考点透析4运用导数研究函数的图象与性质doc.docx

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考点透析4运用导数研究函数的图象与性质

考点：

1。

初等函数的导数；2o导数的运算法则；3•导数与切线；

4.导数与函数的单调性（隐含不等式）；5.用导数研究函数的零点与极值点。

1.导数的几何意义及其考査

1.曲线）=-疋+3〒+1过点（1,1）的切线方程为（）

A.y=3x-2B.y=-3x4-2C.y=\D.x=\

X+]

2.（全国一7）设曲线—在点（3,2）处的切线与直线血+）?

+1=0垂直，贝陀=（）

x-1

A.2B.—C.——D.-2

22

0

4.

（）

D.x=0和3x-y-2=0

（）

曲线y=x3i±点（土，0）的切线的方程是

A.y=0B.3x—y—2=0C.y=0或3x—y—2=0

5.已知函数/⑴在兀=1处的导数为3,则f（兀）的解析式可能为

A./（x）=（x-1）2+3（x-1）B./（x）=2（x-1）C./（x）=2（x-1）2D・/（x）=x-l

711

6.曲线y=sinx在点（一，一）处的切线方程是

62

7.曲线y=x3+x-2在P。

点处的切线平行于直线y=4x-l,则P。

点的坐标为（）

A.（1,0）B.（2,8）C.（1,0）和（-1,-4）D.（2,8）和（T,4）

8.已知函数y=/（兀）的图象在点M（l,/⑴）处的切线方程是y二丄x+2,贝"

（1）+广

（1）=

2

9.对正整数n,设曲线y=〔（1一幻在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为缶，则数列｛話｝的前n

项和的公式是

10.设曲线y=严在点（0,1）处的切线与直线兀+2〉，+1=0垂直，贝巾=・

11•直线y=*x+b是曲线y=lnx（x>0）的一条切线，则实数b=.In2—1.

12.已知抛物线y=ax2+bx++c通过点P（1,1）,且在点Q（2,-1）处与直线y=x-3相切。

则实数a,b,c的值为

例1•已知抛物线G：

y=x2+2x和C：

y=-x2+a,如果直线1同时是C】和C2的切线,称1是C】和C?

的公切线，公切线上两个切点Z间的线段，称为公切线段.

（I）a取什么值时，G和C2有且仅有一条公切线？

写出此公切线的方程；

（II）若G和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

2.研究函数的单调性

14.对于R上可导的任意函数f（x）,若满足（x-1）f'（x）>0,则必有（）

九f（0）+f

（2）<2f

（1）B.f（0）+f

（2）Qf

（1）C.f（0）+f

（2）>2f

（1）D.f（0）+f

（2）>2f

（1）

15.设p:

/（x）=x3+2x2+mx+1在（一oo,+oo）内单调递增，q:

m^—,则”是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

16.若函数y=--x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是・

17.设函数=兀（兀wR）,已知g（x）=f（x）-fXx）是奇函数，则求b、c的值为

18.求函数/（x）=log05（x2-2x-3）的单调增区间是。

例2.（2006山东）设函数/（x）=^-（a+l）ln（x+l）,其中a>-l,求f（x）的单调区间.

例3.已知函数/（x）=l-x2,^（%）=/[/（%）],F（兀）=”g（x）-4f（x）・是否存在实数p，使F（x）在（-8,/

（2）]上是增函数，且在（/

（2）,0）±是减函数？

若存在，求出八若不存在，请说明理由.

兀<1例4.（广东卷19）设RwR,函数/（x）=<1-x,F（x）=f（x）-kx,xwR,试讨论函

一厶一1,x$1

数尸（兀）的单调性.

3.构造函数证明不等式.

例5•当5时,证明不等式宀1+’+护成立.

例6.（08天津卷21）已知函数f（x）=x4^ax3^2x2^-b（兀wR）,其中ci,bwR・

（I）当a=~—时，讨论函数/（x）的单调性；

（II）若函数/（兀）仅在兀=0处有极值，求Q的取值范围；

（III）若对于任意的«G[-2,2],不等式/（x）

4.研究函数的零点和极值点

18.（广东卷7）设awR,若函数y=/"+3x,xeR有大于零的极值点，贝U（）

A・ci>—3B.ci<—3C.ci>—D.ci<—

33

19.方程x3-3x+c=0在［0,1］上至多有个实数根.

