1996考研数一真题及解析.docx
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1996考研数一真题及解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)设lim(^-2a)x=8,则a=.
yx_a
⑵设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x—y•2z=8垂直,则此平面方程为
⑶微分方程y"—2y"+2y=ex的通解为.
⑷函数u=1n(x「.._y2—z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为.
Z102、
⑸设A是4汇3矩阵,且A的秩r(A)=2,而B=020,则r(AB)=
L03』
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有-项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)已知(xay)dx2ydy为某函数的全微分,则a等于()
(x+y)
(A)-1(B)0(C)1(D)2
⑵设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=0,lim二上■凶=1,则()
T|x|
(A)f(0)是f(x)的极大值
(B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线ynf(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y二f(x)的拐点
...00"兀九
⑶设an0(n=1,2川I),且7an收敛,常数—(°,一),则级数(T)n(ntan-)a2n
n#2心n
()
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与■有关
X22
⑷设f(x)有连续的导数,f(0)=0,f(0)=0,F(x)(x-t)f(t)dt,且当x—.0
时,F(x)与xk是同阶无穷小,则k等于()
(A)1
(B)2
(C)3(D)4
印
0
0
bi
0
a2
b2
0
(5)四阶行列式
的值等于
()
0
b3
a3
0
b4
0
0
a4
(A)
a1a2a3a^b1b2b3b4
(B)
印&2&3&4+0b2b3b4
(C)
@代—朋2)@3印—bsb4)(D)
@2a3—bzbsXa©—bbO
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)求心形线r=a(1•cost)的全长,其中a•0是常数•
⑵设N=10,Xnq-、6•xn(n=1,2,11I),试证数列1人?
极限存在,并求此极限
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)
(1)计算曲面积分11(2xz)dydzzdxdy,其中S为有向曲面z-x2y2(0_z_1),其
S
法向量与z轴正向的夹角为锐角•
_x—2y-2幷2r-2厂2
设变换一一y,可把方程6二zZ=0化简为-=0,求常数a,其22
u=xay:
x:
xy:
y:
u:
v
中z=z(x,y)有二阶连续的偏导数
五、(本题满分7分)
求级数'—2n的和.
n^(n-1)2
六、(本题满分7分)
设对任意x0,曲线y二f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
1x
if(t)dt,求f(x)的一般表达式.
x0
七、(本题满分8分)
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|^a,|f(X)也b,其中a,b都是非
负常数,c是(0,1)内任一点,证明|f(c)国2ab.
2
八、(本题满分6分)
设A二E-其中E是n阶单位矩阵「是n维非零列向量,“是的转置,证明:
(1)A2二A的充要条件是=1;
(2)当=1时,A是不可逆矩阵.
九、(本题满分8分)
已知二次型f(x1,x2,x3)=5x:
•5x;-ex;-2x1x2-6x1x^6x2x3的秩为2.
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值;
(2)指出方程f(x1,x2,x3^1表示何种二次曲面•
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1囁口2%,现从由A和B的产品分别占60唏口
40%勺一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是.
^-n|的数学期望E(©—□)=.
十一、(本题满分6分.)
设Jn是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知匕的分布律为p{£=i}=丄
3
i=1,2,3,又设X=max(,),丫二min(,).
(2)求随机变量X的数学期望E(X).
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】In2
【解析】这是1:
型未定式求极限•
方法一:
x-a3ax
x2ax3a37xra
lim()=lim
(1)3ax,
x—f:
x-ax—厂x-a
3a—
令=t,则当X—;*:
时,t>0,
x-a
则
-x-a1
3a—-
llm
(1)3a=llm
(1)=e,
即
x+2alim3axlim3a
llm(x空)x=ex詔;=e3a.
由题设有
e3a=8,得aJn8=ln2.
3
方法二:
讪□X
lim
—x—ax■-
由题设有e
3a
⑵【答案】
【解析】
二lim
…1-
X
al
x
x
2aa
limI1--
x
x.、
—(-a)
aa
2a
e3a
a=ee
2x2y_3z=0
方法一:
所求平面过原点O与M0(6,-3,2),其法向量n_
「6-3,2?
;
平面垂直于已知平面4x-y・2z=8,它们的法向量也互相垂直:
n_n0-14,-1,2』;
4-12
取n=2i,2j-3k,则所求的平面方程为2x,2y-3z=0.
方法二:
所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点M0(6,-3,2)的向量
OM0—6,-3,2二另
是平面4x-y・2z=8的法向量n0-\4,-1,2?
