用一元一次方程解实际问题.docx
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用一元一次方程解实际问题
用一元一次方程解实际问题教师用一至八页学生在后
☆解一元一次方程的基本步骤及其注意事项
☆列方程解应用题设元“三招”搞定如何才能正确地设出未知数呢?
一般来说有下面“三招”设元的技巧:
一招:
直接设元法:
例1 一条环形跑道长400米.甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550米;乙练习长跑,平均每分钟跑250米.两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?
分析本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系:
甲的路程-乙的路程=环形跑道-圆的周长;甲用的时间=乙用的时间.
说明直接设元就是把应用题所要求的未知数作为方程中的元,即问什么设什么.
二招:
间接设元法:
例2 四盘苹果共100个,把第一盘的个数加上4,第二盘的个数减去4,第三盘的个数乘以4,第四盘的个数除以4,所得的数目一样,问原来四盘苹果各多少个?
分析 本题若从四盘苹果考虑直接设未知数,需要列出四元一次方程组,显然求解时有一定的难度.若对“所得的数目一样”这个条件反过来想,则由此可推出四盘苹果的数目,因此,设间接未知数x表示这个数目,则容易得到四盘苹果原来的个数分别为x-4,x+4,
x,4x,于是很方便地列出方程求解.
说明 有些应用题,在不方便直接设未知数的情况下,可以根据具体情况,设出题目中并不要求求出的其它未知数作为方程的元.
三招:
设辅助元法:
例3 某种商品2006年比2005年上涨了25%,欲控制该商品2007年零售价比2005年只上涨10%,则2007年应比2006年降价的百分数是多少.
分析 欲求2007年比2006年降价多少元,若设2005年这种商品零售价为a元,又设2007年应比2006年降价的百分数为x,则该商品2006年的零售价为a(1+25%),2007年的零售价为a(1+25%)(1-x),可列出方程求解.
说明 某些应用题,直接设出未知数还难以列出方程,这时,可以根据具体的情况设出题目中并不要求出的其他未知数来作为辅助元.本例中设出辅助未知数a,可以将2006年、2007年该商品的零售价更清楚地表示出来.
☆怎样寻找等量关系
一、和、差、倍、分问题:
本类问题依具体题意,由和、差、倍、分列方程求解.
例某大型商场三个季度共销售DVD2800台,第一季度销售量是第二季度的
,第三季度销量是第二季度的2倍,问第三季度销售DVD多少台?
分析:
列总量=各分量之和
解:
设第二季度销售量为x,则
x+x+2x=2800x=8402x=1680答:
第三季度销售量为1680台.
二、人数调配问题
本类问题依调动后列等量关系
例2甲、乙两个工程队分别有80人和60人,为了支援乙队,需要从甲队调出一部分人进乙队,使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人,问从甲队调出的人数应是多少?
解:
应从甲队调出人进乙队,则调动后的等量关系是:
乙队的人数=甲队的人数×2+5,所以60+x=2(80-x)+5解之得x=35答:
从甲队调出的人是35.
三、商品的销售问题
商品利润=商品售价-商品进价(即商品成本)
商品售价=商品利润+商品进价
商品利润率=
×100%
利润=进价×利润率
商品售价=商品进价×(1+利润率)
折扣率:
打n折,指按售价为
售出,n折可以是小数(如8.5折)
例某商品的进价是1530元,按商品标价的9折出售时,利润率是15%,商品的标价是多少元?
分析:
本题由利润=进价×利润率=标价×折扣率-进价列方程
解:
设此商品的标价是x元,则0.9x-1530=1530×15%解得x=1955答:
此商品的标价是1955元.
变式1:
一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以八折(标价的80%)出售,结果获利28元,这件夹克衫的成本是多少元?
变式2:
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,买这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
变式3:
商品进价为400元,标价为600元,商店要求以利润率为5%的售价打折出售,可以打几折出售此商品?
变式4:
某商场服装按原价九折出售,要使销售总收人不变,那么销售量应增加()
(A)
(B)
(C)
(D)
四、数字型问题
解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数,从而化简计算,常用的设未知数方法是:
①连续数设中间;②多位自然数设一位;③数字换位设部分;④小数点移动直接设;⑤数字成比例设比值;⑥特殊关系特殊设
例一个四位整数,其个位数字为2,若把末位数字移到首位,所得新数比原数小108,求这个四位数.
