样本估计总体教师.docx

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样本估计总体教师

抽样方法与统计

一、随机抽样

1.三种抽样方法的比较

类别

共同点

各自特点

相互联系

适用范围

简单随

机抽样

抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

从总体中逐个抽取

总体中的个体数较少

系统

抽样

将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取

在起始部分抽样时采用简单随机抽样

总体中的个体数较多

分层

抽样

将总体分成几层,分层进行抽样

各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

2.抽样方法中的计算问题

（1）三种抽样都是等_________抽样,即在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是____的,且P=_________,其中n是样本容量,N是总体容量.

（2）对于系统抽样,若抽样的间距为d,在第1个小组抽取的样本编号为k0,则在其他各组抽取的样本编号为k0+（i-1）d,i=2,3,….

二、频率分布直方图

1.定义:

反映样本频率分布规律的直方图称为频率分布直方图.画图时,应以横轴表示数据值,纵轴表示_______与_________的比值,以每个组距为底,以各频率除以组距的商为高,分别画成矩形,这样得到的直方图就是频率分布直方图.

2.作频率分布直方图的步骤

（1）求极差,即一组数据中________和_________的差.

（2）决定组距与组数.将数据分组时,组数应力求合适,以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.这时应注意:

①一般样本容量越大,所分组数越多;②为方便起见,组距的选择应力求“取整”;③当样本容量不超过100时,按照数据的多少,通常分成5~12组.

（3）将数据分组.

（4）计算各小组的频率,作频率分布表.

各小组的频率=____________________.

（5）画频率分布直方图.

3.在频率分布直方图中,每个小矩形的面积表示样本数据落在相应范围内的_______,所有小矩形的面积之和等于_____.

三、茎叶图

1.茎叶图:

统计图中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.

2.用茎叶图表示数据有两个优点:

一是统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.

3.在根据茎叶图求数据的中位数时要注意:

先观察茎叶图中的数据是否已按大小进行了排序,若没有按大小进行排序,应先进行排序,再寻找中间位置上的数,否则可能会出现错误.

四、样本的数字特征

1.众数

在样本数据中,出现次数________的那个数据.

2.中位数

样本数据中,将数据按大小排列,位于最______的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的___________作为中位数.

3.平均数

样本数据的算术平均数,即____=________________

4.方差与标准差

方差:

________________________________________

标准差:

s=___________________________________.

5.注意以下两点:

（1）平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越____,越_______;标准差、方差越小,数据的离散程度越_____,越_______.

（2）已知样本数据求出的平均数是一个实际值,而频率分布直方图中用组中值×频率求和得到的平均数仅是一个估计数字,与实际值有一定的误差.

抽样方法

1.（2012年莆田市高三质检）某社区有480户家庭,其中中等收入家庭200户,低收入家庭160户,其他为高收入家庭.若在建设幸福社区的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了6户,则在该次调查中该社区被抽取的总户数为（　　）

（A）20（B）24（C）30（D）36

2.（2012年皖南八校高三第二次联考）据报道,德国“伦琴”（ROSAT）卫星在2011年10月23日某时落在地球的某个地方,砸中地球人的概率约为,为了研究中学生对这件事情的看法,某中学对此事进行了问卷调查,共收到2000份有效问卷,得到如下结果.

对卫星撞

地球的态度

关注但

不担心

关注有

点担心

关注且

非常担心

不关注

人数（人）

1000

500

x

300

则从收到的2000份有效问卷中,采用分层抽样的方法抽取20份,抽到的关注且非常担心的问卷份数为（　　）

（A）2（B）3（C）5（D）10

统计图表与数字特征

3.（2011年陕西省高三质检）如图,是某市甲乙两地五月上旬日平均气温的统计图,则甲乙两地这十天的日平均气温的平均数,和日平均气温的标准差s甲,s乙的大小关系应为（　　）

（A）=,s甲>s乙（B）=,s甲

（C）>,s甲,s甲>s乙

4.（2012年淮北市高三第一次模考）如图所示的茎叶图记录了一组数据,关于这组数据,其中说法正确的序号是__________________. 

0

7　8　9　9　9

1

0　1　2　2　3

①众数是9;②平均数是10;③中位数是9或10;

④标准差是3.4.

5.（2012年安徽省“江南十校”高三联考）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:

车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100mL（不含80）之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时,属醉酒驾车.据有关报道,在某个时期某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人,如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为　　　　. 

6.（2012年肇庆市高三第一次模考）某中学举行了一次田径运动会,其中有50名学生参加了一次百米比赛,他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件,则在这次百米比赛中获奖的人数共有　　　　人. 

7.（2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测）某班甲、乙两名同学参加100米训练,在相同条件下两人10次训练的成绩（单位:

秒）如下:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

甲

11.6

12.2

13.2

13.9

14.0

11.5

13.1

14.5

11.7

14.3

乙

12.3

13.3

14.3

11.7

12.0

12.8

13.2

13.8

14.1

12.5

（1）请画出适当的统计图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由（不用计算,可通过统计图直接回答结论）.

（2）经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率.

8.（2012年江西卷,文6,5分）小波一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（　　）

（A）30%（B）10%（C）3%（D）不能确定

9.如图所示是某公司（共有员工300人）2010年员工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有_________人. 

10.（2011年湖北卷,文5）有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12）内的频数为（　　）

（A）18（B）36（C）54（D）72

11.（2011年江西卷,文7）为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分（十分制）如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为m0,平均值为,则（　　）

（A）me=m0=（B）me=m0<

（C）me

12.（2012年山东卷,文14,4分）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位:

℃）数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5）,[21.5,22.5）,[22.5,23.5）,[23.5,24.5）,[24.5,25.5）,[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为____________. 