例7.己知函数/（x）=-x2+8x,g（x）=61nx+加.是否存在实数m,使得y二f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？

若存在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由。

例&已知函数f（x）=x3-x・

（1）求曲线y=f（x）在点M（/,/*（r））处的切线方程；

（2）设。

〉0,如果过点⑺，方）可作曲线y=,f（x）的三条切线，证明：

-a

例9.已知/（x）是二次函数，不等式/（x）<0的解集是（0,5）,且/（x）在区间［-1,4］上的最大值是12o37

（I）求/（切的解析式；（II）是否存在实数加，使得方程/（%）+—=0在区间（加,加+1）内有且

x

只有两个不等的实数根？

若存在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由。

例10.已知f（x）=x2+-,问是否存在正实数a,使得关于x的方程f（x）=f（a）有且仅有两实数解.若%

有求出这个实数a,若没有请说明理由。

例11.（08四川）已知x=3是函数/（x）=«ln（l+x）+x2-10x的一个极值点。

（I）求q；（II）求函数/（兀）的单调区间；（III）若直线y=b与函数y=/（兀）的图象有3个交点，求b的取值范围。

例12.（陕西）已知函数f（x）=—一（c>0且CH1,kwR）恰有一个极大值点和一个极小值点,X~+C

其中一个是x=—c・（I）求函数/（兀）的另一个极值点；（II）求函数.fCO的极大值M和极小值加，并求M-加21时k的取值范围.

例13.（2007年湖南文）已知函数f（x）=-x3+-ax2+bx在区间［-1,1）,（1,3］内各有一个极值点.

32

（I）求a2-4h的最大值；（II）当a2-4h=S时，设函数y=f（x）在点A（l,/（I））处的切线为人若/在点A处穿过函数y=/（尢）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从/的一侧进入另一侧），求函数/（切的表达式.

例14.已知椭圆方程为—+^-=lo问在椭圆上是否存在点P（x,刃到定点A（q,0）（其中0

94

距离的最小值为1,若存在，求出Q的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明•

例15.设a^O,f（x）=x—1—In2x+2aInx（x>0）.

（I）令F（x）=xfz（x）,讨论F（x）在（0.+8）内的单调性并求极值;（II）求证：

当x>l时,恒有x>lnx-2aInx+1.

考点透析4运用导数研究函数的图象与性质考点：

1。

初等函数的导数；2O导数的运算法则；3•导数与切线；

4.导数与函数的单调性（隐含不等式）；5.用导数研究函数的零点与极值点。

1.导数的几何意义及其考査

1.曲线y=-F+3/+1过点（1,1）的切线方程为（）

A.y=3%-2B.y--3x+2C.y=lD.x=1

【错解】£=刃归=（_3兀2+6兀）1广3,・・・所求切线方程为：

y=3x-2

【错因剖析】误以为点（1,1）在曲线），=-疋+3兀？

+1上。

求曲线上某点处的切线方程方程，与

求曲线过某点处的切线方程的意义不同。

前者所给点本身就是切点，而后者有可能是切点，也有可能不是切点，而是曲线在另一点处的切线经过了这个点。

【止解】・・•点（1,1）不满足曲线y=-x3+3x2+l,因此点（1,1）不在曲线『=-疋+3/+1上

设切点为卩（兀（）,儿），则有y0=-x03+3x024-1,k=-3x02+6x0,过点P的切线方程：

y+x^-3x02-1=（-3x024-6x0）（x-x0）将点（L1）代入上式得x0（x02-3x0+3）=0所以切点为P（0,1）,所以所求切线方程为：

尸1.故选C

y-L1

2.（全国一7）设曲线y=—在点（3,2）处的切线与直线处+y+l=0垂直，则a=（D）

x-l

A.2B.丄C.一丄D.-2

22

3.在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于兰的点中，坐标为整数的点的个数是（）

・4

A.3B.2C.1D.0

Q

解：

*•*y=—8x9/•yr=3x~—8w[0,1],/•2<—W兀？

<3,xwZ,:

