七年级暑期辅优资料一不定方程.docx
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七年级暑期辅优资料一不定方程
七年级暑期辅优资料一:
关于方程
知识点:
1,关于x的一元一次方程的解(根)的情况:
化为最简方程ax=b后,讨论它的解:
当a≠0时,有唯一的解 x=
;
当a=0且b≠0时,无解;
当a=0且b=0时,有无数多解。
(∵不论x取什么值,0x=0都成立)
2、二元一次方程组
的解的情况有以下三种:
1当
时,方程组有无数多解。
(∵两个方程等效)
2当
时,方程组无解。
(∵两个方程是矛盾的)
3当
(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解:
例1a取什么值时,方程a(a-2)x=4(a-2) ①有唯一的解?
②无解?
③有无数多解?
④是正数解?
例2k取什么整数值时,方程 ①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数?
②(1-x)k=6的解是负整数?
例3 己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a 无解。
问a和b应满足什么关系?
例4 a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解?
例5,求方程5x+6y=100的正整数解
例6,甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本?
例7、不解方程组,判定下列方程组解的情况:
①
②
③
例8、选择一组a,c值使方程组
1有无数多解, ②无解, ③有唯一的解
例9、m取何整数值时,方程组
的解x和y都是整数?
例10、a取哪些正整数值,方程组
的解x和y都是正整数?
例11、要使方程组
的解都是整数,k应取哪些整数值?
练习一:
1,关于x的方程ax=x+2无解,那么a__________
2、在方程a(a-3)x=a中,当a取值为____时,有唯一的解; 当a___时无解;
当a_____时,有无数多解; 当a____时,解是负数。
3、k取什么整数值时,下列等式中的x是整数?
1x=
②x=
③x=
④x=
4、k取什么值时,方程x-k=6x的解是①正数?
②是非负数?
5、m取什么值时,方程3(m+x)=2m-1的解①是零?
②是正数?
6、己知方程
的根是正数,那么a、b应满足什么关系?
7、m取什么整数值时,方程
的解是整数?
8、己知方程
有无数多解,求a、b的值。
9、已知a是整数,则下列代数式中,值不可能是整数的为()
A.
B.
C.
D.
10、方程组
有唯一的解,那么m的值为_____________;
11、
(1)已知方程组
有无数多个解,则a、b的值等于_____________;
(2)已知方程组
有无数多解,则a=______,m=______;
12.如果方程组
无解,则a为_____________;
13、.已知
(1)求x:
z的值;
(2)求x:
y:
z的值;(3)求
的值.
练习二
1.一宾馆有一人间、二人间、三人间三种客房供游客租住,某旅行团共15人准备租用客房共7间,如果每个房间都住满,租房方案有( )
A.
6种
B.
5种
C.
4种
D.
3种
2.在打靶中,某运动员每发子弹都是命中8、9、10环,他打了多于11发子弹,共得100环,那么,他命中10环的次数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
不能确定
3.方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为( )
A.
8
B.
6
C.
4
D.
2
4.方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解(x,y)的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
3
D.
无穷多
5.方程组
的正整数解的组数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
6.方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
7.不定方程
的正整数解的个数是( )
A.
,1个
B.
,2个
C.
,3个
D.
,4个
8.方程2(x+y)=xy+7的正整数解有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
9.方程
的正整数解的个数是( )
A.
7个
B.
8个
C.
9个
D.
10个
10.对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:
(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).如果对于任意实数u,v,都有(u,v)△(x,y)=(u,v),那么(x,y)为( )
A.
(0,1)
B.
(1,0)
C.
(﹣1,0)
D.
(0,﹣1)
11.如图,在某张桌子上放相同的木块,R=62,S=80,则桌子的高度是( )
A.
71
B.
50
C.
65
D.
44
12.初二
(1)班有48名同学,其中有男同学n名,将他们编成1号、2号、…,n号.在寒假期间,1号给3名同学打过电话,2号给4名同学打过电话,3号给5名同学打过电话,…,n号同学给一半同学打过电话,由此可知该班女同学的人数是( )
A.
22
B.
24
C.
25
D.
26
13.在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题:
甲、乙两人合养了若干头羊,而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等,全部卖完后,两人按下面的方法分钱:
先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去.为了平均分配,甲应该找补给乙多少元?
( )
A.
1元
B.
2元
C.
3元
D.
4元
14.某个货场有2005辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装9箱货物,每相邻的4辆车装的货物总数为34箱,为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是( )
A.
17043
B.
17044
C.
17045
D.
17046
15.方程x2﹣y2=105的正整数解有( )
A.
1组
B.
2组
C.
3组
D.
