考研数学一数学301试题真题及答案解析.docx

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考研数学一数学301试题真题及答案解析

绝密☆启用前

2020年全国硕士研究生入学统一考试

数学

（一）试题及答案解析

（科目代码：

301）

考生注意爭项

1.答题前，考生须在试題册指定位置上填⅛*⅛⅛Λ和考生编号：

在答题卡指定位豈上填写报考单位、考生⅛X¼考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条形码粘贴位置"框中。

不按规定粘貼条形码而影响试卷结果的，责任由考生自负。

3.

选择題的答案必须涂写在暮题卡相应题号的选项上，非选择題的答案必须朽写在答題纸指定位置的边框区域内。

超出答題区域写的答案无效：

在草稿纸、

5.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

（以下信息考生必须认真填写）

考生编号

考生姓名

一、选择题：

（1・8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）

1.Λ-→O+Ibb下列无穷小屋瑕高阶是（>

A.£（e,-∖）dt

B.£ln（1+TFJt）

D.L品皿

JO

2.设函数/⑴在区间（∙1,1）内有定义∙Klim/（x）=0,则<>

x→0

A.

黑=0,/（Λ∙）在X=O可导.

VX2

当lim⅛^=0,/（x）在x=04导.

B.当Iim

x→O

C.当/（x）在.V=O处可导时，I叫簫=0.

・7∣（0.0）

A.

IimIyjg））LO存在

（χ.y）→（0.0）∣χ2*『2

C.

D.

Iim（严/3））LO存在

（x.r）→

Iim宀（冒"Z））LO存在

（Xty）→（0.0）JX2+#2

4.设人为幕级数Xa2ltx2,t的收敛半径，厂是实数，则（〉

JF=I

A.Jt∕2nx2rt发散时，H≥R

B.∑c∣2nx2n发散时，p∣≤R

C.∣r∣≥∕?

Ibb£旳”卫"发散

rt≡l

D.∣r∣≤^U'h£吆“"发散

rt=l

5.若矩阵A经初等列变换化成B,贝Ij（）

A.心在矩阵P,使WPA=Ii

B.存在矩阵P,使WBP=A

C.白：

在矩阵P,使得PB=A

D.力程组AX=0⅛Λv=0同解

6.己知直线LJd=i=二与貫线a,xξ=J2A=£z£i相交于•点,

Glb∖c∖“2方2°2

法向*Ol=bi,/=1,23则<〉

ς.

A.q可由吆坷线性表示

B-血可由。

1，。

3线性表示

C."j∣J山Cda2线性表示

D∙ai^a29ai线无关

7.设AtB,C为三个随机事件，R∕,（J）=P（^）=f∖C）=PP（An）=0.P（AC）=P（BC）

则儿〃C中恰仃-个事件发生的概來为（）

A.

3

D.—

&设Λ1,x2,∙∙∙,xrt为来口总体X的简％随机样本，其中P（X=O）=P（X=1）=∣.Φ（x）

农示标准正态分布函数，则利用屮心极限定理可X^≤55J的近似值为（〉

A.1-Φ（I）

B.Φ（l）

C.l-Φ（0.2）

D.Φ（0.2）

E.

上〉

11∙若函数f（x）满足fr（x）+CtfxX）+/（x）=0（α>0）,JL/（O）=m.ff（0）=H,则

£J∖x}dx=.

αO-11

13衍列式°八：

L

-11ClO

I-Ioal

14.设.Y服从区f∣d[~^∣上的均匀分布，K=Sin.V,则COV（X.Y）=

三、简答题（15∙23小题，共9J分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（木题满分10分）

求函数J∖χ.y）=χ^-χy的极値・

16.（本题满分10分）

计算曲线枳分∕=[-⅛Ξ2Le∕γ+2L±2L^.其中，z⅛√+∕=2,方向为逆时针力Jl4x"+y4x*+y

向.

