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理论力学复习
理论力学复习
理论力学复习 静力学 工程中常见的几种约束类型及其约束力 光滑接触面约束柔索约束铰链约束滚动支座约束球铰约束止推轴承约束约束力作用在接触点处,方向沿接触面公法线并指向受力物体。
约束力沿柔索而背离物体。
约束力在垂直销钉轴线的平面内,并通过销钉中心。
约束力的方向不能预先确定,常以两个正交分量Fx和Fy表示。
约束力垂直滚动平面,通过销钉中心。
约束力通过球心,但方向不能预先确定,常用三个正交分量Fx,Fy,Fz表示。
约束力有三个分量Fx,Fy,Fz。
受力分析:
受力分析三步曲:
分离物体、画主动力、画约束力 注意点:
画全主动力和约束力; 画简图时,不要把各个构件混在一起画受力图; 灵活利用二力平衡公理和三力平衡汇交定理;作用力与反作用力。
1 1.力矩 力矩是度量力对物体转动效果的物理量。
平面问题中力F对O点之矩记为 MO(F)=?
Fh平面问题中力矩是代数量。
合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和,即 MO(FR)?
?
MO(F) 2.平面力偶系的合成和平衡条件 力偶与力偶矩大小相等,方向相反,作用线平行的两个力F,F’组成力偶,力偶是一特殊力系。
力偶对物体只有转动效应,它与一个力不等效,不能用一个力来平衡。
力偶只能与力偶平衡。
力偶对物体的转动效应决定于力偶矩,即 M(F,F?
)?
M?
?
Fd力偶矩是代数量。
取逆时针转向为正,反之为负。
力偶对任意点之矩等于力偶矩,与矩心位置无关。
力偶等效条件同平面内的两个力偶,如力偶矩相等,则两力偶等效。
力偶的等效性表明:
只要力偶矩不变,可任意改变力的大小和力偶臂的长短;力偶也可在作用面内任意移转。
平面力偶系的合成同平面力偶系可合成为一合力偶,合力偶矩等于各分力偶矩的代数和 M?
?
Mi 平面力偶系的平衡条件力偶系平衡的必要和充分条件是:
合力偶矩等于零,即 ?
Mi?
0 一个独立的平衡方程,可解一个未知量。
3.力的平移定理 作用在刚体上的力,可平行移动到刚体上任一点,平移时需附加一力偶,附加力偶的力偶矩等于原作用力对平移点之矩,称为力的平移定理。
该定理表明,一个力可以等效于一个力和一个力偶。
其逆定理表明,可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。
应用力的平移定理,将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。
4.平面力系向平面内一点简化 力系向任一点O简化,得到通过简化中心的一个力及一个力偶。
力的大小、方向决定于力系的主矢量,力偶的矩决定于力系对简化中心的主矩。
力系中各力的矢量和称为力系的主矢量(简称主矢)。
即 ?
?
FR?
F 2 主矢量与简化中心位置无关。
力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。
即 MO?
主矩与简化中心位置有关。
?
MO(F) 5.主矢和主矩的解析式 如以简化中心为原点,建立直角坐标系Oxy则主矢与主矩的解析表达式分别为 ?
?
FR?
Xi?
?
Yj?
MO MO?
(F)?
?
(xiYi?
yiXi) 式中Xi,Yi为力系中各力在坐标轴上的投影,xi,yi为力Fi作用点的坐标。
平面力系的简化 3 6.平面力系平衡的必要和充分条件 力系的主矢和主矩都等于零,即:
?
?
?
F?
0FRMO?
?
MO(F)?
0 平面力系平衡方程的三种形式 基本形式二力矩式三力矩式?
X?
0?
Y?
0?
MO(F)?
0[?
X?
0?
M(F)?
0?
M(F)?
0AB?
M?
M?
MABC(F)?
0(F)?
0(F)?
0A、B连线与x轴不垂直A、B、C三点不共线1.计算力在空间直角坐标轴上的投影有两种方法 一次〔直接〕投影法 X?
F?
cos?
Y?
F?
cos?
Z?
F?
cos?
二次投影法。
4 X?
F?
sin?
