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垂线习题含答案
2019年4月16日初中数学作业
学校:
:
班级:
考号:
一、单选题
1•如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图,测量成绩时先使皮尺从后
脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B,然后记录AB的长度,这样做的理由是()
A•过一点可以作无数条直线B.垂线段最短
C.过两点有且只有一条直线D.两点之间线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂线段的性质:
垂线段最短进行解答即可.
【详解】
解:
这样做的理由是根据垂线段最短.
故选:
B•
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性质,关键是掌握性质定理.
2•下列说法①一个角的余角一定是锐角;②因为/1=Z2,所以/1与/2是对顶角;
③过一点与已知直线平行的直线只有一条;④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做
点到直线的距离;⑤两条直线被第三条直线所截,同位角相等•其中正确的个数为()
A•1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即
可•
【详解】
解:
一个角的余角一定是锐角,所以①正确;
相等的角不一定是对顶角,所以②错误;
过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条,所以③错误;
从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离,所以④错误;
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,所以⑤错误.
故本题答案应为:
A•
【点睛】
本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点,熟练
掌握数学基础知识是解题的关键•
【分析】先由垂直的定义得到/AOE=/BOE=90,则/DOE+/BOD=90,再根据对顶角相等得到/BOD=/AOC,所以/DOE+/AOC=90,然后根据互余的定义进行判断.
【详解】
解:
•••OE丄AB,
•••/AOE=/BOE=90,
•••/DOE+/BOD=90,
•••/BOD=/AOC,
•••/DOE+/AOC=90,
即/DOE与/COA互余.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了垂线:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.也考查了对顶角和两角互余.
4.下列说确的是()
C.射线AB的端点是A和BD.角的两边越长,角度越大
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本概念和公理,利用排除法求解.
【详解】
解:
A、直线和射线长都没有长度,故本选项错误;
B、过一点能作已知直线的一条垂线,正确;
C、射线AB的端点是A,故本选项错误;
D、角的角度与其两边的长无关,错误;
故选:
B.
【点睛】
本题考查了直线、射线和线段•相关概念:
直线:
是点在空间沿相同或相反方向运动的轨迹•向两个方向无限延伸•过两点有且只
有一条直线.
射线:
直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线,可向一方无限延伸.
5.如图,BD丄AC于点D,ECLAB于点E,AF丄BC点F,AF、BD、CE交于点0,则图
中能表示点A到直线0C的距离的线段长是()
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答.
【详解】解:
点A到直线0C的距离的线段长是AE,
故选:
A.
【点睛】本题考查点到直线的距离,解题的关键是理解点到直线的距离的概念.
C.P,C两点之间的距离
6.如图,A、B、C、D都在直线MN上,点P在直线外,若/1=60°/2=90°/3=120°
D.P,D两点之间的距离
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离的定义进行判断即可.
【详解】
•••/2=90°,
•••点P到直线
MN的距离是P,A两点之间的距离,
故选A.
【点睛】本题考查了点到直线的距离,熟记概念是解题的关键.
【答案】A
O,OE丄AB于O,/EOC=35,则/AOD的度数为
D.35°
【解析】
【分析】
根据图形求得/COB=/COE+/BOE=125;然后由对顶角相等的性质,求/AOD的度
数.
【详解】
解:
•••EO丄AB,
又•••/COE=35,
•••/COB=/COE+/BOE=125.
•••/AOD=/COB(对顶角相等),
•••/AOD=125.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了垂线,对顶角、邻补角等知识点•本题也可以利用邻补角的定义先求得
/BOD=55,再由邻补角的定义求/AOD的度数.
8.下列说法中不正确的是U口
A.两点之间的所有连线中,线段最短
B.两点确定一条直线
C.小于平角的角可分为锐角和钝角两类
D.在同一平面,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选
项.
【详解】
解:
A、两点之间的所有连线中,线段最短,正确;
B、两点确定一条直线,正确;
C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类,故此选项错误;
D、在同一平面,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,正确
故选C.
【点睛】
本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类.
9.在同一平面,下列判断中错误的是()
A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条
C.垂直于已知直线的垂线只有一条
D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂线的定义和性质分析即可.