解:
设这个四位数的前三位数为x,由此四位数为10x+2,末位数移到首位后所得新数为1000×2+x,则
(10x+2)-(1000×2+x)=108解得x=234所以10x+2=2343
有关数列的问题:
例题1、有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,···。
其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?
变式1:
三个连续奇数的和是327,求这三个奇数。
变式2:
如果某三个数的比为2:
4:
5,这三个数的和为143,求这三个数为多少?
数字问题
5、有一个三位数,百位上的数字是1,若把1放在最后一位上,而另两个数字的顺序不变,则所得的新数比原数大234,求原三位数。
6、一个三位数,百位上的数字比十位上的数字大1,个位上的数字比十位上的数字的3倍少2.若将三个数字顺序倒过来,所得的三位数与原三位数的和是1171,求这个三位数。
例、一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和是7,如果把这个两位数加上45,那么恰好成为个位上数字与十位上数字对调后组成的两位数,试求这个两位数。
日历问题:
在日历上竖列圈出3个数,其和可能为( )
A、21B、40C、45D、87
变式1:
爷爷的生日那天的上、下、左、右4个日期的和为80,你能说出我爷爷的生日是几号吗?
计分问题:
在全国足球联赛的前11轮比赛中,大连队保持连续不败,共积23分,按比赛规则,胜一场得3分,平一场得1分,那么该队共胜了多少场?
变式:
在学完“有理数的运算”后,实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队,在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛.竞赛规则是:
每队都分别给出50道题,答对一题得3分,不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分,那么㈡班代表队回答对了多少道题?
⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗?
请简要说明理由.(存在性问题)
五、分段收费问题:
例题、某航空公司规定:
一名乘客最多可免费携带20kg的行李,超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票,一名乘客带了35kg的行李乘机,机票连同行李票共计1323元,求这名乘客的机票价格。
变式1某市为鼓励市民节约用水,做出如下规定:
用水量
收费
不超过10m3
0.5元/m3
10m3以上每增加1m3
1.00元/m3
小明家9月份缴水费20元,那么他家9月份的实际用水量是多少?
变式2、某同学去公园春游,公园门票每人每张5元,如果购买20人以上(包括20人)的团体票,就可以享受票价的8折优惠。
(1)若这位同学他们按20人买了团体票,比按实际人数买一张5元门票共少花25元钱,求他们共多少人?
(2)他们共有多少人时,按团体票(20人)购买较省钱?
(说明:
不足20人,可以按20人的人数购买团体票)
六、分配问题:
例题1、把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.问这个班有多少学生?
变式1:
某校组织师生春游,如果只租用45座客车,刚好坐满;如果只租用60座客车,可少租一辆,且余30个座位.请问参加春游的师生共有多少人?
七、百分比问题
例5某所中学现有学生4200人,计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校在校生将增加10%,问:
这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少?
分析:
本题等量关系是:
一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数
解:
设这所学校现在的初中在校生人数为x人,则现在的高中在校生为(4200-x)人,由题意可得8%·x+(4200-x)×11%=4200×10%,解得x=1400
当x=1400时,4200-x=2800
答:
这所学校现在的初中在校生人数为1400人,现在的高中在校生人数为2800人.
八、工程问题
工程问题经常把总工作量看成1,存在等量关系:
工作效率×工作时间=工作量,工作量的和=1
例1某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,应先安排多少人植树?
分析:
把工作量看作1,每一个人的工作效率为
,由x人先做5小时,完成的工作量为
×5×x=
x,增加2人后,4小时完成的工作量为
×(x+2)×4=
,由5小时的工作量×4小时的工作量=工作总量,可列方程
解:
设安排x人先工作5小时,根据工作总量等于各分量之和,得
+
=1解得x=8
答:
应先安排8人植树
例2某车间接到一批加工任务,计划每天加工120件,可以如期完成,实际加工时每天多加工20件,结果提前4天完成任务,问这批加工任务共有多少件?