?
cos?
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Fxy?
cos?
?
F?
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cos?
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sin?
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Fxy?
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F?
cos?
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sin?
Z?
F?
cos?
?
F?
sin?
2.力对轴之矩 力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量,是代数量,可按定义或解析式计算。
当力与轴相交或平行时,力对该轴之矩等于零。
3.力对点之矩 力对点之矩是力使物体绕该点转动效果的度量,是定位矢量。
表为 MO?
F?
?
r?
F 力对点之矩在过该点某轴上的投影等于力对该轴之矩。
?
MO?
F?
?
z?
Mz?
F?
有 MO?
F?
?
Mz?
F?
i?
Mz?
F?
j?
Mz?
F?
k4.合力矩定理 力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对该点之矩的矢量和,即 MO?
FR?
?
?
MO(F) 5.力偶矩矢 力偶矩矢是表示力偶三要素的自矢量,它完全决定了力偶对物体的作用。
若两力偶的力偶矩矢相等,则两力偶等效。
6.空间力系的合成 空间汇交力系合成为通过汇交点的一个合力,其合力矢FR?
空间力偶系合成为一合力偶,其合力偶矩矢M?
?
F ?
Mi 空间任意力系向任一点O简化,得到作用在简化中心O的一个力和一个力偶,力的大小、方向决定于力系的主矢量,力偶矩矢决定于力系对O点的主矩,即 ?
?
FR?
F MO?
?
MO(F) 7.空间力系平衡的必要和充分条件 空间任意力系平衡的必要和充分条件是:
力系的主矢和对任一点的主矩等于零,即 ?
?
0 FR MO(F)?
0 8.空间力系平衡方程的基本形式 空间汇交力系空间力偶系空间平行力系空间任意力系5
?
X?
0?
Y?
0?
Z?
0 ?
M?
M?
Mxyz(F)?
0(F)?
0(F)?
0?
Z?
0?
M(F)?
0?
M(F)?
0xy?
X?
0?
Y?
0?
Z?
0?
M?
M?
Mxyz(F)?
0(F)?
0(F)?
0 运动学 1.矢量法 ?
M点位置确定r 运动方程 r=r?
t?
轨迹:
矢端曲线 ?
?
?
?
?
?
rdr?
?
方向沿轨迹切线?
?
r速度 v?
lim?
t?
0?
tdt?
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?
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v?
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?
vr?
加速度 a?
lim?
t?
0?
t2﹑直角坐标法 M点位置确定x,y,z 运动方程 x?
f1(t),y?
f2(t),z?
f3(t) 轨迹 运动方程消去时间参数t,即可得到轨迹的曲线方程。
?
2?
y?
2?
z?
2v?
x?
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vcos?
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k 速度 v?
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vcos?
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xyz?
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a,x?
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j?
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k 加速度 a?
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xyz?
?
acos?
a,y?
?
?
y?
?
acos?
a,z?
?
?
z3.自然法 前提:
点的轨迹已知 6 弧坐标的建立:
在轨迹上确定M0点,规定“+”,“-” M点位置确定:
弧坐标s运动方程 s?
f(t) ?
?
?
?
v?
?
s?
速度 v?
s2?
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?
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s?
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?
n加速度 a?
?
s?
?
2s?
——切向加速度 an?
——法向加速度a?
?
?
s?
a2a?
a?
2?
an?
?
?
tanan1.平动 刚体平动的特点是:
刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。
因此,只要求得刚体上任一点的运动,就可得知其它各点的运动,从而确定整体运动。
2.定轴转动 描 述 定 轴 转 动 刚 体 的 位 置 用 角 坐 标 ?
。
?
?
f?
t?
d?
?
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?
角速度 ?
?
运动方程 dtd?
?
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角加速度 ?
?
dt或 ω?
?
k?
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为?
?
在z轴上的投影; α?
?
k?
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为?
?
在z轴上的投影。
定轴转动刚体上各点速度v及加速度a的计算:
速度 v?
ω?
r,或v?
?
R,R为点到转轴的距离。
加速度 a?
α?
r?
ω?
v其中 a?
?
α?
r,或a?
?
