小学奥数举一反三五年级.docx

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小学奥数举一反三五年级

第6周尾数和余数

专题简析：

自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

例题1写出除213后余3的全部两位数。

分析因为213=210＋3，把210分解质因数：

210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。

练习一

1，写出除109后余4的全部两位数。

2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？

3，写出除1290后余3的全部三位数。

例题2

（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？

（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？

分析

（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；

（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。

因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。

练习二

1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？

2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？

3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？

例题3

（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？

（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？

分析

（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。

50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。

（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。

练习三

1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？

2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？

3，94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？

例题4把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？

分析因为1/7≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。

由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。

练习四

1，把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。

2，5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？

3，有一串数：

5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。

在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？

例题5555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？

分析如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。

从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。

2001÷6=333……3，所以，当商是整数时，余数是4。

练习五

1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？

2，当商是整数时，余数各是几？

（1）666…6÷4[100个6]

（2）444…4÷74[200个4]

（3）888…8÷7[200个8]

（4）111…1÷7[50个1]

第７周　一般应用题

（一）

专题简析：

一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。

因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。

解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。

在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。

在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。

例1五年级有六个班，每班人数相等。

从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的人数。

原来每班多少人？

分析与解答：

从每班选16人参加少先队活动，6个班共选16×6=96（人）。

剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当于原来（6－4）个班人人数，所以，原来每班96÷2=48（人）。

练习一

1，五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。

原来每人存款多少？

2，把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了这堆货物的一半。

这堆货物一共有多少箱？

3，老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。

这批树苗一共有多少棵？

例2某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。

这样，不仅提前3天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。

这个车间实际加工了多少个零件？

分析如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多56×3＋120=288（个）。

为什么会多加工288个呢？

是因为每天多加工了56－50=6（个）。

因此，原计划加工的天数是288÷6=48（天），实际加工了50×48＋120=1520（个）零件。

练习二

1，汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10千米，这样比原计划提前2小时到达了乙地。

甲、乙两地相距多少千米？

2，小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。

他家离学校有多远？

3，加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完成任务。

由于改进了生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且还多加工了100个。

他们实际加工零件多少个？

例3甲、乙二人加工零件。

甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工。

40天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。

这时两人各加工了多少个零件？

分析甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同样多。

由于甲每天比乙多加工6个，20天一共多加工6×20=120（个）。

这120个零件相当于乙25-20=5（天）加工的个数，乙每天加工120÷（25-20）=24（个）。

乙一共加工了24×25=600（个），甲一共加工了600×2=1200（个）

练习三

1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。

途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个？

2，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行20千米。

途中乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行路程的一半。

A、B两地相距多少千米？

3，甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。

已知甲工作了10天，乙工作了12天，且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。

求甲、乙每天各分得工资多少元？

例4服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。

实际每天比计划多加工60件，照这样做了15天，就超过原计划件数350件。

原计划加工上衣多少件？

分析由于每天比计划多加工60件，15天就比原计划的15天多加工60×15=900（件），这时已超过计划件数350件，900件中去掉这350件，剩下的件数就是原计划（20－15）天中的工作量。

所以，原计划每天加工上衣（900－350）÷（20－15）=110（件），原计划加工110×20=2200（件）。

练习四

1，用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。

实际每小时比原计划多运1.5吨，这样运了6小时就比原计划多运了3吨。

原计划8小时运多少吨煤？

2，汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。

实际每小时比原计划多行15千米，行了8小时后，发现已超过乙20千米。

甲、乙两地相距多少千米？

3，小明看一本书，原计划8天看完。

实际每天比原计划少看了4页。

这样，用10天才看完了这本书。

这本书一共有多少页？

例5王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果提前5在完成任务。

王师傅一共做了多少个零件？

分析按实际做法再做5天，就会超产（60＋20）×5=400（个）。

为什么会超产400个呢？

是因为每天多生产了20个，400里面有几个20，就是原计划生产几天。

400÷20=20（天），因此，王师傅一共做了60×20=1200（个）零件。

练习五

1，食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划节约了0.1吨，这样比原计划多烧了2天。

这批煤一共有多少吨？

2，造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际每天比原计划多生产1.5吨，结果提前2.5天完成了任务。

实际用了多少天？

3，机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产18台，这样比原计划提前3天完成了任务。

这批机床一共有多少台？

第８周一般应用题

（二）

专题简析：

较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。

因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。

例1工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用短管子铺需要35根。

已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米？

分析因为每根长管子比每根短管子长2米，25根长管子就比25根短管子长50米。

而这50米就相当于（35－25）根短管子的长度。

因此，每根短管子的长度就是50÷（35－25）=5（米），这段排水管道的长度应是5×35=175（米）。

练习一

1，生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小时。

如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？

2，一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。

玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组9人，这样比原来减少了2组。

参加游戏的小朋友一共有多少人？

3，甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过10小时到达了B地，比乙多用了4小时。

已知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙二人每小时各行多少千米？

例2甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克。

结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元？

分析三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。

24×2÷3=16（千克），也就是丙少拿16千克苹果，所以得到24×2=48元。

每千克苹果是48÷16=3（元）。

练习二

1，甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。

每支铅笔多少钱？

2，春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。

每个面包多少元？

3，“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买来了和红纸同样价格的5张黄纸。

老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。

老师把9元钱怎样分给小华和小英？

例3甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。

大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。

用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？

分析大汽车一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10÷5=2（升）；小汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油5÷2=2.5（升）。