(1)过直线上或直线外的一点,有且只有一条直线和已
知直线垂直;
(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂直线段最短。
【详解】
A、B、D根据性质可知都是正确的,故不符合题意;
C中垂直于一直直线的垂线有无数条,本项错误,故符合题意;
故本题答案应为:
C
【点睛】本题考查了垂线的定义及性质,是基础题,熟记概念和性质是解题的关键
10.如图,直线a与b相交于点0,M0丄a,垂足为0,若/2=35°则/1的度数为()
【答案】D
【解析】
【分析】根据平角和垂线的性质解答即可.
【详解】
•••/2=35「I,M0丄直线a,•••/1=180—9oLI-35_=55LI.
故选D.
【点睛】本题考查垂线,平角,熟练掌握垂线和平角的性质是解题的关键
11.如图,要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB丄CD)开始挖渠才能使水
渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是()
C.两点确定一条直线D.垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂线段的性质:
垂线段最短进行解答.
【详解】
要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB丄CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是:
垂线段最短,
故选:
D.
【点睛】
本题考查垂线段的性质:
垂线段最短.
12.如图,0M丄NP,ON丄NP,所以ON与0M重合,理由是()
A•两点确定一条直线
B.经过一点有一条直线与已知直线垂直
C.过一点只能作一条直线
D.同一平面,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
利用在同一平面,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,进而得出答案即可.
【详解】
0M丄NP,ON丄NP,所以ON与0M重合,
理由是:
同一平面,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
故选D.
【点睛】
本题考查垂线,同一平面,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题
13.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC、OD,使OC丄OD,当/AOC=30o时,
ZBOD的度数是.°
【答案】60°或120°
【解析】
【分析】
此题可分两种情况,即OC,OD在AB的一边时和在AB的两边,分别求解.
【详解】
解:
①当OC、OD在AB的一旁时,
•/OCXOD,
\ZCOD=90,
•••ZAOC=30,
•/OCXOD,ZAOC=30,
•••ZAOD=60,
•••ZBOD=180-ZAOD=120.
故答案为:
60°或120°
【点睛】
此题主要考查了直角、平角的定义,注意分两种情况分析,理清图中的角之间的关系.
14.平面四条直线两两相交,最多有个交点.
【答案】6
【解析】
【分析】
画出符合条件的所有情况,即可得出答案.
【详解】四条直线两两相交有以下情况:
故答案为:
6.
【点睛】
本题考查了直线两两相交时交点的情况,关键是能画出符合的所有图形.
15•如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段的
长度•
【答案】AP•
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断.
【详解】
解:
根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则,可得:
他的跳远成绩是线段AP的长度.
故答案为:
AP•
【点睛】
本题考查点到直线的距离,垂线段最短,解题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定
义及跳远比赛的规则.
16•若/A与/B的两边分别垂直,则这两个角的等量关系为.
【答案】互补或相等
【解析】
【分析】
根据垂直的定义,作出草图即可判断.
【详解】
如图1,/A+/B=360-90°°2=180°,
如图2,由三角形外角的性质可得:
/1=/B+90。
=/A+90。
•••/A=/B.
【点睛】
考查了垂直的定义和角的比较,注意作出图形有助于题意的理解,更形象直观并且不容
易出错.
0,且AB丄CD,/1=30°则/2=
【分析】
根据题意由对顶角相等先求出/F0D,然后根据AB丄CD,/2与/F0D互为余角,求出即可
【详解】
•••CD、EF相交于点0
•••/F0D=/仁30°
•/AB丄CD
•••/2=90°/FOD=90°-30°=60°
故本题答案应为:
60°
【点睛】
对顶角相等和垂线的定义及性质是本题的考点,熟练掌握基础知识是解题的关键•
18•如图,直线AB,CD相交于点0,0E丄0F,0C平分/A0E,且/B0F=2/B0E,
则ZB0D=°.
【答案】75
【解析】
【分析】
首先根据0E丄OF,/BOF=2/BOE,求出/BOE=30;然后求出/AOE=150,再根
据OC平分/AOE,求出/AOC的度数;最后根据/BOD和/AOC互为对顶角,求出/BOD的度数即可.
【详解】
•/OE丄OF,
•••/EOF=90°,
•//BOF=2/BOE,
•••3/BOE=90°,
•••/BOE=90°-43=30°,
•••/AOE=180°-/BOE=180°-30°=150°
又•••OC平分/AOE,
•••/AOcJl/AOE士X150°=75°,
•••/BOD和/AOC互为对顶角,
•••/BOD=/AOC=75°.