分析:
假设这批加工任务一共有x件,那么计划
天完成,而实际用了
天完成,所以由等量关系:
计划用的时间-实际用的时间=4,列方程
解:
设这批加工任务共有x件,依题意得
—
=4解得x=3360答:
这批加工任务共有3360件
变式1:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
若甲先单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做,还需几小时完成?
变式2:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做15小时完成,若先由甲、丙合做5小时,然后由甲、乙合做,问还需几天完成?
变式3:
整理一批数据,有一人做需要80小时完成。
现在计划先由一些人做2小时,在增加5人做8小时,完成这项工作的3/4,怎样安排参与整理数据的具体人数?
九、行程问题
行程问题,它涉及路程、速度和时间三个基本量,在匀速条件下,它们的基本关系是:
路程=速度×时间,行程问题又分为以下四种情况
相遇问题
基本关系式:
快者路程+慢者路程=两地距离
例3甲、乙两列火车从A、B两地相向而行,乙车比甲车早发车1h,甲车比乙车速度每小时快30km,甲车发车两小时恰好与乙车相遇,相遇后为了错车,甲车放慢了速度,以它原来的
速度行驶;而乙车加快了速度,以它原来的
倍飞速行驶,结果2
h后,两车距离又等于A、B两地之间的距离,求两车相遇前速度及A、B两地之间的距离。
解析:
设相遇前乙车的速度为xkm/h,则相遇前、后两车行驶的路程可由图1表示出来
依题意得3x+2(x+30)=[
(x+30)+
x]×
,
解得x=60则x+30=90(km/h),
3x+2(x+30)=3×60+2×90=360(km)
答:
相遇前甲车的速度为90km/h
相遇前乙车的速度为60km/h
A、B两地之间的距离为360km.
变式:
李伟从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30千米,那么比火车开车时间早到15分钟;若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟.现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站,求李伟此时骑摩托车的速度应该是多少?
变式1:
甲,乙两人登一座山,甲每分钟登高10米,并且先出发30分钟,乙每分钟登高15米,两人同时登上山顶。
甲用多少时间登山?
这座山有多高?
变式2:
甲骑自行车从A地到B地,乙骑自行车从B地到A地,两人均匀速前进。
已知两人上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米。
求A,B两地之间的距离。
追及问题
i.同地追及。
基本关系式:
快者路程=慢者路程
例4一队学生在校外进行军事野营训练,他们以5km/h的速度行进,走了18min的时候,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14km/h的速度按原路追去,问通讯员用多久可以追上学生队伍?
解:
设通讯员用xh可以追上学生队伍,依题意,得5(x+
)=14x解这个方程,得x=
答:
通讯员用
h可以追上学生队伍
异地追及:
基本关系式:
快者路程-慢者路程=两地距离
变式:
甲、乙两人从A,B两地同时出发,甲骑自行车,乙开汽车,沿同一条路线相向匀速行驶。
出发后经3小时两人相遇。
已知在相遇时乙比甲多行了90千米,相遇后经1小时乙到达A地。
问甲、乙行驶的速度分别是多少?
例题2、(追及问题)市实验中学学生步行到郊外旅行。
(1)班学生组成前队,步行速度为4千米/时,
(2)班学生组成后队,速度为6千米/时。
前队出发1小时后,后队才出发,同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑车的速度为12千米/时。
(1)后队追上前队需要多长时间?
(2)后队追上前队时间内,联络员走的路程是多少?
(3)两队何时相距3千米?
(4)两队何时相距8千米?
环形跑道问题
一般情况下,在环形跑道上,两人同时出发,第n次相遇有两种情况:
相向而行,路程和等于n圈长;同向而行,路程差等于n圈长
例6小王每天去体育场每次都见到一位田径队的叔叔也在锻炼,两人沿400米跑道跑步,每次总是小王跑2圈的时间叔叔跑3圈,一天,两人在同地反向而跑,小明看了一下记时表,发现隔了32秒两人第一次相遇,求两人的速度;第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑,看叔叔隔多少时间首次与他相遇,你能先帮小王预测一下吗?
