七年级数学一元一次不等式应用题专题.docx
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七年级数学一元一次不等式应用题专题
一元一次不等式应用题专项练习
1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费;乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问:
当学生人数超过多少人时,甲旅游公司比乙旅游公司更优惠?
解:
设学生人数为x人,每人旅游价格为a元,
甲公司需要的花费为:
a+(1+x)×75%a,乙公司需要的花费为:
(x+2)×80%a,
由题意得,a+(1+x)×75%a<(x+2)×80%a
2.有人问一位老师:
“您所教的班级有多少名学生?
”老师说一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在学外语,还剩不足6位学生在玩足球.”求这个班有多少位学生?
解:
不足6位学生说明剩下人数在1和5之间.
设有x人,则0<x﹣
x﹣
x﹣
x≤5
0<x﹣0.5x﹣0.25x﹣
x≤5
解得9
<x≤46
,
这些整数里,
∵
x,
x,
x都表示学生人数,
∴必须为整数,
∴学生总数应为28的倍数,
∴只有28能被28整除.
故这个班一共有学生28人.
3.某工程队要招聘甲、乙两种工人150人,甲、乙两种工种的月工资分别为600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时,可使得每月所付工资最少?
解:
设招聘甲种工种的工人为x人,则招聘乙种工种的工人为(150﹣x)人,依题意得:
150﹣x≥2x解得:
x≤50即0≤x≤50(2分)
再设每月所付的工资为y元,则
y=600x+1000(150﹣x)
=﹣400x+150000(4分)
∵﹣400<0,∴y随x的增大而减小
又∵0≤x≤50,∴当x=50时,∴y最小=﹣400×50+150000=130000(元)
∴150﹣x=150﹣50=100(人)
答:
甲、乙两种工种分别招聘50,100人时,可使得每月所付的工资最少为130000元.
4.某商店以每辆300元的进价购入200辆自行车,并以每辆400元的价格销售.两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款,问这时至少已售出多少辆自行车?
解:
设已售出x辆自行车,两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款,
由题意得,400x>300×200,
解得:
x>150.
故至少已售出151辆自行车,两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款.
5.某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们,如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足3本,设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,
请解答下列问题:
(1)用含x的代数式表示m;
(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数
解:
(1)m=3x+8;
(2)根据题意得:
,
解得:
5<x<6
,
因为x为正整数,
所以x=6,
把x=6代入m=3x+8得,m=26,
答:
该校获奖人数为6人,所买课外读物为26本.
6.某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60t水果从A地运到B地.已知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是Skm,两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费用外,其他收取的费用和有关运输资料由表列出:
运输工具
行驶速度(km/h)
运输单价(元/t.km)
装卸费用
汽车
50
2
3000
火车
80
1.7
4620
(1)分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1元和y2元(用含S的式子表示);
(2)为减少费用,当s=100km时,你认为果品公司应该选择哪一家运输单位更为合算?
解:
(1)y1=(2×60)s+5×
×60+3000=126s+3000;
y2=(1.7×60)s+5×
×60+4620=105.75s+4620;
(2)当s=100km时,y1=3000+126×100=15600(元),y2=105.75×100+4620=15195(元).
故为减少费用,果品公司应选择火车货运站运送这批水果更为合算.
7.用甲、乙两种原料配制成某种果汁,已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表:
甲种原料
乙种原料
维生素C含量(单位/千克)
800
200
原料价格(元/kg)
18
14
(1)现制作这种果汁200kg,要求至少含有52000单位的维生素C,试写出所需甲种原料的质量x(kg)应满足的不等式;
(2)如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过1800元,那么请你写出所需甲种原料的质量x(kg)应满足的另一个不等式.
解:
(1)若所需甲种原料的质量为xkg,则需乙种原料(200﹣x)kg.
根据题意,得800x+200(200﹣x)≥52000;
(2)由题意得,18x+14(200﹣x)≤1800.