17.（本题满分IO分）

设数列｛an｝满足绚=L（"十1）陥产⑺十丄al,）,证明:

当卜|V1时解级数^JCInXH收敛,2El

并求其和函数・

18.（本题满分10分）

设工为IlhIfUZ√x2+y2（∣x2+√∣≤4）的下侧,/⑴是连续函数，汁畀

一y∖jydz+[y∕（xy）+2y+x∖jzcix+[2/（Xy）+2∣cZx7∆,.

19.（本题滿分10分）

设函数/⑴在区间[θ.2]∣∣√∣连续导数，/（0）=∕

（2）=0,^=max∣∕（.r）∣},证明

<2）若对任意的X€（0,2）.∖f∖x^≤M,则M=O

20.

（本題满分Il分）

设二次型/（ΛBMX2）=X↑+4x1λ∙2+4^2经止交变换

X（JPJ,2）=^yl+4y,y,+hy；,其中a≥b

（1）求"丄的伉：

〈2〉求止Tl∣η√λ

21・（本题満分Il分）

设4为2阶矩旳・P=（a,Aa）,«■>!

'«向駁IL不是4的转征向虽

<1）证明P为可逆矩阵

<2>^A2a+Aa-6a=09求P"'AP,并判断/1是否相似于对角矩阵。

22.（本题满分11分）

设随机变^Xi.X2,XiM互独立，其中乙与兀旳服从止态分布.K的槪率分布为

P{X3=θ}=P{X3=l}=-»Y=XyXX+（I-X3）X2-

<0求二维随机变¾（.γ1.n的分布函数.结果用标准正态分布函数a）（n表示

<2>证明随机变量）服从标准止态分布

23.（本題满分Il分）

[-（£）・

设某原件的使用寿命7、的分布函数为尸⑴=ι-e"∙z≥0,K屮久加为参数axτ⅛I0,其他

⑴求槪率/,{r>∕}IJ/,{r>x+∕∣7>s}.其中s>o,/>0

（2〉任取n个这种原件做妤命试验，测得他们的好命分别为∕1J2√∙∙.∕,z,若加己知，求O

的瑕人似然佔汁0

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学

（一）试题答案

1.【答案】D

【解析】选项A,（∫θ（∕-l）√∕）r≈/-l~χ2（χ→Ot）选项B,（∫θIn（I+√F√∕））f=In（I÷y[7）~x7（.v→0+）选项C,（∫mτsinr<∕∕）r=Sin（Sin?

X）COSX-x2（x→0+）

选项D,（（EJSin'IdlY=JSinYI-CoSx）SinX~cr4（xτOJ故选D.

2.【答案】C

【解析】选项A,反例/（x）=∣x∣

0.x<0

选项B,反例f（x）=■1,.V=O

0,,r>O

选项D,反例f（χ）=X2

3.【答案】A

【解析】因为/（*,y）=（0,0）可微

Iimr→0ι→0

力∙（χj,/（X^y））=X∙ffx-y∙fy-/（χ,y）

Iim

r→0v→0

则n[）il∕IB=Ct3-a2,Π,^A/^aI和α,J⅛,所以町宙5和a?

线性农示.

从∖hia3-a2可由5和α?

线件农示•即匕可由5和6线性衣示•应选U

7.【答案】D

【解析】/∖∕iBC）+P（AliC）+P（ABc'）

=P（MUC）+P（BA∖JC）+1∖CA∖JB）

=P（A）-P（A（B∪C））+P（B）-P（B（AUC））+P（C）-P（C（AuB））

=P（A）-l∖AHUAC）+P（B）-l,（ABUBC）+P（C）-P（ACUBC）

=P（A）一P（AB）-P（MC）+P（B）-P（ZlB）-P（BC）+P（C）-PiAc）一P（BC）

诂故"

8.【答案】D

【解析】EX=Q-丄+1丄二丄工屮二丄.DX=L

22224

IOO100

Xj=IOO=50,D（^XZ）=IOOmr=25ι=l

100

》匕-50

所以/V（OJ）

9•【答案】一1・

【解析】Iim

τ→O

10.【答系】-伍.

