 C 4.(2017·济南调研)下列命题中的假命题是( ) A.∃x∈R,lgx=1B.∃x∈R,sinx=0 C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0 解析 当x=10时,lg10=1,则A为真命题;当x=0时,sin0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.故选C. 答案 C 5.(2015·山东卷)若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. 解析 ∵函数y=tanx在上是增函数, ∴ymax=tan=1,依题意,m≥ymax,即m≥1. ∴m的最小值为1. 答案 1 考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q: 若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( ) A.p∨qB.p∧q C.(綈p)∧(綈q)D.p∧(綈q) 解析 取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命题. 又a,b,c是非零向量, 由a∥b知a=xb,由b∥c知b=yc, ∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题. 综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题. 又∵綈p为真命题,綈q为假命题. ∴(綈p)∧(綈q),p∧(綈q)都是假命题. 答案 A 规律方法 (1)“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是: ①明确其构成形式;②判断其中命题p,q的真假;③确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假. (2)p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真必真,全假才假”,非p则是“与p的真假相反”. 【训练1】(2017·郑州调研)命题p: 函数y=log2(x-2)的单调增区间是[1,+∞),命题q: 函数y=的值域为(0,1).下列命题是真命题的为( ) A.p∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.綈q 解析 由于y=log2(x-2)在(2,+∞)上是增函数, ∴命题p是假命题. 由3x>0,得3x+1>1,所以0<<1, 所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题. 所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(綈q)为假命题,綈q为假命题. 答案 B 考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定 例2 (1)(2016·东北师大附中质检)已知命题p: ∀x∈R,ex-x-1>0,则綈p是( ) A.∀x∈R,ex-x-1<0B.∃x∈R,ex-x-1≤0 C.∃x∈R,ex-x-1<0D.∀x∈R,ex-x-1≤0 (2)(2014·全国Ⅰ卷)不等式组的解集为D,有下面四个命题: p1: ∀(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2: ∃(x,y)∈D,x+2y≥2, p3: ∀(x,y)∈D,x+2y≤3, p4: ∃(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中的真命题是( ) A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3 解析 (1)因为全称命题的否定是存在性命题,命题p: ∀x∈R,ex-x-1>0的否定为綈p: ∃x∈R,ex-x-1≤0. (2)画出可行域如图中阴影部分所示, 由图可知,当目标函数z=x+2y,经过可行域的点A(2,-1)时,取得最小值0,故x+2y≥0. 因此p1,p2是真命题. 答案 (1)B (2)B 规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和存在性命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论. (2)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x,使p(x)成立. 【训练2】(2017·安徽皖江名校联考)命题p: 存在x∈,使sinx+cosx>;命题q: “∃x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1”,则四个命题: (綈p)∨(綈q),p∧q,(綈p)∧q,p∨(綈q)中,正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 解析 因为sinx+cosx=sin≤,所以命题p是假命题;又存在性命题的否定是全称命题,因此命题q为真命题.则(綈p)∨(綈q)为真
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- 高考 数学 大学 一年级 复习题 集合 函数