8.如图,用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时,每次钉入木块的钉子长度是前一次
.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,若铁钉总长度为acm,求a的取值范围.
解:
∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的
.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,
根据题意得:
敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm,
而此时还要敲击1次故长度要大于3cm,
第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一,也就是第二次的一半=0.5cm
所以a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm,
故a的取值范围是:
3<a≤3.5.
9.为了抓住世博会商机,某商店决定购进A,B两种世博会纪念品,若购进A种纪念品10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品4件,B种纪念品3件,需要550元,
(1)求购进A,B两种纪念品每件需多少元?
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑到市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍,且不超过B种纪念品数量的8倍,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第
(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?
最大利润是多少元?
解:
(1)设A,B两种纪念品每件需x元,y元.
,
解得:
.
答:
A,B两种纪念品每件需25元,150元;
(2)设购买A种纪念品a件,B种纪念品b件.
,
解得
≤b≤
.
则b=29;30;31;32;33;
则a对应为226,220;214;208,202.
答:
商店共有5种进货方案:
进A种纪念品226件,B种纪念品29件;或A种纪念品220件,B种纪念品30件;或A种纪念品214件,B种纪念品31件;或A种纪念品208件,B种纪念品32件;或A种纪念品202件,B种纪念品33件;
(3)解法一:
方案1利润为:
226×20+29×30=5390(元);
方案2利润为:
220×20+30×30=5300(元);
方案3利润为:
214×20+30×31=5210(元);
方案4利润为:
208×20+30×32=5120(元);
方案5利润为:
202×20+30×33=5030(元);
故A种纪念品226件,B种纪念品29件利润较大为5390元.
解法二:
解:
设利润为W元,则W=20a+30b,
∵25a+150b=1000,
∴a=400﹣6b,
∴代入上式得:
W=8000﹣90b,
∵﹣90<0,
∴W随着b的增大而减小,∴当b=29时,W最大,即此时a=226时,W最大,
∴W最大=8000﹣90×29=5390(元),
答:
方案获利最大为:
A种纪念品226件,B种纪念品29件,最大利润为5390元.
10.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人;他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:
1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?
(2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
(3)在
(2)的条件下,工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资,给每名新工人每月发1200元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少?
解:
(1)设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车.
根据题意,得
,
解得
.
答:
每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车.
(2)设工厂有a名熟练工.
根据题意,得12(4a+2n)=240,
2a+n=10,
n=10﹣2a,
又a,n都是正整数,0<n<10,
所以n=8,6,4,2.
即工厂有4种新工人的招聘方案.
①n=8,a=1,即新工人8人,熟练工1人;
②n=6,a=2,即新工人6人,熟练工2人;
③n=4,a=3,即新工人4人,熟练工3人;
④n=2,a=4,即新工人2人,熟练工4人.
(3)结合
(2)知:
要使新工人的数量多于熟练工,则n=8,a=1;或n=6,a=2;或n=4,a=3.
根据题意,得
W=2000a+1200n=2000a+1200(10﹣2a)=12000﹣400a.
要使工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少,则a应最大.
显然当n=4,a=3时,工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少.
11.某地区果农收获草莓30吨,枇杷13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往省城,已知甲种货车可装草莓4吨和枇杷1吨,乙种货车可装草莓、枇杷各2吨.
(1)该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案请您帮助设计出来;
(2)若甲种货车每辆要付运输费2000元,乙种货车每辆要付运输费1300元,则该果农应选择哪种运输方案才能使运费最少,最少运费是多少元?
解:
(1)设应安排x辆甲种货车,那么应安排(10﹣x)辆乙种货车运送这批水果,
由题意得:
,
解得5≤x≤7,又因为x是整数,所以x=5或6或7,
方案:
方案一:
安排甲种货车5辆,乙种货车5辆;
方案二:
安排甲种货车6辆,乙种货车4辆;
方案三:
安排甲种货车7辆,乙种货车3辆.