4组
16.若方程||x﹣2|﹣1|=a有三个整数解,则a的取值为( )
A.
a>1
B.
a=1
C.
a=0
D.
0<a<1
17.春运期间,在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站等的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?
( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
18.某体检中心有编号为A、B、C、D、E的五台体重计,由于长时间使用,有的称重已经不太准确.已知称同一个人的体重时,它们的差别为:
C比B轻0.3千克;D比C轻0.1千克;E比A轻0.1千克;C比E轻0.1千克.巧合的是,五台体重计称量的平均数是准确的体重数.现在知道只有一台体重计称重准确,请你想一想,称重准确的体重计是( )
A.
A
B.
B
C.
D
D.
E
19.已知在代数式a+bx+cx2中,a、b、c都是整数,当x=3时,该式的值是2008;当x=7时,该式的值是2009,这样的代数式有( )
A.
0个
B.
1个
C.
10个
D.
无穷多个
20.用甲乙两种饮料按照x:
y(重量比)混合配制成一种新饮料,原来两种饮料成本是:
甲每500克5元,乙每500克4元.现甲成本上升10%,乙下降10%,而新饮料成本恰好保持不变,则x:
y=( )
A.
4:
5
B.
3:
4
C.
2:
3
D.
1:
2
21.若甲、乙、丙班学生平均年龄分别是14、13、12岁,三个班学生总平均年龄是13岁,则甲、乙、丙班人数a、b、c满足( )
A.
a=c
B.
a+c=2b
C.
ac=b2
D.
a>b>c
22.小美开了一家服装店,有一次去批发市场进货,发现一款牛仔裤,预想能畅销,就用4000元购买了一个批发商的所有这种裤子,还想买二倍数量的这种牛仔裤,又到另一个批发商处用8800元购进,只是单价比前面购进的贵5元.回来后小美按每件89元销售,销路很好,最后剩下10件,按七五折销售,很快售完.则小美这笔生意盈利( )
A.
8335元
B.
8337.5元
C.
8340元
D.
8342.5元
二.填空题(共8小题)
23.某次的测试均为判断题,如果认为该题的说法正确,
就在答案框的题号下填“√”,否则填“×”.共10道题,每题10分,
满分100分.图中的A,B,C三张测试卷,A,B两张已判了分数,
则该判C _________ 分.
24.某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动,准备租某种客车若干辆.如果每辆车刚好坐满(即每个人都刚好有一个座位),就会余下14个人;如果多准备一辆车,那么每辆车刚好都空1个座位,则这种客车每辆的乘客座位有 _________ 个.
25.设有五个数,其中每四个数之和分别是15、22、23、24、32,那么这五个数分别是 _________ .
26.甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元,一天,让学生小王欲购这种铅笔,发现甲、乙两商店都让利优惠:
甲店实行每买5枝送1枝(不足5枝不送);乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折,小王买了13枝这种铅笔,最少需要花 _________ 元.
27.一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数值相等,那么这个矩形的长与宽分别是 _________ 和 _________ .
28.50名同学参加夏令营活动,需要同时搭建可容纳3人和2人的两种帐篷,则有效搭建方案共有 _________ 种.
29.在﹣35与5之间插入四个数,使这6个数中每相邻两个数之间的距离都相等,则这四个数的和 _________ .
30.一批旅客决定分乘几辆大汽车,并且要使每辆车有相同的人数.起先,每辆车乘坐22人,发现有一人坐不上车.若是开走一辆空车,那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车.已知每辆车的载客量不能多于32人,则原有 _________ 辆汽车,这批旅客有 _________ 人.