故答案为:
75.
【点睛】
本题考查垂线,对顶角、角平分线,解题的关键是熟练掌握垂线,对顶角、角平分线
的性质•
三、解答题
【答案】118°
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到以必=山必=宅旳计,得至U+£匚。
卩=勺『1,根据已知条件
即可得到结论.
【详解】
解:
T_丄.;
•••山必==呱"|,
.•.汕0U+MS=血1
•.•"3UD-MOD二34*],
.•.饭")=2诃,
.•.亡八0D=MUdCOD二11A.
【点睛】
本題考查了垂线以及角的计算,正确把握垂线的定义是解题关键^
20.如图,所有小正方形的边长都为1个单位,A、B、C均在格点上.
—过点C画线段AB的平行线CD;
—过点A画线段BC的垂线,垂足为E;
—过点A画线段AB的垂线,交线段CB的延长线于点F;
国线段AE的长度是点到直线的距离;
⑤线段AE、BF、AF的大小关系是Q用1叵1”连接M
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【答案】
(1)见解析
(2)见解析(3)见解析(4)线段AE的长度是点A到直线BC的距离(5)A,BC,^E 【解析】 【分析】 L利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可; —利用垂线段的性质直接回答即可; —利用垂线段最短比较两条线段的大小即可. 【详解】 —直线CD即为所求; 2]直线AE即为所求; —直线AF即为所求; 故答案为: A,BC, 【点睛】 解题的关键是理解有关垂线段的性质及能 考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识,进行简单的基本作图. 21.画图题: (1)在如图所示的方格纸中,经过线段AB外一点C,不用量角器与三角尺,仅用直尺画线段AB的垂线CD和平行线CE(其中D、E为格点). (2)连接AC和BC,若图中每个最小正方形的边长为1,试求三角形ABC的面积是 【答案】 (1)见解析; (2)4. 【解析】 【分析】 (1)过点C作3X1的矩形的对角线所在的直线,可得AB的垂线和平行线; (2)设小方格的边长为1禾U用三角形的面积求解即可. 【详解】 解: (1)如图所示,直线CD和CE即为所求; i厂一 1 -r-'i 'T" 1 if- 1 "T 1 1 i 1 c 1 1 I r T 4 : AE I! ]f ri i ll 1 1 1 1 I 1 芳 V ■丄一 -4- U- -li-D >4-B (2)如图,连接AC和BC, 设小方格的边长为1,则三角形ABC的面积=3X3电X1X30X2X2出X1X3=4. 故答案为: 4. 【点睛】 本题主要考查了基本作图,割补法求图形的面积等知识•解题的关键是利用方格纸的特 点正确的作出图形. 22.(认识概念)点P、Q分别是两个图形G1、G2上的任意一点,当P、Q两点之间的距离最小时,我们把这个最小距离叫作图形G1、G2的亲密距离,记为d(G1,G2).例如,如果点M、N分别是两条相交直线a、b上的任意一点,贝Ud(a,b)=0 (初步运用)如图1,长方形四个顶点分别是点A、B、C、D,边AB=CD=5,AD=BC =3.那么d(AB,CD),d(AD,BC),d(AD,AB)各等于多少. (深入探究) (1)在图1中,如果将线段CD沿它所在直线平移(边AB不动),且使d (CD,AB)不变,那么线段CD的中点偏离它原来位置的最大距离为多少; (2)如图2,线段AB//直线CD,AB=1,点A到CD的距离为3,将线段AB绕点A旋转90°后的对应线段为AB,则d(AB,CD)等于多少. 4 B 严 T 9 ( IU2 【答案】【初步运用】d(AB,CD)=3,d(AD,BC)=5,d(AD,AB)=0;【深入 探究】 (1)CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为: 5; (2)d(AB',CD)=2或3, 【解析】 【分析】 [初步运用]根据图形Gi、G2的亲密距离的定义可得结论; [深入探究] (1)在图1中,注意线段CD平移的最远距离,可得结论; (2)如图2,要分情况讨论,可以顺时针和逆时针旋转,根据亲密距离的定义解决问 题. 