)平行的平面,
xyz即6-32=0,即2x+2y-3z=0.
4-12
⑶【答案】ex(qcosxc2sinx1)
【解析】微分方程y-2y:
2y=ex所对应的齐次微分方程的特征方程为
r2—2r+2=0,解之得片,2=1土i.故对应齐次微分方程的解为y=ex(Gcosx+C2sinx).
由于非齐次项e^’a=1不是特征根,设所给非齐次方程的特解为y*(x)=aex,代入y“-2y:
2y二ex得a=1(也不难直接看出y*(x)二ex),故所求通解为
y=ex(C1cosxC2sinx)ex二ex(C1cosxC2sinx1).
【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构:
设y*(x)是二阶线性非齐次方程
/P(x)y:
Q(x)y二f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程
yP(x)y:
Q(x)y=0的通解,则y=Y(x)•y*(x)是非齐次方程的通解.
2二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y(x),可用特征方程法求解:
即y:
P(x)y:
Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为目py'qy=0.其特征方程写为r2pr0,在复数域内解出两个特征根片,r2;
分三种情况:
(1)两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y二Ge*1C2er'x;
(2)两个相等的实数根片=r2,则通解为y=G•C2xe內;
(3)一对共轭复根r!
2=o(±iB,则通解为y=尹(GcosBx+C2sinBx).其中C1,C2为常数.
*
3对于求解二阶线性非齐次方程鸟P(x)y•Q(x)y=f(x)的一个特解y(x),可用待
定系数法,有结论如下:
如果f(x)=Pm(x)e",则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)=xkQm(x)e"
的特解,其中Qm(x)是与P,(x)相同次数的多项式,而k按•不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果f(x)=eqP(x)coseox+Pn(x)sincox],则二阶常系数非齐次线性微分方程
yp(x)y'q(x)y=f(x)的特解可设为
y*=xke"[Rm°(x)cos3x+R9(x)sinmx],
其中Rm)(x)与R?
(x)是m次多项式,m二maxl,n』,而k按■i•(或'■■■■-i-)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
1
⑷【答案】丄
2
【分析】先求方向l的方向余弦和,然后按方向导数的计算公式
excycz
-cos—cos—cos求出方向导数-i:
x內:
z
将函数u=In(x•yz)分别对x,y,z求偏导数得
_1
~2
⑸【答案】
-1
【相关知识点】r(AB)空min(r(A),r(B)).若A可逆,则
r(AB)^r(B)=r(EB)=r[A‘(AB)]乞r(AB).
从而r(AB)二r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】由于存在函数u(x,y),使得du=(xay)dxydy-,
(x+y)2(x+y)2
由可微与可偏导的关系,知
6u_x+ay旬_y
衣(xy)2为(xy)2
分别对y,x求偏导数,得
22
ua(xy)-(xay)2(xy)(a_2)x_ay.x.y
c2u
_2_2
由于
:
y:
x
'-与'u连续,所以
jx:
yyx.xy
(a-2)x-ay-2y_a_2
33_■a_2,
(xy)(xy)
f(x)
百=10,所以由函数极限的局部保号性
可知,在x=0的空心领域内有
f(x)
0,即f(X)0,所以f(x)为单调递增.
|x|
又由f(0)=0,f(x)在x=0由负变正,由极值的第一充分条件,x=0是f(x)的极小值点,即f(0)是f(x)的极小值.应选(B).
【相关知识点】极限的局部保号性:
设limf(x)=A.若A0(或A:
:
:
0)=―0,当
x沁
0vx—x()v6时,f(x)>0(或f(x)c0).
⑶【答案】(A)
□0QQ
【解析】若正项级数'Jan收敛,则7a2n也收敛,且当n=时,有
n占nT
n
用比较判别法的极限形式,有
ntana2n
limn0.
i:
a2n
oO
因为va2n收敛,所以
n:
d
【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式:
qQoQ
设Jun和Jvn都是正项级数,且lim上二A,则n丄n2n"_un
oCoC
(1)当0叮A时,7Un和7Vn同时收敛或同时发散;
n卫n卫
qQqQOOqQ
⑵当A=0时,若vun收敛,则vvn收敛;若vvn发散,则aun发散;
ngn=4nJnJ
□0oooaco
(3)当A=:
:
时,若vvn收敛,则un收敛;若un发散,则vn发散.
ngngn-1nJ
⑷【答案】(C)
【解析】用洛必达法则•
2xx2
由题可知F(x)=X20f(t)dt-°t2f(t)dt,
对该积分上限函数求导数,得
X22X
F"(x)=2x0f(t)dt+xf(x)-xf(x)=2xJ0f(t)dt,
xx
2xf(t)dt2f(t)dt
00
k—xmik=丨叫
xXTxXTx
若F(x)2f(x)”
有limklimk,=f(0)=0,
XTxk—(k—1)(k—2)x
故应选(C).
