高中数学第1章直线多边形圆第3节圆与四边形同步练习北师大版选修.docx
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高中数学第1章直线多边形圆第3节圆与四边形同步练习北师大版选修
2019-2020年高中数学第1章直线多边形圆第3节圆与四边形同步练习北师大版选修
一,选择题
1,圆内接平行四边形是()
A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形
2,若⊿ABC与⊿BDC同时内接于圆O,则圆心O是这两个三角形的()
A.重心B.垂心C.外心D.重心和垂心
3,如图,已知:
AB=AC,BD,CE分别是∠ABC与∠ACB的平分线,且相交于F,
则四边形AEFD是()
A.圆内接四边形B.矩形C.菱形D.梯形
4,如图,在以BC为直径的半圆上任取一点G,过弧BG的中点A作AD⊥BC于D,连结BG交AD于E,交AC于F,则BE:
EF等于()
A.1:
1B,1:
2C,2:
1D,以上结论都不对
5,如图,已知圆O的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,OE⊥AB于E.则()
A.DC=OEB.DC=OEC.DC=OED.DC=3OE
6,如图,O为圆心,PAB是一条直线,()
A.2zB.90+zC.180-zD.180-2z
二,填空题
7,圆内接四边形ABCD中,∠B:
∠C:
∠D=1:
2:
3,则∠A=
∠B=∠C=∠D=
8,已知半径的R的圆,它的内接正四边形的边长为,内接三角形的边长为
内接正六边形的边长是
9,圆内两条相交的弦,其中一条被交点分成的两段长为3cm和8cm,另一条弦长为10cm,那么它被分成的两段长为和
10,从圆外一点向圆引切线和最长的割线,若切线长是20cm,割线长是50cm,则这个圆的半径是cm,切点到割线的距离是cm
三、解答题
11,在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F是垂足,求证:
E,B,C,F四点共圆
12,证明:
在圆内接四边形ABCD中,AC·BD=AD·BC+AB·CD
13,证明圆内接梯形是等腰梯形。
14,利用圆周角定理证明三角形的三条高线相交于一点。
参考答案
1.A2.C3.C4.A5.B6.C
7.∠A=90°∠B=45°∠C=90°∠D=135°8.9.4cm,6cm
10.2114
11证明:
如图,连结EF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴A,E,D,F四点共圆,
∴∠1=∠2
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°
∴∠BEF+∠C=180°
∴B,E,C,F四点共圆,
12,证明:
如图,
在AC上取点E,使∠ADE=∠1,又∠3=∠4,⊿ADE~⊿BDC,
∴AE·BD=AD·BC
(1)
又∵∠ADE=∠1
∴∠ADB=∠CDE
又∵∠5=∠6∴⊿ABD~⊿ECD
∴BD·EC=AB·CD
(2)
以上两式相加:
AE·BD+BD·EC=AD·BC+AB·CD
即:
AC·BD=AD·BC+AB·CD
13,证明:
已知ABCD是圆内接四边形,求证:
AD=BC
如图:
∵ABCD是梯形,∴AB//CD,
连结BD
∴∠1=∠2,∴弧AD=弧BC
∴AD=BC
14,如图:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠AEB=90°
∴D,E在以AB为直径的圆上,即:
A,B,D,E四点在一个圆上,
连DE,则∠1=∠3,
又C,E,H,D四点也共圆,
∴∠5=∠4又∠4=∠2,∴∠2=∠5,
∴∠1+∠2=90°
因此在⊿AHF中,∠AFH=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°
即CF⊥AB
∴⊿ABC的三条高线相交于一点
2019-2020年高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.2.1圆的切线学业分层测评新人教B版选修
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图1211,PA切⊙O于A,PO交⊙O于B,若PA=6,PB=4,则⊙O的半径是( )
图1211
A.
B.
C.2D.5
【解析】 令OA=OB=r,∵PA切⊙O于点A,
∴PA2+OA2=OP2,即62+r2=(r+4)2.
解得r=
.
【答案】 A
2.如图1212,EB为半圆O的直径,点A在EB的延长线上,AD切半圆O于点D,BC⊥AD于点C,AB=2,半圆O的半径为2,则BC的长为( )
图1212
A.2B.1
C.1.5D.0.5
【解析】 如图,连接OD.
∵AD切⊙O于D,∴OD⊥AD.
又∵BC⊥AD,∴OD∥BC,
∴△DOA∽△CBA,
∴
=
.
即
=
,
∴BC=1.
