《小学数学经典专题课程集锦》之欧阳理创编.docx

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《小学数学经典专题课程集锦》之欧阳理创编

时间：

2021.03.05

创作：

欧阳理

行程综合………………………………………………………3

圆的周长和面积………………………………………………14

解决问题的策略………………………………………………21

行程问题………………………………………………………34

探索规律………………………………………………………47

工程问题………………………………………………………54

小学方程与应用题专题解析…………………………………66

小升初应用题解题指导课程…………………………………79

行程综合

【知识梳理】

基本公式：

路程＝速度×时间基本类型相遇问题：

速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：

速度差×追及时间＝路程差；流水问题：

关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）

时钟问题:

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

具体是：

整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：

每分钟走1小格，每分钟走6度，时针速度：

每分钟走

小格，每分钟走0.5度。

其他问题：

利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；复杂的行程1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；

【典例剖析】

例1甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的

二人相遇后继续行进，甲到B地、

乙到A地后立即返回。

已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B

两地相距多少千米？

【分析】此题为直线型的多次相遇问题，我们可以借助图形和比例解题。

【解】如图：

C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点，将AC作为3份，则CB是2份

第一次相遇，甲、乙共走一个AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此，

乙应走CB的2倍，即4份，从而AD是1份，DC是2份（＝3－1）。

但已知DC是20千米，所以AB的长度是20÷2×（2+3）＝50（千米）

答：

A、B两地相距50千米。

反馈练习：

1、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。

他们各自到达对方车站后立即返回

原地，途中又在距A地42千米处相遇。

求两次相遇地点的距离。

例2甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从

地,丙一人从

地同时相向出发,

丙遇到乙后2分钟又遇到甲,

、

两地相距多少米？

【分析】这是择校考常考题，本题有两种解答方法。

【解】

解法一依题意,作线段图如下:

甲2分钟丙

乙

丙遇到乙后2分钟再遇到甲,2分钟甲、丙两人共走了（50+70）×2=240（米）,

这就是乙、丙相遇时乙比甲多走的路程.又知乙比甲每分钟多走60-50=10（米）.

由此知乙、丙从出发到相遇所用的时间是240÷10=24（分）.

所以,

、

两地相距（60+70）×24=3120（米）.

解法二甲、丙相遇时,甲、乙两人相距的路程就是乙、丙相背运动的路程和,即（60+70）×2=260（米）.

甲、乙是同时出发的,到甲、丙相遇时,甲、乙相距260米,所以,从出发到甲、丙相遇需260÷（60-50）=26（分）.

所以,

、

两地相距（50+70）×26=3120（米）.

答：

、

两地相距3120米

例3甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙

每秒钟跑4米，问：

他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

【分析】这是一道环形跑道的多次相遇问题。

要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲

最后一次离开出发点又跑出了多少米。

我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多

远。

不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。

因

为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内

甲共行1400

，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米知道甲还需行

100（=300-200）米。

　　1400÷300=4（圈）……200（米）　　300-200=100（米）

答：

甲还需跑100米才能回到出发点.

反馈练习：

2、如下图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次

相遇，在D点第二次相遇。

已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。

例4有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。

每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。

有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。

他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。

这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟?