【相关知识点】设在同一个极限过程中,:
-(X),■-(X)为无穷小且存在极限lim厶区二l,
B(x)
(1)若l=0,称〉(x),-(x)在该极限过程中为同阶无穷小;
(2)若l=1,称〉(X),-(X)在该极限过程中为等价无穷小,记为〉(X)U■-(X);
(3)若l=0,称在该极限过程中〉(x)是■-(X)的高阶无穷小,记为〉(x)=o-(X).
若lim(X)不存在(不为:
:
),称〉(x),F:
(x)不可比较.B(x)
(5)【答案】(D)
【解析】可直接展开计算
a2
b2
0
0
a2
b2
D=a1
b3
a3
0
_b1
0
b3
a3
0
0
a4
b4
0
0
所以选(D).
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得
ds=r2(v)r2⑺dv-a(1cost)2sin2dv
=a〈2(1+cos^)dB=2acos*d日.
由于r=r(r)二a(1•cost)以2二为周期,因而二的范围是▼[0,2二].
又由于r(n)二r(-打,心形线关于极轴对称.由对称性,
KK6「日严
s=2ds=4acos—d=8asin8a•0'02_20
(2)【解析】用单调有界准则•
由题设显然有x,0,数列、x?
有下界.
证明人单调减:
用归纳法.x2=用6-石=6-10=4:
:
:
为;设xn:
:
:
人」,则
xn6xn:
:
:
6'xn4=xn.
由此,Xn单调减.由单调有界准则,n|jmXn存在.
设rl^Xn=a,(a去0),在恒等式xn41=丁6+召两边取极限,即
lim-xnj=lim—.、、6xn=a=.6a,
n」:
.nj:
:
'
解之得a=3(a二-2舍去).
【相关知识点】1.单调有界准则:
单调有界数列必有极限
2•收敛数列的保号性推论:
如果数列:
人?
从某项起有焉_0(或人乞0),且limxn=a,那
n_ac
么a_0(或a^O).
(1)
【分析一】见下图所示,S在xOy平面与yOz平面上的投影均易求出,分别为
Dxy
xOy平面上.求11(2x■z)dydz时,若投影到xOy平面上,被积函
S
=2x乙Q(x,y,z)=0,R(x,y,z)二z,则|二PdydzRdxdy.
S
这里,2•1=3,若用高斯公式求曲面积分I,则较简单.因S不是封闭曲
;:
x訶:
z
面,故要添加辅助曲面.
【解析】方法一:
均投影到平面xOy上,则
I=(2xz)dydzzdxdy二[(2xz)(--^)(x2y2)]dxdy,
SDEx
xy
其中z=X2y2,Dxy:
x2y2^1.
把—-2x代入,得
:
x
I=-4x2dxdyii2x(x2y2)dxdy亠11(x2y2)dxdy,
DxyDxyDxy
由对称性得
22222
112x(xy)dxdy=0,114xdxdy=2!
!
(xy)dxdy,
DxyDxyDxy
xy
利用极坐标变换有
13
^-.0djrdr「2二
方法二:
分别投影到yOz平面与xOy平面.
投影到yOz平面时S要分为前半部分S|:
x=,z-y2与后半部分Six--z-y2
X
(2
-c/Y
-
z)dydz亠11(2xz)dydz亠11zdxdy.
S2S
由题设,对S法向量与x轴成钝角,而对s>法向量与x轴成锐角•将I化成二重积分得
I--(2,z-y2z)dydz亠,(_2、、z_y2z)dydz亠11(x2y2)dxdy
Dxy
DyzDyz
--411...z-y2dydz亠11(x2y2)dxdy.
DyzDxy
=40(1-y2)2dyy^sint£02cos4tdt
43
=
34224
〕〕Jz_y2ydz=J;dzQjz_y2dy=
Dyz_z
(这里1\'z-ydy是半径为z的圆面积的一半.)
oo3T
ii(x2y2)dxdy(同方法一).