•xwQ,故选D

Q2

4.曲线y=x3a点（土，0）的切线的方程是（C）

3

A.y二0B.3x—y—2=0C.y=0或3x—y—2=0D.x=0和3x—y—2=0

解：

设P（xo,yo）为曲线y=x3±的一点，则过P点切线的方程为：

y—y。

=3X（/（兀一兀0）

2

令兀=一」=0得，一儿二2兀（）2-3兀（）'，又因为P（Xo,yo）为曲线y=x3±所以

y0=xj,解得兀0=0,或兀0=1,可得切线的方程是y=0或3x—y—2=0,选C

5.已知函数/（兀）在兀=1处的导数为3,则/•⑴的解析式可能为（）

A./（x）=（x-l）2+3（x-l）B./（x）=2（x-l）C./（x）=2（x-1）2D・/（x）=x-l

6.曲线y=sinx在点（手，丄）处的切线方程是■

62

解：

k=yf

71a/3

=cos—=——

62

1

V34^711

=——XF—

2122

r

・：

切线方程是y—=-—（x—）,

226

7.曲线y=x3+x-2在P°点处的切线平行于直线y=4x-l,则P。

点的坐标为（）

A.（1,0）B.（2,8）C.（1,0）和（-1,-4）D.（2,8）和（-1,4）

解:

设人（心，儿），则k二f'（x0）=3%02+1=4

解得兀。

i,儿=0或x（）=-1,儿=-4选C

8.已知函数y=/（x）的图象在点M（l,/⑴）处的切线方程是y二丄x+2,贝"

（1）+广⑴二

_・3

9.对正整数n,设曲线y=疋（1—x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为為，则数列｛禽｝的前n

项和的公式是2”」一2

10.设曲线），=严在点（0,1）处的切线与直线x+2y+l=0垂直，贝・2

11•直线y=-x+b是曲线y=lnx（%>0）的一条切线，则实数b=・52—1・

2

12.已知抛物线y=ax2+bx++c通过点P（1,1）,且在点Q（2,-1）处与直线y=x-3相切。

则实

数a,b,c的值为

解：

因为点P（1,1）在抛物线上，所以a+h+c=\①

°

•/y=ax~+bx+cy'=2ax+byK11=2=4tz+/?

因为过切点Q（2,-1）的切线的斜率k=4a+b=\②

又因为切点Q（2,-1）在抛物线y二0¥，+/zx++c上

4a+2b+c=—1（^）

联立①②③可解得g=3上=一1l,c=9

【点评】理清曲线F（x,y）=0、切点P（x°,y。

）、切线L:

y=kx+b三因素之间的关系是解决这类问

FCWo）=°

题的关键，即联立方程组k=「g求解例1.已知抛物线Cl：

y=x2+2x和C：

y=-x2+a,如果直线1同时是G和C?

的切线,称1是G和C?

的公切线，公切线上两个切点Z间的线段，称为公切线段.

（I）a取什么值时，G和C2有且仅有一条公切线？

写出此公切线的方程；

（II）若G和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

解：

（I）函数y=x2+2x的导数y‘=2x+2,曲线Ci在点P（xi,x；+2xi）的切线方程是：

y—（x\+2xi）=（2xi+2）（x—Xi）,8卩y=（2xi+2）x—x；①

函数y=—x2+a的导数y'=—2x,曲线C2在点Q（X2,—x；+a）的切线方程是

即y—（—x；+a）=—2x2（x—X2）・y=—2x2x+x；+a・②

如果直线1是过P和Q的公切线，则①式和②式都是1的方程，

所以｛_彳=卅二消去X2得方程2x；+2xi+l+a=0.

若判别式厶=4-4X2（1+a）二0时，即a=--时解得x,=--,此时点P与Q重合.