显然，为耗油量最少应该尽可能用大卡车。

177÷5=35（辆）……2吨，余下的2吨正好用小卡车运。

因此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。

练习三

1，五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。

如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分？

2，用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张？

3，某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打乒乓球。

可以肯定至少有多少人四项都会？

例4有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报30份，电视报22份。

那么订江海晚报和电视报的共有多少家？

分析这栋楼共订报纸34+30+22=86（份），因为每家都订2份不同的报纸，所以一共有86÷2=43家。

在这43家居民中，有34家订了北京日报，剩下的9家居民一定是订了江海晚报和电视报。

练习四

1，五

（1）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。

那么，带梨和桔子的有多少个同学？

2，在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两种颜色的气球，共有红、黄、绿三种颜色。

其中红色有56只，黄色的有60只，绿色的有46只。

那么，手拿红、绿两种气球的有多少个同学？

3，学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小队的同学们每人都参加了其中的两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加美术小组，7人参加音乐小组的活动。

参加美术和音乐小组活动的有多少个同学？

例5一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。

一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。

每分钟进水多少桶？

分析50分钟内，两台抽水机一共能抽水（18＋14）×50=1600（桶）。

1600桶水中，有800桶是开始抽之前就漏进的，另800桶是50分钟又漏进的，因此，每分钟漏进水800÷50=16（桶）。

练习五

1，一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。

两管齐开，20分钟能把一池水放完。

已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？

2，某工地原有水泥120吨。

因工程需要，又派5辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每天送25吨，3天后工地上共有水泥101吨。

这个工地平均每天用水泥多少吨？

3，一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时运完。

如果让两队同时合运，几小时运完？

第９周　一般应用题（三）

专题简析

解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：

1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；

2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；

3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；

4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

例1甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。

由于改进技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样二人一天共生产1020个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件？

分析二人实际每天比原计划多生产1020－700=320（个）。

这320个零件中，有100个是甲多生产的，那么320－100=220（个）就是乙日产量的1倍，即乙原来的日产量，甲原来每天生产700－220=480（个）。

练习一

1，工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。

进行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。

原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？

2，甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。

由于更换了机器，甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件？

3，甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有人请假，每天比计划少挖15米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的2倍，这样两队每天一共挖了150米。

求两队原计划每天各挖多少米？

例2把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。

求竹竿的长。

分析因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米，所以湿了的部分是40×2=80（厘米）。

这时，湿的部分比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度是（80－13）×2=134（厘米）。

练习二

1，有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长方形框架。

这根铁丝原来长多少厘米？

2，有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。

这根竹竿原来长多少厘米？

3，两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根长度的4倍。

两根电线原来各长多少米？

例3将一根电线截成15段。

一部分每段长8米，另一部分每段长5米。

长8米的总长度比长5米的总长度多3米。

这根铁丝全长多少米？

分析设这15段中有X段是8米长的，则有（15－X）段是5米长的。

然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进行解答。

练习三

1，某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟走102米。

上坡路比下坡路少220米。

这段小坡路全长多少米？

2，食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。

已知买回的大米比面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千克？

3，老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每支1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。

求买这些笔共用去多少钱？

例4甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。

又同时加工4小时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个。

甲、乙每小时各加工零件多少个？

分析

（1）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（个）零件，甲每小时比乙多加工4600÷4=1150个零件。

（2）在前4小时内，甲实际只加工了4－2.5=1.5小时，甲1.5小时比乙1.5小时应多做1150×1.5=1725个零件，因此，1725＋400=2125个零件就是乙2.5小时的工作量，即乙每小时加工2125÷2.5=850个，甲每小时加工850＋1150=2000个。

练习四

1，甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙邻先于甲4千米。

又经过3小时，甲反而领先了乙17千米。

求二人的速度。

2，师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生产了2小时后，发现自己比徒弟少做20个零件。

二人又生产了2小时，师傅反而比徒弟多生产了10个。

师傅每小时生产多少个零件？

3，甲每小时生产12个零件，乙每小时生产8个零件。

一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前5小时完成了任务。

问：

甲一共生产了多少个零件？

例5加工一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。

已知甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多少个？

分析因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24（个）零件，所以，24个零件就是甲（10－8）小时的工作量。

甲每小时加工24÷（10－8）=12（个），这批零件一共有12×10=120（个）。

练习五

1，快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时，而慢车用了6.5小时。

已知快车每小时比慢车多行25千米。

甲、乙两地相距多少千米？

2，妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。

已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？

3，师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加工的零件相等。

如果师傅每小时比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件？

第10周数阵

专题简析：

填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：

一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

例题1把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：

A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

练习一

1，把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2，把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3，将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例题2将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。

练习二

1，把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2，把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3，将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例题3将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

分析设中间三个圆内的数是a、b、c。

因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。

1＋2＋3＋4＋5＋6=21，21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。

在1——6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12，所以有下面的填法：

练习三

1，将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2，将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

3，将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

例题4将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

分析首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除以3应该没有余数。

由于28÷3=9……1，那么2a除以3应该余2，因此，a可以为1、4或7。

当a=1时，（28＋2×1）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。

练习四

1，将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

2，将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使