∫fJ（X）dx=∫∖-f∖x）-af,（x））c!

x=（-/V））『-（0（X））F

=-∕,（+oc）+∕,（O）-^∕（-κx>）+Clf（O）

又山特征力•程为r2+0=1求得特征根为r12=-巴4又么>O

从而/（X）的通解仃三种形式：

/（x）=ClerlX+c∙2“：

/（X）=（C]+CIX^enf-f（χ）=Cπr（c1COS/?

r+c2sinβx）

无论哪种通解、总冇/（+co）=0J（+∞）=O

∫

f<Λ

f（x）ihc=/7+Um

【解析】

12•【答案】4e

-^=dιι

-Jux

JC=-I,v⅛

阿4√67•2

½l<,.

13.【答案】α4-4α2

9

14•【答案】二

π

一二（XCOSX—SillX）π

所以CoV（X.Y）=CoV（X,sinX）=E（X∙sinX）-E（X）E（SinX）=≡

^=3x->=O,

∂x

=24/-X=O5Idy

（^y）

∂x2

B=W

Oxdy

C=江

AC-If

极值

（0.0）

0

-1

0

<0

无

1

-1

4

>0

极小

故/⑴在βΛl处取得极小值II极小≡∕f-,-!

-1=--4-

\612）\612丿216

16.【解析】补线Ll：

4.r+j∙2=r,（r>ORr适当小）取逆时针.

令P（YJ）=豎_丁,0（XJ）=2’则

4∙γ-+）厂4λt+Jr

CO_∂P_-4x2÷y2-8,ry

X^y

∂x即（4λj+V2）2

从而心©羊LZv+二τ∕,+44⅛v+⅛Lτt6.

∂O

∂x

莎丿

Jι.-Li4χ2+jγAx2+y2J/.4x2+/4x2+y2

IlXCly+1创（4.r-y）dx+（X+y）c∕y

=M2

=O+-ζ∙j∫2d⅛G'=—∙π∙-∙r=π.rDIr

17.【解析】即证

H=I

的收敛半径R=∖.

由于Iim

x→∞

当IXlVl时,记S（X）=Wd则

W=I

S3=£nurtx,,~'=∑（w+1>∕π41xλ=1+∑（w+如”工"

∕f=irr=Oλ=1厶

811

=1+Hazrxz,"1+-S（X）=1+xS'（x）+-S（X）

∕>=∣22

所以（X-I）SΛ-v）÷y.S,（x）+1=0.

即5r（x）+

I-X

A—!

—c∆

所以S（X）=CJ2（X-I）

2

=（I-X）亍[J』一XdX+（']=（1一x）2（2>jl-x+C）=

JI-X

又S,（x）=al=],所以C=2,所以S（X）=-J==^218∙【解析】该题/（x）仅为连续函数，不可用高斯公式.∙.∙JSCOSa=dydz.JSCOSβ=d:

CIX,（ISCOSγ=dxdy,

>JCOStZ,,,7cos/?

.7

/.dydz=OXay.axaz=axay

COSβWCOSγ

其中COSα,cosβ,COS/⅛∑上法向量n的方向向ft.

X_r_1

J<÷v2,√v2+r,>

CfydZ=Idxdy.dxdz=∣∙Ydxcfv

yjx2+y2yjx2^y2

∑:

Z=√χx+y∖n=[、

-X

M∖xy）+2x-y]

-J==j+∣J.∙∕W）+2v+X]

=∫∫

y

-Xif（Xy）-2x2+xy-y2f（xy）-2y2-Xy

卜ς∕（-V）÷2dxdy

X+y

=JJ[~>∕-v2÷y/（λ>）-2√,r2+yr+

5∕v2÷>,2∕（.r>,）÷、2+J√dxdy

14—Tt

3

∫∫Γ-√x2÷/dxdy=∫∫√r2+y2d∖√F=∫u力必OPdP=VL」C—

19.【解析】

（1）若Af=O.则在[0.2]±/（x）≡0.所以∀ςe（0,2）,行I/'（§）∣=O≥O=Af成立.