【解】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程。

骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发。

骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆。

电车共发出9辆，共有8个间隔，于是5×8＝40（分）

答：

他从乙站到甲站用了40分钟。

例5有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【分析】常见钟表（机械）的构成：

一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟（1小时），时针的速度为分针速度的

．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“

”．

【解】在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“

”，于是需要时间：

．所以，再过

分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过

分钟，时针与分针第二次重合．

答：

再过

分钟，时针与分针将第一次重合，再经过

分钟，时针与分针第二次重合．

反馈练习：

3、现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

例6一辆车从甲地开往乙地。

如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120

千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。

那么甲乙两地相距多少千米？

【分析】与分数百分数相结合的行程问题

【解】车速提高20%，速度比为5：

6，路程一定的情况下，时间比应为6：

5，所以以原始速度行完全

程的时间为1÷（6－5）×6=6小时。

以后一段路程为参考对象，车速提高25%，速度比为4：

5，

所用时间比应该为5：

4，提前40分钟到达，则用规定速度行驶完这一段路程需要40×5=200

分钟，所以甲乙两地相距270千米。

答：

甲乙两地相距270千米。

反馈练习：

4、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。

出发时，甲、乙的速度比是5：

4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。

那么A、B两地相距多少千米？

例7学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七

点回到学校。

已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。

问：

他们一共走了多少千米？

【分析】运用方程解题

【解】方法一：

设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时。

全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。

方法二：

设山路有X千米，则上山用时间X/3小时，下山用X/6小时，

计算平均速度为2X/（X/3+X/6）=4千米/小时，与平地速度一样。

所以一共走了6×4=24千米。

答：

他们一共走了24千米

【过关练习】

1、甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地.货车以平

均每小时50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午几点出发？

2、王明回家,距家门300米,妹妹和小狗一齐向他奔来,王明和妹妹的速度都是每分钟50米,小狗的速度是每

分钟200米,小狗遇到王明后用同样的速度不停往返于王明与妹妹之间.当王明与妹妹相距10米时,小狗

一共跑了多少米？

3、甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从

地,丙一人从

地同时相向出发,丙

遇到乙后2分钟又遇到甲,

、

两地相距多少米.

4、钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？

5、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。

两车在中途

相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。

【提高练习】

1、甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发

15分，出发后1时追上丙。

甲出发后多长时间追上乙？

2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。

他们两人下山的速度都是各自上山速度的

2倍。

甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。

求从山脚到山顶的距离。

3、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

5、小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明

送书，追上时，小明还有

的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。

这样，小明就

比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要多少分钟？

6、某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙两个运动员分别从两条跑道相

距最远的两个端点A、B两点同时出发，当跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且

在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。

甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与

甲相遇时，所用时间是多少秒?

答案：

反馈练习

1、24千米2、360米3、

4、450千米

过关练习

1、7点2、580米3、3120米4、

5、450千米

提高练习

1、75分2、2400米3、

4、

分5、1800秒

圆的周长和面积

【知识梳理】

知识点圆的周长和面积

S：

面积C：

周长π：

圆周率d：

直径r：

半径

（π是圆周率，是个常量，通常题目中圆周率取3.14，如果题目有特殊要求就按题目的具体要求取值。

）

1、圆的周长公式：

C＝πd或C＝2πr

2、半圆的周长公式：

C＝

πd+d

3、四分之一圆的周长公式：

C＝

πd+d

4、圆的面积公式：

S＝π

5、四分之一圆的面积公式：

S＝

π

6、半圆的面积公式：

S＝

π

7、圆环的面积公式：

S＝πR

-π

=π（R

-

）

【典例剖析】

例1一个人要从A点到B点（如图），他可以按①号弧形所表示的路线走，也可以按照②号弧形所表示的路线走。

哪条路线近？

为什么？

【分析】  假设大圆的直径为g，三个小圆的直径分别为d、e、f，按照题意，1号箭头所表示的路线是大圆周长的一半，即πg÷2；2号箭头所表示的路线是三个小圆周长的一半的总和，即πd÷2＋πe÷2＋πf÷2＝π（d＋e＋f）×

。

因为d＋e＋f＝g，即πg÷2＝πd÷2＋πe÷2＋πf÷2，所以两条路线同样长。

【解】设外面半圆直径为g，三个小圆直径分别为d、e、f；则：

g=d＋e＋f。

　　外面半圆路线周长：

C

=

πg

　　里面三个小半圆路线周长：

C

=

πd+

πe+

πf，C

=

π（d＋e＋f）

    因为：

g=d＋e＋f  ，所以：

C

=

πg，所以：

C

=C

    答：

两条路线一样长。

例2一个长方形的长是6.42米，宽是3米，这个长方形的周长与一个圆的周长相等，这个圆的周长的半径是多少米？

【分析】如果想求圆的半径需要知道圆的周长，根据这个长方形的周长与一个圆的周长相等，长方形的周长等于（6.42+3）×2=18.84（米），说明圆的周长也是18.84米，从而求出圆的半径。