解:
设叔叔的速度为3Vm/s,则小王的速度为2Vm/s根据题意,得(3V+2V)32=400,解得V=2.5
∴3V=3×2.5=7.5m/s2V=2×2.5=5m/s即叔叔的速度为7.5m/s,小王的速度为5m/s
第二天同地同向跑时,设xs首次相遇依题意,得7.5x-5x=400,解得x=160,即160s后首次相遇
点评:
本题隐含一个条件是小王与叔叔的速度比为2:
3
考虑车身长度的问题
在一段双轨铁道上,两列火车相向驶过,A列车车速为20米/秒,B列车车速为24米/秒,若A列车全长180米,B列车全长160米,求两列车从相遇到相离所要的时间。
总结:
(1)火车过隧道(桥)问题:
火车速度×过隧道(桥)时间=隧道(桥)长+火车车身长度
(2)两车相向而行(从相遇到相离):
快车驶过的路程
慢车驶过的路程=两车车身长度和
(3)两车同向而行(从追上到超过):
快车驶过的路程
慢车驶过的路程=两车车身的长度
变式1:
一列火车匀速行驶,经过一条长300m的隧道需要20秒的时间。
隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是10秒,根据以上数据,你能求出火车的长度?
变式2:
在一列火车经过一座桥梁,列车车速为20米/秒,全长180米,若桥梁长为3260米,那么列车通过桥梁需要多长时间?
航行问题
对于航行问题,需注意以下几点:
航行问题主要包括轮船航行和飞机航行
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度;逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度,基本关系式:
往路程=返路程
例7有甲、乙两艘船,现同时由A地顺流而下,乙船到B地时接到通知,须立即返回C地执行任务,甲船继续顺流航行,已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5km,水流速度为每小时2.5km,A、C两地间的距离为10km,如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4h,问:
乙船从B地到达C地时,甲船距离B地多远?
分析:
本题C地可能在A、B两地之间,也可能不在A、B两地之间,所以应分两种情况分析
解:
设乙船由B地航行到C地用了xh,那么甲、乙两船由A地到B地都用了(4-x)h
(1)若C地在A、B两地之间,
则有(4-x)(7.5+2.5)-x(7.5-2.5)=10,
解得x=2,所以甲船距离B地10×2=20(km)
(2)若C地不在A、B两地之间,
则有x(7.5-2.5)-4(4-x)(7.5+2.5)=10
解得x=
,所以甲船距离B地10×
=
(km)答:
甲船距离B地
km
变式1:
一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/小时。
顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求无风时飞机的航速和两城之间的航程。
十、年龄问题
1、甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是多少岁?
2小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁,8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁,求小华现在的年龄。
十一、劳资调配问题
9、温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台,温州厂可支援外地10台,杭州厂可支援外地4台。
现在决定给武汉8台,南昌6台。
每台机器的运费如表1。
①设杭州运往南昌的机器为x台。
把表2填写完整;
起点到终点的运费情况
A型利润
B型利润
甲店
200
170
乙店
160
150
起点到终点机器分配情况
终点
起点
南昌
武汉
温州厂(百元/台)
4
8
杭州厂(百元/台)
3
5
终点
起点
南昌
武汉
温州厂(百元/台)
4
8
杭州厂(百元/台)
3
5
A型(40件)
B型(60件)
甲店(70件)
x
乙店(30件)
②若总运费为8400元,则杭州运往南昌的机器应为多少台?
10、某公司有A型产品40件,B型产品60件,分配给下属甲、乙两个商店销售,其中70件给甲店,30件给乙店,且都能卖完.两商店销售这两种产品每件的利润(元)如表一:
A型(40件)
B型(60件)
甲店(70件)
x
乙店(30件)
终点
起点
南昌
武汉
温州厂(百元/台)
4
8
杭州厂(百元/台)
3
5
终点
起点
南昌(6台)
武汉(8台)
温州厂(10台)
杭州厂(4台)
x
(1)设分配给甲店A型产品x件,把表二填写完整
(2)若两商店销售这两种产品的总利润为17560元,则分配给甲店A型产品多少件?
十二、方案选择问题方案决策问题
例、育才中学需要添置某种教学仪器,方案1:
到商家购买,每件需要8元;方案2:
学校自己制作,每件4元,另外需要制作工具的月租费120元,设需要仪器x件.
