考研数学一真题及解析.docx
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考研数学一真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试题
一、选择题:
18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其中二阶导数f''(x)的图形如图所示,则曲
线y=
f(x)的拐点的个数为
()
(A)0(B)1(C)2(D)3
(2)
设y=1e2x+(x-1)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程
23
y''+ay'+by=cex的一个特解,则
()
(A)a=-3,b=2,c=-1
(B)a=3,b=2,c=-1
(C)a=-3,b=2,c=1
(D)a=3,b=2,c=1
∞
(3)若级数∑an条件收敛,则x=
n=1
∞
n
n
n=1
()
(A)收敛点,收敛点
(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点
(D)发散点,发散点
(4)
设D是第一象限由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=
面区域,函数f(x,y)在D上连续,则⎰⎰f(x,y)dxdy=
D
3x围成的平
()
(A)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)rdr
42sin2θ
(B)
π
3dθ⎰
1
sin2θ1
f(rcosθ,rsinθ)rdr
42sin2θ
(C)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)dr
42sin2θ
(D)
π
3dθ⎰
1
sin2θ1
f(rcosθ,rsinθ)dr
42sin2θ
⎛111⎫⎛1⎫
(5)设矩阵A=ç12a⎪,b=çd⎪,若集合Ω={1,2},则线性方程组
ç⎪ç⎪
ç14
a2⎪
çd2⎪
⎝⎭⎝⎭
Ax=b有无穷多解的充分必要条件为
()
(A)a∉Ω,d∉Ω
(B)a∉Ω,d∈Ω
(C)a∈Ω,d∉Ω
123
(D)a∈Ω,d∈Ω
(6)设二次型f(x1,x2,x3)
在正交变换为x=Py下的标准形为2y2+y2-y2,
其中P=(e1,e2,e3)
下的标准形为
()
,若Q=(e1,-e3,e2)
,则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy
123
(A)2y2-y2+y2
123
(B)2y2+y2-y2
123
(C)2y2-y2-y2
123
(D)2y2+y2+y2
(7)若A,B为任意两个随机事件,则()
(A)
(C)
P(AB)≤P(A)P(B)
P(AB)≤P(A)P(B)
2
(B)
(D)
P(AB)≥P(A)P(B)
P(AB)≥P(A)P(B)
2
(8)设随机变量X,Y不相关,且EX=2,EY=1,DX=3,则
()
E⎡⎣X(X+Y-2)⎤⎦=
(A)-3
(B)3(C)-5
(D)5
二、填空题:
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
(9)
(9)
limlncosx=.
x→0x2
π
⎰-π
sinx
1+cosx
(10)2(
2
+
x)dx=.
(11)
若函数z=z(x,y)由方程ex+xyz+x+cosx=2确定,则dz=.
(12)设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则
⎰⎰⎰(x+2y+3z)dxdydz=.
Ω
2002
-1202
(13)n阶行列式
=.
00
00
22
-12
(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,0),则P{XY-Y<0}=.
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f
g(x)在x→0是等价无穷小,求a,b,k的值.
(x)与
(16)(本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,由线
y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且
f(0)=2,求f(x)的表达式.
(17)(本题满分10分)
已知函数
f(x,y)=x+y+xy,曲线C:
x2+y2+xy=3,求
f(x,y)
在曲线C上的最大方向导数.
(18)(本题满分10分)
(I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]'
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
(II)设函数u1(x),u2(x),,un(x)可导,f(x)=
导公式.
u1(x)u2(x)un(x),写出f(x)的求
(19)(本题满分10分)
⎧⎪z=2-x2-y2,
已知曲线L的方程为⎨
⎪⎩z=x,
起点为A(0,2,0),终点为B(0,-
2,0),
L
计算曲线积分I=⎰(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz.
(20)(本题满11分)
设向量组α1,α2,α3内R3的一个基,β=2α+2kα,β=2α,β=α+(k+1)α.
11322
(I)
123
证明向量组βββ为R3的一个基;
313
(II)
123
当k为何值时,存在非0向量ξ在基1
有的ξ.
2,α3与基βββ下的坐标相同,并求所
(21)
α,α
(本题满分11分)
⎛02
-3⎫
⎛1-20⎫
设矩阵A=ç-13-3⎪相似于矩阵B=ç0b0⎪.
ç⎪ç⎪
ç1-2a⎪ç031⎪
⎝⎭⎝⎭
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵..