22

即当a二一丄时G和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为尸X—丄・

24

（II）证明：

由（I）可知.当a<--时G和C2有两条公切线

2

设一条公切线上切点为：

P（X!

yi）,Q（x2,y2）其中P在Ci±,Q在C2上，

贝U有Xi+x2=—1,yi+y2=x；+2x1+（—x；+a）二x\+2xi—（xi+l）2+a=—1+a・

线段PQ的中点为（-$土纟）.

22

同理，另一条公切线段P‘Q'的中点也是（-丄，土兰）.

22

所以公切线段PQ和P‘Q'互相平分.

【点评】本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力。

2.研究函数的单调性

13•对于R上可导的任意函数f（x）,若满足（x-1）V（x）>0,则必有（C）

A.f（0）+f

（2）<2f

（1）B.f（0）+f

（2）&f

（1）C.f（0）+f

（2）>2f

（1）D.f（0）+f

（2）>2f

（1）解：

依题意，当xhl时，ff（x）>0,函数f（x）在（1,+oo）上是增函数；当xvl时，f，（x）<0,f（x）在（一8,1）上是减函数，故f（x）当x=l时取得最小值，即有f（0）>f

（1）,f

（2）>f

（1）,故选C

“4

14.设p:

f（x）=x3+2x2+mx+\在（一00,+00）内单调递增，q:

m2—,则“是g的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：

/（兀）在（-00,+co）内单调递增，则广（兀）在（-00,+00）上恒成立。

4

=>3x2+4x+m>0从而△<0=>加2—；

3

4

反之，—=>fr（x）>Or•*./（x）在（一8,+oo）内单调递增，选C.

15.若函数y=--x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是・

3

解：

yz=-4x2+b,若『值有正、有负，则b>0・答案：

b>0

16.设函数/（x）=x3-^-bx2+cx（xeR）,已知g（x）=/（x）-/\x）是奇函数，则求b、c的值为

解：

Vf（x）=x34-bx2+ex,广（兀）=3/+2/?

x+c。

从而g（x）=f（x）-fr（x）=x3+bx?

+cx-（3x24-2bx4-c）

=x3+（/?

-3）x2+（c-2b）兀一c是一个奇函数，

所以g（0）=0得c=0,由奇函数定义得&=3；

17.求函数/（x）=log05（x2-2%-3）的单调增区间是o

错解=兀2_2兀_3=（兀_1）2_4在（_◎1］上是减函数，在［1,+oo）上是增函数。

又log05u是

减函数，所以函数/（兀）的递增区间是（-co,1］,递减区间是［1,+00）。

错因分析：

上述错解忽略了函数/（兀）的定义域是（-co,-1）U（3,+8）,而不是（-00,+oo）。

止解：

函数/（兀）=log°5（/—2x—3）的定义域是（—00,-1）U（3,+Q。

u=x2-2x-3=（x-\）2-4在（-00,-1）±是减函数，在（3,+8）上是增函数。

又log（）5u在（0,+8）上是减函数，所以根据复合函数的单调性，函数/（切的递增区间是

（—8,-1）,递减区间是（3,+00）。

例2.（2006山东）设函数/（x）=^-（tz4-l）ln（x+l）,其中6/>-1,求f（x）的单调区间.

解：

由已知得函数f（x）的定义域为（-1,+a））,且f（兀）=竺二1（°\_1）,

X+1

（1）当—IWaWO时，f'（x）<0函数f（x）在（―1,+8）上单调递减，

（2）当。

〉0时，由f'（x）=0解得兀二丄.

a

若XG（-1,-）,则f1（X）

aa

若xg（—,+00）则，ff（x）>0函数f（x）在（丄,+00）上单调递增.

aa

综上所述：

当-\

当。

>0时，函数f（x）在（-1丄）上单调递减，函数f（x）在（-,+oo）±单调递增.

aa

例3.已知函数/（x）=l-x2,,F（x）=/^（x）-4/（x）.是否存在实数”，使

尸（对在（-卩/⑵］上是增函数，且在（/

（2）,0）±是减函数？

若存在，求岀卩；若不存在，请说明理由.