例1、解:
①当a≠0且a≠2时,方程有唯一的解,x=
②当a=0时,原方程就是0x=-8,无解;
③当a=2时,原方程就是0x=0有无数多解
④由①可知当a≠0且a≠2时,方程的解是x=
∴只要a与4同号,
即当a>0且a≠2时,方程的解是正数。
例2:
解:
①化为最简方程(k+2)x=4
当k+2能整除4,即k+2=±1,±2,±4时,方程的解是整数
∴k=-1,-3,0,-4,2,-6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k-6,
当k≠0时x=
=1-
,
只要k能整除6, 即k=±1,±2,±3,±6时,x就是整数
当 k=1,2,3时,方程的解是负整数-5,-2,-1。
例3:
解:
原方程化为最简方程:
(a-b)x=b
∵方程无解,∴a-b=0且b≠0
∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4:
解:
原方程化为最简方程:
(3a+2b-8)x=2a+3b-7,
根据 0x=0时,方程有无数多解,可知
当
时,原方程有无数多解。
解这个方程组得
答当a=2且b=1时,原方程有无数多解。
例5:
正整数解是
例6:
解:
设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得
3x+5y=38 (x,y都是正整数)
得原方程所有的正整数解
答:
甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
例8、解:
①当 5∶a=1∶2=7∶c时,方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
2当 5∶a=1∶2≠7∶c时,方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时,方程组有唯一的解,
即当a≠10时,c不论取什么值,原方程组都有唯一的解。
例9、解:
把m作为已知数,解方程组得
∵x是整数,∴m-8取8的约数±1,±2,±4,±8。
∵y是整数,∴m-8取2的约数±1,±2。
取它们的公共部分,m-8=±1,±2。
解得 m=9,7,10,6。
经检验m=9,7,10,6时,方程组的解都是整
例10.a=1例11.–5,-3,-1,1
1. a=1 2.a≠3,a≠0;a=3;a=0; a<3且a≠0
3.① k=±1,±2,±4 ②2,0,3,-1,4,-2,7,-5
③±1,±3 ④4,-5,0-2(
)
4. ①k<0②k≤0 5. ①m=-1 ②m<-16.2a+b>0
7.化为最简方程mx=m+3,当m=±1,±3时,有整数解
8.化为最简方程(3a-b)x=b+2
当
时方程无解,解得
2014年07月04日花儿朵朵的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共22小题)
1.一宾馆有一人间、二人间、三人间三种客房供游客租住,某旅行团共15人准备租用客房共7间,如果每个房间都住满,租房方案有( )
A.
6种
B.
5种
C.
4种
D.
3种
考点:
三元一次不定方程.菁优网版权所有
分析:
首先设宾馆有客房:
一人间x间、二人间y间、三人间z间,根据题意可得方程组:
,解此方程组可得y+2z=8,又由x,y,z是整数,即可求得答案.
解答:
解:
设宾馆有客房:
一人间x间、二人间y间、三人间z间,
根据题意得:
,
解得:
y+2z=8,
∵x,y,z是整数,
∴y可选:
0,2,4,6共4种情况.
故选C.
点评:
此题考查了三元一次不定方程组的应用.此题难度较大,解题的关键是理解题意,根据题意列方程组,然后根据x,y,z是整数求解,注意分类讨论思想的应用.
2.在打靶中,某运动员每发子弹都是命中8、9、10环,他打了多于11发子弹,共得100环,那么,他命中10环的次数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
不能确定
考点:
三元一次不定方程.菁优网版权所有
分析:
首先设环数为8,9,10的次数分别为x,y,z,然后根据题意得:
x+y+z>11,8x+9y+10z=100,又由8x+9y+10z≥8×13>100,即可求得该运动员打靶的次数,然后由x,y,z是正整数,则可求得环数为8、9、10的次数分别是多少.
解答:
解:
设环数为8,9,10的次数分别为x,y,z,
∴x+y+z>11,8x+9y+10z=100,
∵若x+y+z≥13,
则8x+9y+10z≥8×13>100,
故x+y+z=12.
∴该运动员打靶的次数为:
12.
当x=10时,y=0,z=2,
当x=9时,y=2,z=1,
当x=8时,y=4,z=0.
故他命中10环的次数分别为:
0,1,2.
故选D.
点评:
此题考查了三元不定方程的应用.此题难度较大,解题的关键是分类讨论思想的应用.
3.方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为( )
A.
8
B.
6
C.
4
D.
2
考点:
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专题:
分类讨论.
分析:
x,y是整数,求任何数的绝对值一定是非负数,因而x,y的值一定是0,1,﹣1.可以对得到的数组进行验证就可以得到.
解答:
解:
所有整数解是:
;
;
;
;
;
共6个.
故选B.
点评:
此题很简单,解答此题的关键是,用列举法列举出能使方程成立的所有整数解.
4.方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解(x,y)的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
3
D.
无穷多
考点:
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分析:
先把方程左边化为3的倍数的形式,再根据方程右边不可能是3的倍数判断出方程无整数解即可.
解答:
解:
原方程可化为x(x+1)(x+2)+3(x2+x)=y(y﹣1)(y+1)+2,
∵三个连续整数的乘积是3的倍数,
∴上式左边是3的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的.
∴原方程无整数解.
故选A.
点评:
本题考查的是非一次不定方程的解,熟知三个连续整数的乘积是3的倍数是解答此题的关键.
5.方程组
的正整数解的组数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
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专题:
方程思想;因式分解.
分析:
首先根据
方程组中的②确定z=1,将z=1代入方程组,求得x、y的值.进一步确定方程组的正整数解组数.