()=
⎧⎪2-xln2,x>0,
(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为fx⎨
⎪⎩0,x≤0.
对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;
(II)求EY
(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为:
⎧1,θ≤x≤1,
f(x,θ)=
⎪
⎨1-θ
⎪⎩0,其他.
其中θ为未知参数,x1,x2,,xn为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.
(II)求θ的最大似然估计量.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试题及答案
一、选择题:
18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其中二阶导数f''(x)的图形如图所示,则曲
线y=
f(x)的拐点的个数为
()
(A)0(B)1(C)2(D)3
【答案】(C)
导函数异号。
因此,由f''(x)的图形可得,曲线y=f(x)存在两个拐点.故选(C).
【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶
(2)
设y=1e2x+(x-1)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y''+ay'+by=cex
23
的一个特解,则
()
(A)a=-3,b=2,c=-1
(B)a=3,b=2,c=-1
(C)a=-3,b=2,c=1
(D)a=3,b=2,c=1
【答案】(A)
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知,1e2x、-1ex为二阶常系数齐次微分方程y''+ay'+by=0的解,所
23
为特征方程r2+ar+b=0的根,从而a=-(1+2)=-3,b=1⨯2=2,从而原方程变为
y''-3y'+2y=cex,再将特解y=xex代入得c=-1.故选(A)
以2,1
∞
(3)若级数∑an条件收敛,则x=
n=1
∞
n
n
n=1
()
(A)收敛点,收敛点
(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点
(D)发散点,发散点
【答案】(B)
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质.
∞∞
【解析】因为∑a条件收敛,即x=2为幂级数∑a(x-1)n的条件收敛点,所以
nn
n=1n=1
∞
∑a(x-1)n的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故
n
n=1
∞∞
∑na(x-1)n的收敛区间还是(0,2).因而x=3与x=3依次为幂级数∑na(x-1)n的
nn
n=1n=1
收敛点,发散点.故选(B).
(4)
设D是第一象限由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=
面区域,函数f(x,y)在D上连续,则⎰⎰f(x,y)dxdy=
D
3x围成的平
()
(A)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)rdr
42sin2θ
(B)
π
3dθ⎰
1
sin2θ1
f(rcosθ,rsinθ)rdr
42sin2θ
(C)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)dr
42sin2θ
(D)
π
3dθ⎰
1
sin2θ1
f(rcosθ,rsinθ)dr
42sin2θ
【答案】(B)
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形,
y
7
o
⎛111⎫⎛1⎫
(5)设矩阵A=ç12a⎪,b=çd⎪,若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b
ç⎪ç⎪
ç14
a2⎪
çd2⎪
⎝⎭⎝⎭
有无穷多解的充分必要条件为()
(A)a∉Ω,d∉Ω
(B)a∉Ω,d∈Ω
(C)a∈Ω,d∉Ω
(D)a∈Ω,d∈Ω
【答案】D
(6)设二次型f(x1,x2,x3)
123
在正交变换为x=Py下的标准形为2y2+y2-y2,
其中P=(e1,e2,e3)
下的标准形为
()
,若Q=(e1,-e3,e2)
,则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy
123
(A)2y2-y2+y2
123
(B)2y2+y2-y2
123
(C)2y2-y2-y2
123
(D)2y2+y2+y2
【答案】(A)
⎛200⎫
PTAP=ç010⎪
ç⎪
ç00-1⎪.
⎝⎭
⎛100⎫
Q=Pç001⎪=PC
ç⎪
ç0-10⎪
⎝⎭
⎛200⎫
QTAQ=CT(PTAP)C=ç0-10⎪
ç⎪
ç001⎪
⎝⎭
所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y2-y2+y2。
选(A)
123
(7)若A,B为任意两个随机事件,则()
(A)
(C)
P(AB)≤P(A)P(B)
P(AB)≤P(A)P(B)
2
(B)
(D)
P(AB)≥P(A)P(B)
P(AB)≥P(A)P(B)
2
【解析】由于AB⊂A,AB⊂B,按概率的基本性质,我们有P(AB)≤P(A)且
【答案】(C)
(8)设随机变量X,Y不相关,且EX=2,EY=1,DX=3,则
()
E⎡⎣X(X+Y-2)⎤⎦=
(A)-3
(B)3(C)-5
(D)5
【答案】(D)
【解析】E[X(X+Y-2)]=E(X2+XY-2X)=E(X2)+E(XY)-2E(X)
=D(X)+E2(X)+E(X)⋅E(Y)-2E(X)
=3+22+2⨯1-2⨯2=5,选(D).
