相似三角形的判定与性质以及应用.docx
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相似三角形的判定与性质以及应用
相似三角形的判定与性质以及应用
考点一:
相似三角形的判定与性质
1.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D、F分别在边AB、AC上.
(1)求证:
△BDE∽△CEF;
(2)当点E移动到BC的中点时,求证:
FE平分∠DFC.
2.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:
△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求
的值.
3.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)已知BD=
,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
4.已知:
如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上一点,且∠AED=∠B.若AE=5,AB=9,CB=6,求ED的长.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.
(1)求证:
△ABD∽△CBE;
(2)若BD=3,BE=2,求AC的值.
6.如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E.
(1)求证:
BE2=EG•EA;
(2)连接CG,若BE=CE,求证:
∠ECG=∠EAC.
动点问题:
1.在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0≤t≤6),那么当t为何值时,△APQ与△ABD相似?
说明理由.
2.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发,沿BC方向运动,如果点P的运动速度为4cm/s,Q点的运动速度为2cm/s,那么运动几秒时,△ABC和△PCQ相似?
考点二:
利用相似三角形测高
1.如图,某同学相测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上影长为21米,留在墙上的影高为2米,求旗杆的高度.
变式:
如图,直立在B处的标杆AB=2.4m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上).已知BD=8m,FB=2.5m,人高EF=1.5m,求树高CD.
2.太原双塔寺又名永祚寺,是国家级文物保护单位,由于双塔(舍利塔、文峰塔)耸立,被人们称为“文笔双塔”,是太原的标志性建筑之一,某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度,在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=4米,将标杆CD向后平移到点C处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,点C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得FG=6米,GC=53米.
请你根据以上数据,计算舍利塔的高度AB.
3.如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻,小明竖起1米高的直杆MN,量得其影长MF为0.5米,量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗?
4.如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少mm.
变式:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.现要把它加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形,如图1,此时,这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm?
请你计算.
(2)如果题中所要加工的零件只是矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条邻边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长.
5.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,测得G处、标杆顶端C和建筑物顶端A在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,测得H处、标杆顶端E和建筑物顶端A在同一条直线上,AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,求建筑物AB的高.
6.如图,路灯A离地8米,身高1。
6米的小王(CD)的影长DB与身高一样,现在他沿OD方向走10米,到达E处.
(1)请画出小王在E处的影子EH;
(2)求EH的长.
课后作业:
1.如果两个相似三角形对应边之比是1:
4,那么它们的对应中线之比是( )
A.1:
2B.1:
4C.1:
8D.1:
16
2.△ABC与△DEF的相似比为3:
4,则△ABC与△DEF的周长的比为( )
A.3:
4B.4:
3C.9:
16D.16:
9
3.两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,它们的周长之差为12cm,那么小三角形的周长为( )
A.14cmB.16cmC.18cmD.30cm
4.将一个三角形改成与它相似的三角形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )
A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍
5.△ADE∽△ABC,且相似比为1:
3,若△ADE的面积为5,则△ABC的面积为( )
A.10B.15C.30D.45
7.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4。
5cm,如果它们的面积之和为130cm2,那么较小的多边形的面积是 cm2.
8.若两个相似多边形面积比为4:
9,则它们的周长比是 .
9.在长8cm,宽6cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形面积是 cm2.
10.如图,已知△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,BF、ED的延长线交于点G,连接GC.
(1)求证:
AB=GD;
(2)如图2,当CG=EG时,求
的值.
11.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,连接CE、DE.AC与DE相交于点F.
(1)求证:
△ADF∽△CEF;
(2)若AD=4,AB=6,求
的值.
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- 相似 三角形 判定 性质 以及 应用