13.（2012年广东卷,文13,5分）由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________________________.（从小到大排列） 

14.（2010年福建卷,文14）将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图,若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n等于_______________. 

15.

（2012年广东卷,文17,13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100].

（1）求图中a的值;

（2）根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示,求数学成绩在[50,90）之外的人数.

分数段

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

x∶y

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5

16.（2012年安徽卷,文18,13分）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时,则视为合格品,否则视为不合格品,在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品,计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位:

mm）,将所得数据分组,得到如下频率分布表:

分组

频数

频率

[-3,-2）

0.10

[-2,-1）

8

（1,2]

0.50

（2,3]

10

（3,4]

合计

50

1.00

（1）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置;

（2）估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率;

（3）现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品,据此估算这批产品中的合格品的件数.

17.（2011年广东卷,文17）在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分,xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:

编号n

1

2

3

4

5

成绩xn

70

76

72

70

72

（1）求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s;

（2）从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率.

18.（2010年安徽卷,文18）某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:

61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.

（1）完成频率分布表;

（2）作出频率分布直方图;

（3）根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优;在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.

19.（2010年陕西卷,文19）为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:

（1）估计该校男生的人数;

（2）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;

（3）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率.

20某中学团委组织了“我对祖国知多少”的知识竞赛,从参加竞赛的学生中抽出60名学生,将其成绩（均为整数）分成六组[40,50）,[50,60）,…,[90,100],其部分频率分布直方图如图所示.观察图形,回答下列问题.

（1）求成绩在[70,80）的频率,并补全这个频率分布直方图;

（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）;

（3）从成绩在[40,50）和[90,100]的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.

古典概型的概率

【例】有两个箱子,里面各装有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球,所有的球除编号外完全相同,现从两个箱子里各摸一个球,称为一次试验.若摸出的两个球的编号之和为5,则中奖.求一次试验中奖的概率.

注意区分相近的概念

易混一:

“非等可能”与“等可能”混同

【例】掷两枚骰子,求所得的点数之和为6的概率.

B.A.A.①②.75.117.解:

（1）画出茎叶图

从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,应选派乙同学参加比赛更好;

（2）设甲同学的成绩为x,乙同学的成绩为y,则|x-y|<0.8,得-0.8+x

如图阴影部分面积即为3×3-2.2×2.2=4.16,

则P（|x-y|<0.8）=P（-0.8+x

即甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为.

C.72.B.D.9

13.解由题,设x1≤x2≤x3≤x4,则x1+x2+x3+x4=8,x2+x3=4,=1,

即（x1-2）2+（x2-2）2+（x3-2）2+（x4-2）2=4,联立解得x1=1,x2=1,x3=3,x4=3.

14.答6015.解:

（1）由（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1知a=0.005.

（2）估计这100名学生的平均分为:

55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=7.5+26+22.5+17=73（分）.

（3）由频率分布直方图知,语文成绩在[50,60）之间的人数为100×0.05=5,[60,70）之间的人数为100×0.4=40,[70,80）之间的人数为100×0.3=30,[80,90）之间的人数为100×0.2=20,故数学成绩在这几个分数段内的人数分别为5,20,40,25,总人数为90,故在[50,90）之外的人数为100-90=10.

16.解:

（1）频率分布表

分组

频数

频率

[-3,-2）

5

0.10

[-2,-1）

8

0.16

（1,2]

25

0.50

（2,3]

10

0.20

（3,4]

2

0.04

合计

50

1.00

（2）由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率约为0.50+0.20=0.70;

（3）设这批产品中的合格品数为x,依题意有=,

解得x=-20=1980.所以该批产品的合格品件数估计是1980.

17.解:

（1）∵==75,∴x6=6×75-（70+76+72+70+72）=90,

∴s2=×[（70-75）2+（76-75）2+（72-75）2+（70-75）2+（72-75）2+（90-75）2]

=×（25+1+9+25+9+225）=49,

∴s==7.即这6位同学成绩的标准差为7.

（2）从5位同学中随机选两位有:

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）共10种可能情况,记事件A=“恰有一位同学成绩在（68,75）”,A包含（1,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）共4种可能情况,∴P（A）==.即恰有1位同学成绩在区间（68,75）的概率为.

18.解:

（1）频率分布表:

分组

频数

频率

[41,51）

2

[51,61）

1

[61,71）

4

[71,81）

6

[81,91）

10

[91,101）

5

[101,111]

2

（2）频率分布直方图如图所示:

（3）答对下述两条中的一条即可:

①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的.有26天处于良的水平,占当月天数的,处于优或良的天数为28天,占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.

②轻微污染有2天,占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数共17天,占当月天数的,超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.

19.解:

（1）样本中男生人数为40,

由分层抽样比例为10%估计全校男生人数约为400.

（2）由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35（人）,因为样本容量为70,

所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f==0.5,

故由频率f估计该校学生身高在170~185cm之间的概率P1=0.5.

（3）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人,设其编号为①,②,③,④,

样本中身高在185~190cm之间的男生有2人,设其编号为⑤,⑥,

从上述6人中任取2人的树状图为:

故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率P2==.

20.解:

（1）因为各组的频率和等于1,

故成绩在[70,80）的频率是1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3.

频率分布直方图如图所示:

（2）依题意,60分及以上的分数在[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]这四个组,其频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75.所以估计这次考试的及格率是75%.

利用组中值估算学生成绩的平均分,则有

45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.

所以估计这次考试的平均分是71分.

（3）成绩在[40,50）的人数是60×0.1=6,成绩在[90,100]的人数是60×0.05=3,

所以从成绩在[40,50）与[90,100]的学生中选两人,他们在同一分数段的概率是P=