解答:
解:
方法一:
方程组
∵x、y、z是正整数,
∴x+y≥2
∵23只能分解为23×1
方程②变为(x+y)z=23
∴只能是z=1,x+y=23
将z=1代入原方程转化为
解得x=2、y=21或x=20、y=3
∴这个方程组的正整数解是(2,21,1)、(20,3,1).
方法二:
也可以不解方程组
直接判断:
因为x≠y(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,
故选B.
点评:
解决本题的入手点是首先通过因式分解,23仅能分解为23×1这一特殊性,判定z的取值,再进而确定x、y的值.
6.方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
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分析:
先把所给方程提取公因式3y,以及2x﹣3,进而整理为(2x﹣3)(3y+2)=1,进而判断整数解即可.
解答:
解:
6xy+4x﹣9y﹣7
=3y(2x﹣3)+2(2x﹣3)﹣1,
=(2x﹣3)(3y+2)﹣1=0,
所以(2x﹣3)(3y+2)=1,
因为方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解,
所以2x﹣3和3y+2也为整数,
所以2x﹣3=3y+2=1或者2x﹣3=3y+2=﹣1,
x1=2,y1=﹣
(不合题意舍去)
x2=1,y2=﹣1
所以,方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解为x=1,y=﹣1;
则方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为1组,
故选:
A.
点评:
本题考查了判断二次方程的整数解问题;将原式进行提取公因式得出(2x﹣3)(3y+2)=1是解决本题的关键.
7.不定方程
的正整数解的个数是( )
A.
,1个
B.
,2个
C.
,3个
D.
,4个
考点:
非一次不定方程(组).菁优网版权所有
分析:
根据不定方程
可知m>4,n>2,分别讨论m=5、6、7、8时,n是否为整数,即可求出正整数解的个数.
解答:
解:
∵不定方程
,
∴4n+2m=mn,
可知m>4,n>2,
当m=5,n=10,
当m=6,n=6,
当m=7,n不是整数,
当m=8,n=4,
当m=12,n=3.
故不定方程正整数解有4个,
故选D.
点评:
本题主要考查非一次不定方程的知识点,解答本题的关键是求出m和n的取值范围,此题难度不大.
8.方程2(x+y)=xy+7的正整数解有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
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分析:
首先由2(x+y)=xy+7,通过因式分解求得(x﹣2)(2﹣y)=3,然后由x,y均为正整数,即可得x﹣2=1,2﹣y=3或x﹣2=3,2﹣y=1,则问题得解.
解答:
解:
∵2x+2y=xy+7,
∴(2x﹣xy)+(2y﹣4)=3,
∴x(2﹣y)+2(y﹣2)=3,
∴(x﹣2)(2﹣y)=3,
∵x,y均为正整数,
∴x﹣2,2﹣y也是整数,
∴x﹣2=1,2﹣y=3或x﹣2=3,2﹣y=1,或x﹣2=﹣1,2﹣y=﹣3,
∴x=3,y=﹣1或x=5,y=1或x=1,y=5
∵方程的解是正整数,
∴方程2(x+y)=xy+7的正整数解有2个.
故选B.
点评:
此题考查了非一次不定方程的知识.解此题的关键是将由2(x+y)=xy+7,通过因式分解求得(x﹣2)(2﹣y)=3.
9.方程
的正整数解的个数是( )
A.
7个
B.
8个
C.
9个
D.
10个
考点:
非一次不定方程(组).菁优网版权所有
分析:
首先方程
将分母,变形为(x﹣6)(y﹣6)=36,又由36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6与x,y是正整数,即可得x﹣6=1,y﹣6=36或x﹣6=36,y﹣6=1或x﹣6=2,y﹣6=18或x﹣6=18,y﹣6=2或x﹣6=3,y﹣6=12或x﹣6=12,y﹣6=3或x﹣6=4,y﹣6=9或x﹣6=9,y﹣6=4或x﹣6=6,y﹣6=6,即可求得答案.
解答:
解:
∵
,
∴6(x+y)=xy,
∴6y+6x=xy,
∴xy﹣6y﹣6x+36=36,
∴(x﹣6)(y﹣6)=36,
∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,x,y是正整数,
∴x﹣6=1,y﹣6=36或x﹣6=36,y﹣6=1或x﹣6=2,y﹣6=18或x﹣6=18,y﹣6=2或x﹣6=3,y﹣6=12或x﹣6=12,y﹣6=3或x﹣6=4,y﹣6=9或x﹣6=9,y﹣6=4或x﹣6=6,y﹣6=6,
∴x=7,y=42或x=8,y=24或x=9,y=18或x=10,y=15或x=12,y=12或x=15,y=10或x=18,y=9或x=24,y=8或x=42,y=7.
∴方程
的正整数解的个数是9个.
故
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