【解】长方形的周长：

（6.42+3）×2=18.84（米）

　　圆的直径：

18.84÷3.14=6（米），圆的半径：

6÷2=3（米）

答：

这个圆的周长的半径是3米。

例3从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆。

这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米？

剩下的铁皮的面积占原来正方形的几分之几？

【分析】在一个正方形里，当圆的直径等于正方形的边长时，所画的圆最大。

也就是要剪下的圆的直径等于正方形的边长时，才能剪下一个最大的圆。

【解】

（1）圆形铁皮的面积是：

（平方厘米）

（2）正方形的面积是：

（平方厘米）

　（3）剩下的占原来的几分之几：

答：

圆形铁皮的面积是

平方厘米。

剩下的铁皮面积占原来正方形的

。

例4一只挂钟的分针长20厘米经过45分后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？

【分析】分针尖端所走的路程，可以看作是一个点在半径为20厘米的圆上移动的长度。

现在要求经过45分后，分针尖端所走的路程，就是求圆周长的

是多少。

【解】

（厘米）

答：

分针尖端所走的路程是

厘米。

例5一个圆形花坛，直径是10米，在它的外墙铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？

【分析】这条小路的面积实际就是环形的面积。

内圆直径已知，外圆直径应该是10＋2＝12米，从而可以知道内圆和外圆的半径，再根据环形面积公式即可求出小路面积。

 【解】外圆半径：

（10÷2）+1=6（米），内圆半径：

10÷2=5（米）

 环形面积：

（6×6－5×5）×3.14

         =11×3.14

         =34.54（平方米）

答：

这条小路的面积是34.54平方米。

【过关练习】

一、填空题

1、一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍。

2、一个圆形花坛的半径2.25米，直径是（）米，周长（）米。

3、在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米；如果画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（），这个半圆的面积是（）。

4、把圆沿着它的半径r分成若干等份，剪开后可以拼成一个近似的（），这个图形的长相当于圆周长的（），用字母表示是（）；宽相当于圆的（），用字母表示是（）。

所以圆的面积S＝（）×（）＝（）。

5、有一个圆形鱼池的半径是10米，如果绕其周围走一圈，要走（）米。

6、一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（）厘米。

7、圆周率是圆的（）和（）比值。

8、用一根长4米的绳子画一个最大的圆，这个圆的半径（）米，周长（）米，面积（）平方米。

二、选择题。

1、从圆心到圆上任意一点的线段叫做（）

A、直径B、半径C、直线

2、周长相等的长方形、正方形、圆，（）面积最大。

A、正方形B、长方形C、圆

3、大圆半径是小圆直径的3倍，大圆的面积是小圆面积的（）倍。

A、3B、6C、9D、36

4、圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（）平方厘米。

A、9B、45C、45πD、9π

三、判断题

1、半径是直径的一半。

（）

2、π=3.14.（）

四、应用题

1、一种汽车轮胎的外直径是10.2分米，每分钟转50周，车轮每分钟前进多少米？

2、一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是8米，有效杀伤面积是多少平方米？

3、在一个直径是16米的圆心花坛周围，有一条宽为2米的小路围绕，小路的面积是多少平方米？

4、一个圆环的外圆直径是10分米,内圆半径是40厘米.求这个圆环的面积?

【提高练习】

1、一辆自行车车轮外直径为0.6米，小柳骑自行车从家到学校，如果每分钟转动100周，他从家到学校出发10分钟到达学校，小柳家距学校多少米？

2、一个长方形长5米，宽3米，有一个半径是3分米的圆沿着这个正方形内侧边沿滚一圈。

求圆滚过的面积和路径长。

3、一辆自行车轮胎的外直径是70厘米，如果车轮平均每分钟转100圈，半小时可以行多少米？

4、一个圆形花圃直径8米，用四分之三种兰花，兰花的种植面积是多少？

5、在一张边长10厘米的正方形纸上剪一个最大的圆后，这个正方形和圆的面积比是多少？

6、在一张周长为4厘米的圆形硬纸板上，剪一个最大的正方形，求圆和正方形的面积比。

7、用两根长12.56厘米的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，哪个面积大？

大多少？

8、已知圆内有一个等腰直角三角形，它的面积是7平方分米，过这个圆的面积是多少？

9、两个小圆的周长的和与大圆的周长相比，哪个长？

（单位：

厘米）

610

10、一个木盆的底面是圆形。

在它的底部箍一根长2.552米的铁丝，铁丝的接头处用了0.04米。

这个木盆的底面直径是多少米？

11、一个水缸的缸口是一个圆形，直径是0.75米。

给这个水缸做一个木盖，要求木盖的直径比缸口直径大5厘米。

木盖的面积是多少平方厘米？

12、一个木桶的底面半径是40厘米，现用粗铁丝在木桶侧面围上了3圈，至少需要多少米的粗铁丝？

13、用18.84米的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？

14、在直径为8米的圆形水池四周铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？

15、一个挂钟，时针长40厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？

16、一个钟面上的时针长5厘米，从上午8时到下午2时，时针尖端走了多少厘米？

17、在一块边长6分米的正方形铁皮上剪去两个相等并尽可能大的圆，剩下的铁皮面积是多少平方分米？

小升初数学专题———解决问题的策略

解决问题的策略

列表法、枚举法、画图法

一、知识梳理

1、画图：

用画线段图和直观图的方法把数量关系表示出来，把题意形象具体，一目了然，以便较快找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起到化难为易的作用。