(1)试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用;
(2)当所需仪器为多少件时,两种方案所需费用一样多?
(3)当所需仪器为多少件时,选择哪种方案所需费用较少?
说明理由.
例、某大型购物中心,特推出一种优惠活动:
购买100元的优惠卡后,凭优惠卡全场9折。
假如你去该购物中心购物,请给定一个合理的计划,在哪种情况下,购物较为优惠
6.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元,当地一家公司收购这种蔬菜140吨,该公司的加工生产能力是:
如果对蔬菜进行精加工,每天可加工16吨,如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季度等条件限制,公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行方案:
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:
尽可能多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售.
方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好15天完成.
你认为哪种方案获利最多?
为什么?
6、某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下:
甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍。
乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元,经洽谈后,甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠。
该班需球拍5副,乒乓球若干盒(不小于5盒)。
问:
(1)当购买乒乓球多少盒时,两种优惠办法付款一样?
(2)当购买15盒、30盒乒乓球时,请你去办这件事,你打算去哪家商店购买?
为什么?
9、某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游,甲旅行社说“如果校长买一张票,则其余学生可享受半价优惠”,乙旅行社说“包括校长在内全部按票价的6折优惠”(即按票的60%收费)。
现在全票价为240元,学生数为5人,请算一下哪家旅行社优惠?
你喜欢哪家旅行社?
如果是一位校长,两名学生呢?
11、有一些相同的房间需要粉刷,一天3名师傅去粉刷8个房间,结果其中有40m2墙面未来得及刷;同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面。
每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面。
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积;
(2)张老板现有36个这样的房间需要粉刷,若请1名师傅带2名徒弟去,需要几天完成?
(3)已知每名师傅,徒弟每天的工资分别是85元,65元,张老板要求在3天内完成,问如何在这8个人中雇用人员,才合算呢?
十三、图表信息问题
票价
成人:
35元/张
学生:
按成人票5折优惠
团体票(16人以上含16人):
按成人票6折优惠
例1在“十·一”黄金周期间,小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话:
爸爸:
大人们票每张35元,学生门票5折优惠,我们共有12人,共需350元
小明:
爸爸,等一下,让我算一算,换一种方式买票是否可以更省钱.
问题:
(1)小明他们一共去了几个成人?
几个学生?
(2)请你帮小明算一算,用哪种方式买票更省钱?
并说明理由.
分析:
(1)此题的相等关系是:
买成人票的钱+买学生票的钱=350(元),
其中学生票按成人票的5折优惠,即要乘以0.5.
(2)虽然旅游的总共是12人,不够16人团体票的优惠,但我们可以用虚拟方式,凑成16人,用团体票的方式购买,然后再比较两种方法的优劣性,作出决策.
解:
(1)设他们一共去了x个成人,则去的学生有(12-x)个,由题意得35x+0.5×35×(12-x)=350,
解得x=8,12-x=4.答:
他们一共去了8个成人,4个学生.
(2)另一种买票方式:
可以多买4张票,即买16张票,享受团体票的优惠,需要费用为16×35×0.6=336(元),350-336=14(元),由此可见,虽然多买张票,便比第一种方式省14元钱,故选择买团体票更省钱
评注:
图表信息类的应用题,立意新颖,来源广泛,形式灵活,将数学真正融入到日常生活当中,使同学们感到数学就在我们身边.此类题主要考查同学们分析图表,并从中获取信息,应用方程的知识解决问题的能力.解这类题的关键要仔细观察,挖掘出图表中所提供的信息,通过联想把图表中的信息与相应的数学知识、数学模型联系起来,正确地列出方程.
十四、利息问题:
对这一问题主要是弄清什么是本金,利息,本息和,利率,税率及它们之间的关系.
关系式:
本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数,利息税=利息×税率
例3一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳70%的利息税,已知某储户的一笔年期定期储蓄到期纳税后得利息450元,问该储户存入多少本金?
分析:
利用等量关系:
利息-利息税=450元列方程
解:
设该储户存入本金x元根据题意,得2.25%x-2.25%×20%x=450解得x=25000
答:
该储户存入
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- 一元一次方程 实际问题