二、填空题:
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
(9)
(9)
limlncosx=.
x→0x2
【答案】-1
2
0
【分析】此题考查
型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换.
0
-sinx
ln(cosx)
【解析】方法一:
limlim
cosx
=lim-tanx=-1.
x→0x2
x→02x
x→02x2
π
⎰-π
sinx
1+cosx
(10)2(
2
+
x)dx=.
【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
(11)
若函数z=z(x,y)由方程ex+xyz+x+cosx=2确定,则dz=.
【答案】-dx
【分析】此题考查隐函数求导.
(12)设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则
⎰⎰⎰(x+2y+3z)dxdydz=.
Ω
2002
-1202
(13)n阶行列式
=.
00
00
22
-12
【答案】2n+1-2
【解析】按第一行展开得
2
0
0
2
Dn=
-1
2
0
2
=2D
+(-1)n+12(-1)n-1=2D
1+2
0
0
2
2
0
0
-1
2
=2(2D
=2n+1-2
+2)+2=22D+22+2=2n+2n-1++2
(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,0),则P{XY-Y<0}=.
P{XY-Y<0}=P{(X-1)Y<0}=P{X-1>0,Y<0}+P{X-1<0,Y>0}
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若fg(x)在x→0是等价无穷小,求a,b,k的值.
(x)与
aa
即1+a=0,b-=0,=1
23k
∴a=-1,b=-1,k=-1
23
x+aln(1+x)+bxsinx
法二:
lim=1
x→0kx3
因为分子的极限为0,则a=-1
(16)(本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,由线
y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且
f(0)=2,求f(x)的表达式.
【解析】设f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为:
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),
(17)(本题满分10分)
已知函数
f(x,y)=x+y+xy,曲线C:
x2+y2+xy=3,求
f(x,y)
在曲线C上的最大方向导数.
【答案】3
为了计算简单,可以转化为对d(x,y)=(1+y)2+(1+x)2在约束条件C:
x2+y2+xy=3
大值.即为条件极值问题.
下的最大值.
构造函数:
F(x,y,λ)=(1+
y)2
+(1+
x)2
+
λ
(
x2+y2+xy-3)
⎧Fx'=2(1+x)+λ(2x+y)=0
⎪
⎨Fy'=2(1+y)+λ(2y+x)=0,得到M1(1,1),M2(-1,-1),M3(2,-1),M4(-1,2).
⎪F'=x2+y2+xy-3=0
⎩λ
d(M1)=8,d(M2)=0,d(M3)=9,d(M4)=9
所以最大值为9=3.
(18)(本题满分10分)
(I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]'
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
(II)设函数u1(x),u2(x),,un(x)可导,f(x)=
导公式.
u1(x)u2(x)un(x),写出f(x)的求
(II)由题意得
(19)(本题满分10分)
⎧⎪z=2-x2-y2,
已知曲线L的方程为⎨
⎪⎩z=x,
起点为A(0,2,0),终点为B(0,-
2,0),
计算曲线积分I=⎰L(y+z)dx+(z-x+y)dy+(x+y)dz.
2222
(20)(本题满11分)
设向量组α1,α2,α3内R3的一个基,β=2α+2kα,β=2α,β=α+(k+1)α.
11322
(I)
123
证明向量组βββ为R3的一个基;
313
(II)
123
当k为何值时,存在非0向量ξ在基1
有的ξ.
【答案】
【解析】(I)证明:
2,α3与基βββ下的坐标相同,并求所
(II)由题意知,
ξ=k1β1+k2β2+k3β3=k1α1+k2α2+k3α3,ξ≠0
即
(21)(本题满分11分)
⎛02
-3⎫
⎛1-20⎫
α,α
设矩阵A=ç-13-3⎪相似于矩阵B=ç0b0⎪.
ç⎪ç⎪
ç1-2a⎪ç031⎪
⎝⎭⎝⎭
(II)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵..
【解析】(I)A~B⇒tr(A)=tr(B)⇒3+a=1+b+1
(II)
⎧⎪2-xln2,x>0,
(22)
()=
(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为fx⎨
⎪⎩0,x≤0.
对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;
(II)求EY
(II)
为Y的概率分布;
(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为:
⎧1,θ≤x≤1,
f(x,θ)=
⎪
⎨1-θ
⎪⎩0,其他.
其中θ为未知参数,x1
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