【答案】 B
3.如图1213所示,⊙O是正△ABC的内切圆,切点分别为E、F、G,点P是弧EG上的任意一点,则∠EPF=( )
图1213
A.120°B.90°
C.60°D.30°
【解析】 如图所示,连接OE、OF.
∵OE⊥AB,OF⊥BC,
∴∠BEO=∠BFO=90°.
∴∠EOF+∠ABC=180°.
∴∠EOF=120°.
∴∠EPF=
∠EOF=60°.
【答案】 C
4.如图1214所示,AC切⊙O于D,AO的延长线交⊙O于B,且AB⊥BC,若AD∶AC=1∶2,则AO∶OB=( )
图1214
A.2∶1B.1∶1
C.1∶2D.1∶1.5
【解析】 如图所示,连接OD、OC,则OD⊥AC.
∵AB⊥BC,∴∠ODC=∠OBC=90°.
∵OB=OD,OC=OD,
∴△CDO≌△CBO.∴BC=DC.
∵
=
,∴AD=DC.∴BC=
AC.
又OB⊥BC,∴∠A=30°,
∴OB=OD=
AO.∴
=
.
【答案】 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图1215所示,点P在⊙O的直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切⊙O于点C,CD⊥AB于点D,则CD=________.
图1215
【解析】 如图所示,连接OC.
在直角三角形中,由射影定理,得OC2=OD·OP,
∴OD=
=1.
∴PD=3.
∵CD2=OD·PD,∴CD2=3.
∴CD=
.
【答案】
6.如图1216,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,⊙O分别与边AB、AC相切,切点分别为E、C.则⊙O的半径是________.
图1216
【解析】 连接OE,设OE=r,
∵OC=OE=r,BC=12,
则BO=12-r,AB=
=13,
由△BEO∽△BCA,得
=
,
即
=
,解得r=
.
【答案】
三、解答题(每小题10分,共30分)
7.如图1217,AB是⊙O的直径,∠BAC=30°,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且∠ECF=∠E.
图1217
求证:
CF是⊙O的切线.
【证明】 如图,连接OC,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
又∵OB=OC.
∴∠OCB=∠OBC=60°,
在Rt△EMB中,
∵∠E+∠MBE=90°,
∴∠E=30°.
∵∠E=∠ECF,∴∠ECF=30°,
∴∠ECF+∠OCB=90°.
又∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°,
∴∠OCF=90°.∴CF为⊙O的切线.
8.如图1218,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB于E,∠POC=∠PCE.
图1218
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)若OE∶EA=1∶2,PA=6,求⊙O半径.
【解】
(1)证明:
在△OCP与△CEP中,
∵∠POC=∠PCE,∠OPC=∠CPE,
∴∠OCP=∠CEP.
∵CD⊥AB,∴∠CEP=90°,∴∠OCP=90°.
又C点在圆上,∴PC是⊙O的切线.
(2)法一 设OE=x,则EA=2x,OC=OA=3x.
∵∠COE=∠AOC,∠OEC=∠OCP=90°,
∴△OCE∽△OPC,∴
=
.
即(3x)2=x(3x+6),∴x=1,
∴OA=3x=3,即圆的半径为3.
法二 由
(1)知PC是⊙O的切线,
∴∠OCP=90°.
又∵CD⊥OP,由射影定理知OC2=OE·OP,以下同法一.
[能力提升]
9.如图1219,AD是⊙O的直径,BC切⊙O于点D,AB、AC与圆分别相交于点E、F.
图1219
(1)AE·AB与AF·AC有何关系?
请给予证明;
(2)在图中,如果把直线BC向上或向下平移,得到图
(1)或图
(2),在此条件下,
(1)题的结论是否仍成立?
为什么?
【解】
(1)AE·AB=AF·AC.
证明:
连接DE.
∵AD为⊙O的直径,∴∠DEA=90°.
又∵BC与⊙O相切于点D,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
∴∠ADB=∠DEA.
又∵∠BAD=∠DAE,
∴△BAD∽△DAE,
∴
=
,即AD2=AB·AE.
同理AD2=AF·AC,
∴AE·AB=AF·AC.
(2)
(1)中的结论仍成立.
因为BC在平移时始终与AD垂直,设垂足为D′,
则∠AD′B=90°.
∵AD为圆的直径,
∴∠AED=∠AD′B=90°.
又∵∠DAE=∠BAD′.
∴△ABD′∽△ADE.
∴
=
,∴AB·AE=AD·AD′.
同理AF·AC=AD·AD′,故AE·AB=AF·AC.
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