解：

由/（x）=l-x2,可得/

（2）=-3,^（x）=1-（1-x2）2=2x2-x4

（x-3）（x+3）

Ff（x）=4x

=-x

F（x）=pg（x）-4f（x）=p（2x2-x4）-4（1-x2）,先假设存在实数p使尸（兀）在（-oo,-3］是增函数，且在（-3,0）±是减函数，由于F（x）是可导函数，所以F'（-3）=0,因为

当x<-3时，r（x）>0,说明函数尸（兀）在（-oo,-3］是增函数;

当一3

综上所述，满足条件的”存在，且p=-・

4

【点评】三次函数是高考命题的热点之一，因为三次函数的导数是二次函数，以此为切入点，将二次函数、二次不等式、二次方程紧密联系在一起。

—,x<1

例4.（广东卷19）设kwR,函数f（x）=U-x,F（x）=f（x）-kx9xgR，试讨论

—JX—\yXN1

函数F（x）的单调性.

当£〉0时，函数尸（兀）在（-oo,l-

古）上是减函数,

」）上是增函数;

当£50时，函数F⑴在（-8,1）上是增函数;

一gl）,FG—諾h

当£no时，函数F（x）在［i,+oo）上是减函数;

+8上是增函数。

/

当£vo时，函数F（jc）在1,1+厶］上是减函数，在1

4k「

3.构造函数证明不等式.

例5.当x〉0时，证明不等式“>1+兀+丄兀2成立・

2

证明：

设f（x）=e"-1-x-丄兀S则广（兀）=“-1-x,令g（x）=ex-1-x,

因为g‘（兀）=护一1,

当x>0时，g-（x）=^-l>0,所以g（Q在（0,+8）上为增函数,

而g（0）=0,所以g（x）〉g（0）=0,所以g⑴在（0,+8）上恒为正，

即广⑴在（0,+a）上恒为正•所以/⑴在（0,+a）上为增函数，且/（0）=0・

1°1O

所以ex-1-X——X2>0・即兀>0时，以>l+x+-x2成立.

22

【点评】利用单调性证明不等式的常用思路是先构造函数，再借助导数确定单调性.一般地，证明

/（x）>g（x）,xe（«,/?

）,可以构造函数F（x）=/（x）-g（x）,如果Fr（x）>0,则F（x）在（d,b）上是增函

数，同时若F（a）>0,由增函数的定义可知，xe（%）时,有F（x）〉0•即证明了/（x）>g（x）

例6.（08天津卷21）已知函数/（x）=F+d/+2F+b（xg/?

）,其中a,bwR・

（I）当a=~—时，讨论函数/（%）的单调性；

（II）若函数/（兀）仅在兀=0处有极值，求。

的取值范围；

（UI）若对于任意的6/e［-2,2］,不等式/（%）<1在［-1,1］上恒成立，求b的取值范围.

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.满分14分.

（I）解：

f\x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）.

当a=~—时，f\x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-l）（x-2）.

令广（x）=0,解得X.=0,x2=|,x3=2.

当兀变化时，广（兀），/（兀）的变化情况如下表:

X

（-00,0

0

（0*

1

2

（*，2）

2

（2,丹

f

—

0

+

0

—

0

+

/（

极小值

/

极大值

X

极小值

/

所以心在碣），（2冋内是增函数，在（〜°）,（£,2）内是减函数.

（II）解：

广（切=兀（4兀2+3处+4）,显然兀=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.

为使/（兀）仅在x=0处有极值，必须4/+3q+4\0成立，即

QQ

解些不等式，得一一55—・这时，于（0）=方是唯一极值.

QQ

因此满足条件的d的取值范围是•

33

（ID）解：

由条件ag[-2,2],可知△=9/一64<0,从而4F+3q+4〉0恒成立.

当xvO时，/\%）<0；当兀>0时，f\x）>0.

b<-2-a

h<-2+a

因此函数/（兀）在[-1,1]上的最大值是/⑴与/（-I）两者中的较大者.

为使对任意的gw[-2,2],不等式/（x）

，即

1/（一1）51

在f/e[-2,2]±恒成立.

所以/?

<-4,因此满足条件的b的取值范围是（-a）,-4].

4.研究函数的零点和极值点

18.（广东卷7）设awR