?
R an?
ω?
v,或an?
?
R 2切向加速度; 法向加速度。
1.定系和动系 理论上讲,若存在两个有相对运动的坐标系,则可指定其中一个为定系,另一个即为动系。
但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系,相对于定系运动着的坐标系称为动系。
2.动点和牵连点 动点为研究的对象,是本章的主角。
牵连点是动点在动系上的重合点,随动点的相对运动而变,是动系上的点,不同瞬时,有不同的牵连点,弄清牵连点的概念十分重要。
7 3.三个运动的关系 绝对运动——动点相对于定系的运动;相对运动——动点相对于动系的运动;牵连运动——动系相对于定系的运动。
速度合成定理 v?
v?
vaer aa?
ae?
ar?
aC 加速度合成定理 其中 aC?
2ωe?
vr当动系平动时 ωe?
0,aC?
0 1.刚体平面运动定义 刚体作平面运动的充要条件是:
刚体在运动过程中,其上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。
2.平面运动方程 刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。
运动方程:
?
xA?
xA(t)?
?
yA?
yA(t) ?
?
?
?
(t)?
其中A为基点。
如果以A为原点建立平动动系Ax’y’,则平面运动分解为跟随基点的平动和相对于基点的转动。
3.平面运动刚体上各点的速度分析 基点法--应用速度合成定理:
vB?
vA?
vBA 速度投影定理:
刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
AB?
AB 瞬心法 瞬心是瞬时速度为零的点,把瞬心作为基点求速度的方法,为瞬心法。
4.加速度分析只推荐用基点法分析平面运动刚体上各点的加速度。
aM?
aO?
?
aMO?
?
aMO?
n?
8 动力学 1.牛顿第二定律 牛顿第二定律为质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合力,即 ma?
?
F 它是解决质点动力学的基本定律。
2.质点运动微分方程 矢量形式 m?
r?
?
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F mdv?
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F?
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X?
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y直角坐标形式m?
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Z?
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?
Fb?
?
?
?
一般在研究自质点的运动时,常采用直角坐标或极坐标形式的微分方程,研究非自质点动力学问题时常采用自然坐标形式的微分方程。
3.质点运动微分方程的应用 运用质点运动微分方程,可解决质点动力学两类问题,即 已知质点的运动规律,求作用在质点上的力,通常是未知的约束力。
这是点的运动方程对时间求导数的过程。
已知作用在质点上的力,求质点的运动规律。
这是运动微分方程的积分过程,或求解过程。
对于多数非自质点,一般同时存在以上动力学的两类问题,对于这种问题一般首先解除约束以相应的约束力代替,根据已知的主动力及运动初始条件,求解质点的运动规律;然后在运动确定的条件下再求解未知约束力,约束力一般包括静约束力和附加动约束力两部分。
利用质点运动微分方程求解质点的运动规律时,视问题的性质,可采用两种分离变量的方法对微分方程进行积分,即 a?
?
dvdtdvdsdvd?
v2?
?
或 a?
?
?
?
v?
?
?
?
dsdtdsds?
2?
9 质点的运动规律还决定于初始条件,利用运动的初始条件,可确定定积分的下限或不定积分的积分常数。
视问题的性质,也可以用解微分方程的方法求解。
4.解决质点动力学问题的步骤 分析质点的受力,分清主动力与约束力。
对非自质点需解除约束,以约束力代替。
主动力一般为已知,约束力通常是未知的,但其方向往往可根据约束的性质确定。
画出质点的受力图。
分析质点的运动,画出质点的运动分析图,一般包括广义坐标,加速度、速度在坐标上的分量等。
列写质点运动微分方程。
列方程时要注意力及运动量在坐标上投影的正负号。
微分方程的求解及问题的进一步讨论。
1.质点系动量的计算 质点系的动量为质点系中各质点动量的矢量和,即p?
?
mv 在直角坐标系中可表示为 p?
(?
mvx)i?
(?
mvy)j?
(?
mvz)k质点系的动量还可用质心的速度直接表示,即 p?
?
mv?