(2)在方案一中果农应付运输费:
5×2000+5×1300=16500(元)
在方案二中果农应付运输费:
6×2000+4×1300=17200(元)
在方案三中果农应付运输费:
7×2000+3×1300=17900(元)
答:
选择方案一,甲、乙两种货车各安排5辆运输这批水果时,总运费最少,最少运费是16500元.
12.开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格;
(2)校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品,奖给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案?
请你一一写出.
解:
(1)设每支钢笔x元,每本笔记本y元.
依题意得:
,
解得:
,
答:
每支钢笔3元,每本笔记本5元.
(2)设买a支钢笔,则买笔记本(48﹣a)本,
依题意得:
,
解得:
20≤a≤24,
∴一共有5种方案.
方案一:
购买钢笔20支,则购买笔记本28本;
方案二:
购买钢笔21支,则购买笔记本27本;
方案三:
购买钢笔22支,则购买笔记本26本;
方案四:
购买钢笔23支,则购买笔记本25本;
方案五:
购买钢笔24支,则购买笔记本24本.
13.为执行中央“节能减排,美化环境,建设美丽新农村”的国策,我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个,以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表:
型号
占地面积
(单位:
m2/个)
使用农户数
(单位:
户/个)
造价
(单位:
万元/个)
A
15
18
2
B
20
30
3
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2,该村农户共有492户.
(1)满足条件的方案共有几种?
写出解答过程;
(2)通过计算判断,哪种建造方案最省钱?
解:
(1)设建造A型沼气池x个,则建造B型沼气池(20﹣x)个,
依题意得:
,
解得:
7≤x≤9.
∵x为整数∴x=7,8,9,
所以满足条件的方案有三种.
(2)
解法①:
设建造A型沼气池x个时,总费用为y万元,则:
y=2x+3(20﹣x)=﹣x+60,
∴y随x增大而减小,
当x=9时,y的值最小,此时y=51(万元).
∴此时方案为:
建造A型沼气池9个,建造B型沼气池11个.
解法②:
由
(1)知共有三种方案,其费用分别为:
方案一:
建造A型沼气池7个,建造B型沼气池13个,
总费用为:
7×2+13×3=53(万元).
方案二:
建造A型沼气池8个,建造B型沼气池12个,
总费用为:
8×2+12×3=52(万元).
方案三:
建造A型沼气池9个,建造B型沼气池11个,
总费用为:
9×2+11×3=51(万元).
∴方案三最省钱.
14.如图是用矩形厚纸片(厚度不计)做长方体包装盒的示意图,阴影部分是裁剪掉的部分.沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形,有三处矩形形状的“舌头”用来折叠后粘贴或封盖.
(1)若用长31cm,宽26cm的矩形厚纸片,恰好能做成一个符合要求的包装盒,盒高是盒底边长的2.5倍,三处“舌头”的宽度相等.求“舌头”的宽度和纸盒的高度;
(2) )现有一张40cm×35 cm的矩形厚纸片,按如图所示的方法设计包装盒,用来包装一个圆柱形工艺笔筒,已知该种笔筒的高是底面直径2.5倍,要求包装盒“舌头”的宽度为2cm(如有多余可裁剪),问这样的笔筒底面直径最大可以为多少?
分析:
找出题中的折叠规律,空间思维的,想象一下纸盒折叠后的形状,设“舌头”的宽为x,长为y,利用矩形硬纸的长宽,正确的列出方程,即可求出,
(2)做成的包装盒的长宽必不大于纸盒的长宽列不等式.
解答:
解:
(1)设“舌头”的宽度为xcm,盒底边长为ycm.
根据题意得
解得
6×2.5=15(cm)
答:
“舌头”的宽度为2cm,纸盒的高度为15cm.
(2)设瓶底直径为dcm,根据题意得
解得:
d≤8
答:
这样的笔筒的底面直径最大可以为8cm.