【详解】 解: [初步运用] 如图1,•/AB与CD的距离为AD=3, •••d(AB,CD)=3, •••AD和BC的距离为5, d(AD,BC)=5, •••AD和AB交于点B, d(AD,AB)=0, [深入探究] (1)如图所示: A1* EUFn CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为: 5; (2)将线段AB绕点A旋转90°后的对应线段为AB'或AB'',如图2,延长AB”交CD A —B * 匮R AB=AB'=AB''=1, •/AE=3, .B”E=2, 则d(AB',CD)=2或3. 【点睛】 本题考查了学生的理解能力和创新能力,题过介绍“亲密距离”来引出学生对动态图象 最小距离的识别,这是新课标要求我们掌握的技能•在深度理解亲密距离定义、特点后难度并不高,并且再讨论运动路径的时候需要学生动手作图理解运动过程,是一道非常 值得学生锻炼的题目. 23.如图,已知直线AB以及直线AB外一点P.按下述要求画图并填空: (1)过点P画直线MN//AB; (2)过点P画直线PC丄AB,垂足为点; 【答案】 (1)如图,直线MN为所作;见解析; (2)如图,PC为所作;见解析;(3)量得点P到直线AB的距离约是4.3cm. 【解析】 【分析】 (1)禾U用网格特点,过P点作小正方形的对角线得到MN//AB; (2)禾悯网格特点,过P点作小正方形的对角线得到PC丄AB; (3)用刻度尺测量PC的长即可. 【详解】 解: (1)如图,直线MN为所作; (2)如图,PC为所作; (3)量得点P到直线AB的距离约是4.3cm(精确到0.1cm). 【点睛】 45°角是关键. 本题考查了作图-基本作图: 熟练正方形网格的性质对角线与变成 24.如图,三角形ABC是钝角三角形,用三角尺按下列要求画图; (1)画出过点A到线段BC所在直线的垂线段AE; (2)画出表示点B到直线AC的距离的线段BF. 【解析】 【分析】 (1) A,即可画出垂线段 把三角板的一条直角边与BC对齐,使另一条直角边经过点 AE; (2)先延长CA,然后用三角板的两条直角边画图即可. 【详解】 【点睛】 本题考查了垂线段的画法•在解答此题时,用到的作图工具是三角尺,正确掌握基本作图的作法是作图的关键•同时考查了点到直线的距离的定义. 25.如图,由相同边长的小正方形组成的网格图形,A、B、C都在格点上,禾U用网格画 图: (注: 所画线条用黑色签字笔描黑) (1)过点C画AB的平行线; (2)过点B画AC的垂线,垂足为点G;过点B画AB的垂线,交AC的延长线于H. (3)点B到AC的距离是线段的长度,线段AB的长度是点到直线 的距离. (4)线段BGAB的大小关系为: BGAB(填■”、2”或“=)',理由是 11H11111 |11|]il11| *1■11i4訂 L--J il11I-亍" *1hnii** ■i■jjiiiiii .__J._L_C7-_L-«丄■■ ■i■■Xiii■■,| I1*、II ■i■■a■■b t1i1iiii* 1111、1111 I1iii■■|i m八 •八』 八" ■■戸■■■f■■■■脣 *iii■■* »111»itiik ImJi1 ~-TM---g-|■--1Bf 亠i&jL亠4二L亠>La-a*1二亠』4J亠-aii*f 【答案】 (1)如图见解析; (2)如图见解析;(3)BG、A、BH;(4)v,直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 【解析】 【分析】 (1)利用网格进而得出过点C画AB的平行线; (2)利用网格得出过点B画AC的垂线,以及画AB的垂线,交AC的延长线于H; (3)利用点的直线以及线段的距离定义得出答案; (4)利用点到直线的距离性质得出答案. 【详解】 (1)如图所示: ■E hili ■ia■ L''J 1 1 R 1 i■1 隹丄 耳* 1 V ■■■N 丄 2 <: : ; 、<1i 9k 1 ■■■■ ji 1 …- h-■■I-~~TCF 1: 11ilXI B*HF b 9 1■■J ._」 l_」 ]-丄 L_ fen" 14 .■丄__1J_ iik (2)如图所示: (3)点B到AC的距离是线段BG的长度,线段AB的长度是点A到直线BH的距离. 故答案为: BG、A、BH; (4)线段BG、AB的大小关系为: BGvAB, 理由是: 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短(填垂线段最短也算对). 故答案为: 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短(填垂线段最短也
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