若M>0.则a3c∈（0.2）使J（C）=M

山拉格朗口中值定理刁①∈（0,c）与3ξ2∈（c,2）,使

WUl^l）I=-,ιr（⅞2）∣=

若CW（（M],则可取M「有If∖ξ）I=—≥A/

C

若c∈（1.2）.则可取ξ=ξ2,有If∖ξ）I=-^-≥λ∕

2-c

综上所示工w（0,2）.使If∖ξ）∖>M,

（1一2\（a2）

20.设A=[_24J^=[2J，山題，存在正交矩阵0・使得（//©=〃，即力与〃

[1/11=∖β∖Iab-4=0

合同，且力与〃相似，故｛∣111,从而<δ

[tr（A）≈lr（B）∖a+b=s

X∣∣∣^Fdr≥ΔF所以a=4J）=l

4^^=Λ（Λ-5）=0,f⅛x1=O,λ2=5

当入=0时，求解O,J⅛α1=（2J）r:

当λ2=5时,求解（4-5E）Ar=0,得02=（72/

（0

21

所以存在正交阵A=

√5v5

]2_

当A=O时,求解BX=Q,⅛A=（-L2∕;

当yj2=5M>求解（B-5E）X=0,^a2=（2J）7.

所以存在止交阵厶=

√5

9

l⅞

2、

f,使得用肿2=

（0

从而^APl≈

<0

5

=P；BP^,P2PlrAPlPj=B9所以Q=PH=

（4

~5

3

<5

3>

5

4

5）

O6、

I-1/,又因为P可逆，所以严〃彳:

-ΛE∣=O,所以，Γ÷2-6=0

21.

（1）因为。

是非O向量,R不是力的特征向量，

所以Aa≠λa,2为任意实数，

所以，P≈（a.Aa）的2列向t不成比例所以a、Aa⅛性无关,从而R（P）=2,所以尸可逆.

<2）由于Ap=A（a,Aa）=（Aa^A2a）=（Aayea-Aa）

fo6）所以，AP≈:

1T丿

/0所以，^=I

从而入=一3,A2=2

所以B的两个特征向竝互不相同，从而〃可对角化

又/与B相似,所以彳可对角化.

22.答案:

<1）

F（x9y）=P（Xl≤x9X3X1+（I-X3）X2≤j）

=P（XI≤x,X3=O.X2≤y）+P（XI≤x.Xi=I,Zrl≤y）

=P（XdXJP（X3=0）P（X2≤∕）+P（X3=lW∣≤xi9Xι≤y）=^-Φ（x）Φ（y）+^-Φ（min（x.y））

（2）令Y得分布曲数F（y）,对于y≡R

F（y）=P（Y≤y）=P（XiXI+（1-X3）X2≤y）

=P（X3=0.%2≤j）+P（X3=1,X1≤y）

=P（X3=O）P（X2≤>∙）+∕,（-V3=I）P（Xl≤J）

=丄P（X2≤y）+—∕,（-Vl≤>0=—Φ（jO+ς-Φ（y）=Φ（y）

一—

因此r服从标准正态分布

令T的密度函数为/⑴，则/（∕）=∏∕）=E

0t

n∕w^,I十

M）嗚）”扩一尸/

InL∖Θ}=/7Inm-n∖nθ+∖n]-[∕f^,-ZJ（W-I）In<9——0』；

f≈l&1-1

唤―〃O

yr-mnθnfr

Hn（m-∖）βZf幺

0腐・|0gι∙∣

—+{zf（xy）+z∖cixdv

2+V2丿