高三数学试题精选福州市高考数学第二次质检理科试题含答案.docx

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高三数学试题精选福州市高考数学第二次质检理科试题含答案

2018年3月福州市高考数学第二次质检理科试题（含答案）

5c2018年福州市高中毕业班质量检测

理科数学能力测试

（完卷时间120分钟；满分150分）

注意事项

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考式

1．样本数据的标准差

，

其中为样本平均数；

2．球的表面积、体积式

，

其中为球的半径．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有

且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1．已知全集，集合，，则等于

A．B．c．D．

2．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则的值是

A．B．0c．D．1

3．在等差数列中，若，，则的值是

A．B．c．D．

4．若，则的大小关系为

A．B．

c．D．

5．执行如图所示的程序框图，输出的值为

A．B．1c．D．

6．在棱长为3的正方体内任取一点，则点到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为

A．B．c．D．

7．“直线垂直于平面”的一个必要不充分条是

A．直线与平面内的任意一条直线垂直B．过直线的任意一个平面与平面垂直c．存在平行于直线的直线与平面垂直D．经过直线的某一个平面与平面垂直

8．已知是边长为1的正三角形，动点在平面内．若，，则的取值范围为

A．B．

c．D．

9．若函数满足，都有成立，则称．对于函数,有

A．且B．且

c．且D．且

10．某医务人员说“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是

A．男医生B．男护士c．女医生D．女护士

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置上．）

11．已知，为虚数单位，若，则★★★．

12．展开式的常数项为，则正数★★★．

13．已知抛物线的焦点为，是的准线上一点，是直线与的一个交点．若，则直线的方程为★★★．

14．已知一组正数的方差，则数据的平均数为★★★．

15．已知函数，有下列四个结论

①函数的图象关于轴对称；

②存在常数，对任意的实数，恒有成立；

③对于任意给定的正数，都存在实数，使得；

④函数的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合．

其中正确结论的序号是★★★（请把所有正确结论的序号都填上）．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分13分）

已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的

距离为．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设的内角所对的边分别是．若，求角

的大小．

17．（本小题满分13分）

调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现

将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进行量化0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标的值评定中年人的成就感等级若，则成就感为一级；若，则成就感为二级；若，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果

人员编号

（Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业满意度指标相同的概率；

（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，从成就感等

级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望．

18．（本小题满分13分）

已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．

（Ⅰ）设点为棱中点，求证平面；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于

？

若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分13分）

如图，已知椭圆（）的离心率．点分别为椭圆的

左焦点和右顶点，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作一条直线交椭圆于两点，点关

于轴的对称点为．若，求证．

20．（本小题满分14分）

已知函数，，为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，比较与的

大小，并加以证明．

21．本题设有

（1）

（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．若多做，则按所做的前两题计分．

（1）（本小题满分7分）选修4－2矩阵与变换

已知矩阵的逆矩阵．

（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．

（2）（本小题满分7分）选修4－4坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数）．在平面直角坐标系中，以坐

标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求与交点的极坐标（）．

（3）（本小题满分7分）选修4－5不等式选讲

已知定义在上的函数的最小值为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求不等式的解集．

2018年福州市高中毕业班质量检测

理科数学能力测试参考答案及评分细则

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

1．A2．B3．B4．c5．c6．D7．D8．A9．c10．B

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

11．12．13．或14．15．①③④

三、解答题（本大题共6小题，共80分．）

16．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．

解（Ⅰ）因为，

所以．1分

所以函数的最大值为2．2分

因为函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为，

所以，3分

所以，解得4分

所以

令，5分

解得．

所以函数的单调递增区间是．6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

在中，因为

所以7分

所以

因为，所以．9分

因为，根据据正弦定理，有，10分

所以，所以，11分

因为，所以，所以，12分

所以．13分

17．本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．

解（Ⅰ）设事为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．

职业满意度指标为0的有；

职业满意度指标为1的有,,,,；

职业满意度指标为2的有,,,．

从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为，1分

，2分

职业满意度指标相同的所有可能结果数为3分

，4分

所以他们的职业满意度指标相同的概率．5分

（Ⅱ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表

人员编号

综合指标4462453513

其中成就感是一级的（）有、、、、、，共6名，成就感不是一级的（）有、、、，共4名．

随机变量的所有可能取值为．6分

7分

，8分

，9分

10分

，11分

所以的分布列为

12345

12分

所以．13分

18．本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．

（Ⅰ）证明（方法一）由三视图知，两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………1分

则,

所以，

易知平面的一个法向量等于，………3分

所以,

所以，4分

又平面，

所以∥平面．5分

（方法二）由三视图知，两两垂直．

连结，其交点记为，连结,．1分

因为四边形为矩形，

所以为中点．因为为中点，

所以∥，且．………………………2分

又因为∥，且，

所以∥,且=．

所以四边形是平行四边形，

所以∥………………………………………4分

因为平面，平面

所以∥平面．5分

（Ⅱ）解当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为．6分

理由如下

因为，设平面的法向量为，

由得7分

取，得平面的一个法向量．8分

假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于．

设，

则，．9分

所以10分

．12分

所以，

解得或（舍去）．

因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于．13分

19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、推理与证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．

解（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，得2分

解得3分

所以椭圆的方程为．4分

（Ⅱ）方法一依题意得，与坐标轴不垂直．设．因为点与点关于轴对称,所以．由（Ⅰ）讨论可知，．

因为，所以直线与直线的斜率相等，故，6分

解得．7分

又因为点在椭圆上，所以，或．8分

由椭圆对称性，不妨取，则直线的斜率．

所以直线方程为．9分

由得点坐标为．10分

所以，11分

．12分

所以．13分

方法二依题意，得与坐标轴不垂直．

设方程为（），．

因为点与点关于轴对称,所以．

又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上．

由消去得．5分

所以．6分

因为，所以直线的方程为．

由消去得．7分

因为直线交椭圆于两点，

所以，故．8分

所以，

解得．9分

所以．10分

所以，

．12分

所以．13分

方法三依题意，得与坐标轴不垂直．

设方程为（），．

因为点与点关于轴对称,所以．

又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上．

直线过定点，5分

理由如下

由消去得．6分

所以．7分

所以，

．9分

因为，

所以，11分

所以，所以三点共线，即直线过定点．12分

因为为线段中点，，

所以．13分

方法四依题意，得与坐标轴不垂直．

设方程为（），．

因为点与点关于轴对称,所以．5分

因为三点共线，所以与共线，

所以．6分

因为，所以可设（），即，

所以．7分

所以，即．8分

依题意，，所以．9分

因为点在椭圆上，所以，

解得或．10分

由椭圆对称性