列表：

在解决问题时，可以用表格将条件和问题整理出来，就能发现数量之间的联系，寻找规律。

2、列举：

在解题时，常会遇到一些问题不容易列出算式来解答，我们可以根据要求，把符合要求的事物一一列举出来，列举时要注意不重复、不遗漏、有顺序地列举。

若是列举时数据过多，可以用加法原理和乘法原理来帮助计数。

二、精讲例题

例题1、一个三角形的面积是12平方米，这个三角形的底和高分别是多少米？

分析：

底×高÷2=12

可以得到底×高=24

列表

底（m）

1

2

3

4

24

12

8

6

高（m）

24

12

8

6

1

2

3

4

所以有8种情况。

例2、五（3）班49位同学到公园去划船，每只小船可以坐3人，每只大船可以做5人，大船和小船都要坐满人。

那么，租大、小船有多少种不同的方案？

分析：

当有一只小船时，（49-3）÷5=9······1

当有2只小船时，（49-2×3）÷5=8······3

当有3只小船时，（49-3×3）÷5=8

·

·

·

当有13只小船时，（49-13×3）÷5=2

列表

小船

3

8

13

大船

8

5

2

例3、A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（其中任何一位同学都必须和其他每一位同学进行一场比赛），比赛进行了一段时间后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，请问这时E赛了多少场？

分析：

由赛制可知：

A赛了4场，则B、C、D、E都与A赛了一场；B赛了3场，则是与A、C、E各赛了一场（由于D只赛了一场已与A赛过）；C赛了两场即是与A、B赛的，所以此时E赛了两场，即是与A、B赛的．

列表：

A

B

C

D

E

A

√

√

√

√

B

√

√

C

D

E

例4、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形的面积比小正方形面积大40平方厘米，求大小正方形的面积。

分析：

根据题意可画图如右所示：

阴影部分面积是40平方厘米，可将其分为3部分，其中

两方长方形相同，右下角为边长2cm的正方形，即可求出

阴影的长方形面积，则可得出小正方形的边长

解：

小正方形边长：

（40－2×2）÷2÷2=9（厘米）

小正方形面积：

9×9=81（平方厘米）

大正方形面积：

81+40=121（平方厘米）2厘米

答：

小正方形面积是81平方厘米，大正方形面积是121平方面积。

例5、沪宁高速公路全长330千米，两辆汽车分别从上海和南京同时出发，甲车每小时行94千米，乙车每小时行86千米，1小时后两车相距多少千米？

2小时后两车相距多少千米？

分析：

1小时后：

如图所示330千米

南京（乙）上海（甲）

86千米？

千米94千米

解：

330－86－94=150千米

答：

1小时后两车相距150千米。

分析：

2小时后，如图所示330千米

94千米94千米

南京（乙）上海（甲）

86千米86千米

解：

86×2＋94×2－330=30（千米）

答：

2小时后两车相距30千米

三、课堂练习

1、有1元、2元、5元的人民币各一张，从中选择一张或两张人民币，一共可以组成多少种不同的钱数？

2、重阳节到了，王芳、李刚、张明三人去花木市场买花去敬老院慰问老人。

王芳说：

“我买3盆花用75元。

”

李刚说：

“我买了7盆花。

”

张明说：

“我买花用去了125元。

”

3、学校买了5枝毛笔，7枝钢笔和9枝圆珠笔。

毛笔每枝24元，钢笔每枝49元，圆珠笔每枝8元。

（1）毛笔和钢笔一共用去多少元？

（2）钢笔比圆珠笔多用去多少元？

4、一块长方形水泥地，长18米，如果把它的长增加3米，面积会增加15平方米。

原来水泥地的面积是多少平方米？

5、一个正方形的草坪，如果把它的边长增加2米，它的面积会增加28平方米，原来的正方形草坪的面积是多少平方米？

6、一块长方形的草坪，长8米，宽4米，如果把它的长和宽都增加2米它的面积增加了多少平方米？

7、小虎早上从家到学校上学，要走1.3千米，他走了0.3千米后发现没有带数学作业本，又回家去取。

这样他比平时上学多走了多少千米？

8、大象奔跑的速度大约每分钟500米，羚羊奔跑的速度是大象的4倍少11米，羚羊每分钟跑多少米?

四、课后作业

1、江阴大卖场是10路和2路公交车的起始站。

早上6：

00整10路车开始发车，以后每隔10分钟发一班车；6时30分2路车开始发车，以后每隔15分钟发一班车。

这两路车第二次同时发车的时间是几时几分？

（请列表找出答案）

10路车

6：

00

6：

10

2路车

6：

30

6：

45

2、一个宇宙飞船3秒航行36千米。

照这样的速度填写下表。

时间（秒）

5

14

20

路程