MvC 2.质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系,可表示为如下几种形式:
质点系动量定理 质心运动定理 3.动量定理的应用 应用动量定理解质点系动力学问题时,应注意以下几点:
质点系动量的变化与内力无关。
应用动量定理时,必须明确研究对象,分清外力与内力,只需将外力表示在受力图上。
应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题,即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。
一般用动量定理求未知约束力。
10 dp(e)?
?
FdtMaC?
?
F(e)
当外力系的主矢量为零时,系统的动量守恒,即 常矢量 外力系的主矢量在某一轴上投影为零时,系统的动量在该轴上的分量为一常数 1.转动惯量 刚体对Z轴的转动惯量JZ?
?
mr2 常数 2.质点系动量矩 质点系对任意一点的动量矩为质点系中各点的动量对同一点的矩的矢量和,即 LO?
?
r?
mv 质点系对轴z动量矩Lz?
?
m(mv)?
?
L?
ziiOz 平动刚体 LO?
mO(mvC)?
rC?
mvCLz?
Jz?
?
定轴(z轴)转动刚体平面运动的刚体 3.质点系动量矩定理 Lz?
mz(mvC)?
JC?
?
质点系的动量矩定理建立了质点系动量矩的变化率与作用于质点系上外力的主矩之间的关系。
可表示为如下几种形式:
对固定点的动量矩定理 质点系对固定点的动量矩对时间的一阶导数,等于外力系对同一点的主矩,即 用投影式表示为 dLO(e)(e)?
?
mO(Fi)?
MOdtdLy(e)(e)(e)dLxdLz(e)(e)(e)?
?
mx(Fi)?
Mx,?
?
my(Fi)?
My,?
?
mz(Fi)?
Mzdtdtdt11 相对质心动量矩定理 质点系相对质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。
即 dLC(e)(e)?
?
mC(Fi)?
MC dt(e)刚体绕固定轴转动的微分方程 Jz?
?
Mzd?
(e)Jz?
Mzdt?
C?
?
X(e),M?
x或d2?
(e)Jz2?
Mz dt4.刚体平面运动微分方程 ?
C?
?
Yy M?
(e), ?
?
?
?
mC(F(e));JC?
5.动量矩定理的应用 在应用动量矩定理时,应注意以下几点:
正确计算质点系的动量矩; 质点系动量矩的变化率与外力矩有关。
所以,在分析问题时要明确研究对象,分清内力与外力; 当对固定点的外力矩为零时,质点系对该点的动量矩守恒。
即 MO(e)?
0时, LO?
常矢量 或对某轴的外力矩为零时,质点系对该轴的动量矩守恒。
即 Mz 1.质点系动能的计算 (e)?
0时, Lz?
常数 质点的动能:
T?
1mv221miv2 2质点系的动能等于质点系内各质点动能的总和,即 T?
?
刚体动能的计算 12T?
Mvc 平动刚体:
212T?
J?
Z定轴转动刚体:
212 111222T?
J?
?
Mv?
J?
Pcc平面运动刚体:
222JZ;Jc;JP分别为刚体对固定轴,质心轴和瞬心轴的转动惯量。
2.力的功的计算 作用在质点系上的力通常为变力,变力的元功为 ?
W?
力在有限路程上的功为 或 如重力在有限路程上的功为 即决定于轨迹两端的高度差,而与轨迹形状无关。
弹性恢复力在有限路程上的功为 其中为弹簧刚度系数,弹性恢复力的功仅决定于质点在轨迹两端时弹簧的变形,而与轨迹形 状无关。
3.动能定理 微分形式的动能定理:
dT?
?
?
W 积分形式的动能定理:
T2?
T1?
?
W 动能定理给出了质点系在运动过程中速度与位置的关系。
具有理想约束的一个自度系统,利用动能定理就可以决定质点系在已知主动力作用下的运动规律。
4.机械能守恒 在理想约束的情况下,若作用在系统上的主动力有势,则系统的机械能守恒,即 应用机械能守恒定律可得到系统运动微分方程的初积分。
常见势力的势能,重力势能 13 式中零势面铅垂向上为正。
弹性恢复力势能 式中为弹簧的变形量。
以弹簧原长处为势能零点。
14
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