15.为执行中央“节能减排,美化环境,建设美丽新农村”的国策,我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个,以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表:
型号
占地面积
(单位:
m2/个 )
使用农户数
(单位:
户/个)
造价
(单位:
万元/个)
A
15
18
2
B
20
30
3
解答:
解:
(1)设建造A型沼气池x个,则建造B型沼气池(20-x)个
依题意得:
解得:
7≤x≤9
∵x为整数∴x=7,8,9,∴满足条件的方案有三种
(2)设建造A型沼气池x个时,总费用为y万元,则:
y=2x+3(20-x)=-x+60
∵-1<0,∴y随x增大而减小,
当x=9时,y的值最小,此时y=51(万元)
∴此时方案为:
建造A型沼气池9个,建造B型沼气池11个
解法②:
由
(1)知共有三种方案,其费用分别为:
方案一:
建造A型沼气池7个,建造B型沼气池13个,
总费用为:
7×2+13×3=53(万元)
方案二:
建造A型沼气池8个,建造B型沼气池12个,
总费用为:
8×2+12×3=52(万元)
方案三:
建造A型沼气池9个,建造B型沼气池11个,
总费用为:
9×2+11×3=51(万元).
∴方案三最省钱
16.家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表:
现购买这两种产品共80条,付款总额不超过2万元.问最多可购买羽绒被多少条?
分析:
设购买羽绒被x条,则购买羊毛被(80-x)条,根据付款总额不超过2万元就可以列出不等式,解出x,x取整数.
解答:
解:
设购买羽绒被x条,则购买羊毛被(80-x)条.
根据题意,得
415x+150(80-x)≤20000.
整理,得265x≤8000.
解之得x≤
.
∵x为整数
∴x的最大整数值为30.
答:
最多可购买羽绒被30条.
17.某幼儿园把一筐桔子分给若干个小朋友,若每人3只,那么还剩59只,若每人5只,那么最后一个小朋友分到桔子,但不足4只,试求这筐桔子共有多少只?
解答:
解:
设幼儿园共有x名小朋友,则桔子的个数为(3x+59)个,
由“最后一个小朋友分到桔子,但不足4个”可得不等式组
0<(3x+59)-5(x-1)<4,
解得30<x<32,
∴x=31,
∴有桔子3x+59=3×31+59=152(个).
答:
这筐桔子共有152个.
18.小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重整好是妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端.这时,爸爸的一端仍然着地.后来,小宝借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果,爸爸被跷起离地.小宝的体重约是多少千克?
(精确到1千克)
解答:
解:
设小宝的体重为x千克,则妈妈的体重为2x千克,
依题意得
解得22<x<24
∵小宝的体重精确到1千克
∴x=23,即小宝的体重约为23千克.
19.某种植物适宜生长在温度在18℃~20℃的山区,已知山区海拔每升高100米,气温下降0.5℃,现在测得山脚下的平均气温为22℃,问该植物种在山的哪一部分为宜?
(假设山脚海拔为0米)
解答:
解:
设该植物种在海拔x米的地方为宜,则
解得400≤x≤800
答:
该植物种在山的400--800米之间比较适宜.
20.小明利用课余时间回收废品,将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本,要求共花钱不超过28元,且购买的笔记本的总页数不低于340页,两种笔记本的价格和页数如下表.为了节约资金,小明应选择哪一种购买方案?
请说明理由.
解答:
解:
设购买大笔记本为x本,则购买小笔记本为(5-x)本.
依题意,得
,
解得,1≤x≤3.
x为整数,
∴x的取值为1,2,3.
当x=1时,购买笔记本的总金额为6×1+5×4=26(元);
当x=2时,购买笔记本的总金额为6×2+5×3=27(元);
当x=3时,购买笔记本的总金额为6×3+5×2=28(元).
∴应购买大笔记本l本,小笔记本4本,花钱最少.
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