Dxy2
因此,
JIJE31
I_-4——■—=一一.
422
方法三:
添加辅助面S:
z=1(x2+y2兰1),法方向朝下
!
!
(2xz)dydzzdxdy=dxdy=-1dxdy--二,S'S/
其中D是$在平面xy的投影区域:
x2y2<1.
22
S与S即z=x+y与z=1围成区域0,S与S的法向量指向0内部,所以在0上
满足高斯公式的条件,所以
11(2xz)dydzzdxdy二-3iiidV
S.S1I.1
11
=一3[dz口dxdy=—3(0兀zdz=
D(z)
其中,D(z)是圆域:
x2y2_z,面积为二z.
33
因此,I(2xz)dydzzdxdy(理)二
Si
c2z
22
-2宀2厂2
代入6二ZZ^0,并整理得
:
议:
:
x:
:
y讨
22222
■
ZZyZZ2、JZ
622=(1°5a)(6a-a)2=。
・
.x;x:
y:
yju:
v:
v
于是,令6■a—a0得a=3或a--2.
z
a=-2时,105a=0,故舍去,a=3时,10•5a严0,因此仅当a=3时化简为—0.
(5u£v
【相关知识点】多元复合函数求导法则:
若u=u(x,y)和v=v(x,y)在点(x,y)处偏导数存
在,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=-f[u(x,y),v(x,y)]在
点(x,y)处的偏导数存在,且
:
z
.x
:
f:
u:
f:
v
.:
u:
x
:
v.x
:
Z:
f:
u:
f:
v
=r
L\.L\L\
:
y.u.y.v.y
五、(本题满分7分)
【解析】
先将级数分解
oO
A2n
心(n2-1)2n
二1
一
2n十
1
n-1
1
n=22n-1
二1
、—
n-1
n:
22
n1
‘'1:
:
1
=H—一-Z
nd2nn^2n
001
A1n~2
nT2n
A=A_A.
由熟知
ln(1-x)幕级数展开式,即|n(1x)
(-1:
:
XE1),得
丄1门(1_丄)=丄1n2,
424
_-(」)n
n
n£2nn仝n2
因此,
=-z
^「『冷今2一心11
n=1
一丄ln2」,
288
A=A|-A2
Iln2.
84
六、(本题满分7分)
【解析】曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线方程为
Y-f(x)=f(x)(X-x).
令X=0得y轴上的截距Y二f(x)-f(x)x.由题意,
1x
x.0f(t)dt=f(x)-f(X)x.
为消去积分,两边乘以x,得0f(t)dt二xf(x)-f(x)x2,
(*)
将恒等式两边对x求导,得
f(x)二f(x)xf(x)-2xf(X)-X2f(x),
xf(x)f(x)=0.
在(*)式中令x=0得0=0自然成立.故不必再加附加条件.就是说
f(x)是微分方程
xyy=0的通解•下面求解微分方程xyy=0.
方法一:
xyy=0二xy=0=xy=C「
因为x0,所以yJC1
两边积分得y二f(x)=GInx•C2•
方法二:
令y=P(x),则y解xP:
P=0得rC1
x
再积分得y=f(x)=GInx•C2•
七、(本题满分8分)
【解析】由于问题涉及到f,f与「的关系,自然应当利用泰勒公式
而且应在点c展开:
f"心2
f(x)二f(c)f(x)(x-c)(x-c)2,在c与x之间•
2!
分别取x=0,1得
f'7it)2
f(0Hf(c)f(c)(0-c)0(0-c),0在c与0之间,2!
f牡1)2疋
f
(1)=f(c)+「(c)(1—c)+(1—6,匕在c与1之间,
1
两式相减得f
(1)-f(0)=f(c)[f
(1)(1-C)2-f(0)c2],
2!
于是f(c)=f
(1)-f(0)-£[f
(1)(1-c)2-f(°)c2].
2!
1212
由此|「©中
(1)+|口0)+刁|「@1)(1—0+-|f'^0)c
122b
岂2ab[(1-c)c]:
:
2a
22
八、(本题满分6分)
【解析】⑴因为T,T为数J"为n阶矩阵,所以
A2=(E_t)(e_t)=e_2T.(T)T=e_(2_T)T,
因此,A2=A=E_(2_T)T二E_T=(T1)T=0
因为•是非零列向量,所以」T=0,故A2二A=T-1=0,即^1.
⑵反证法•当'T=
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- 1996 考研 数一真题 解析