第六章不等式65.docx
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第六章不等式65
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:
如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:
如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x| (-a,a) ∅ ∅ |x|>a (-∞,-a)∪ (a,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c; (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|x+2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离.( × ) (2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<-a}.( × ) (3)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0.( √ ) (4)若ab<0,则|a+b|<|a-b|.( √ ) (5)对一切x∈R,不等式|x-a|+|x-b|>|a-b|成立.( × ) 1.(2015·山东)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ) A.(-∞,4)B.(-∞,1) C.(1,4)D.(1,5) 答案 A 解析 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2, ∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1. ②当1 ∴x<4,∴1 ③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立. 综上,原不等式的解集为(-∞,4). 2.不等式|x+1|-|x-2|>k的解集为R,则实数k的取值范围为( ) A.(3,+∞)B.(-∞,-3) C.(-∞,-1)D.(-∞,0) 答案 B 解析 根据绝对值的几何意义,设数x,-1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B,则原不等式等价于|PA|-|PB|>k恒成立.∵|AB|=3,即|x+1|-|x-2|≥-3. 故当k<-3时,原不等式恒成立. 3.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是( ) A.[2,4]B.[1,2] C.[-2,4]D.[-4,-2] 答案 C 解析 ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|, 要使|x-a|+|x-1|≤3有解, 可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4. 4.(2015·重庆)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=________. 答案 4或-6 解析 由于f(x)=|x+1|+2|x-a|, 当a>-1时, f(x)= 作出f(x)的大致图象如图所示,由函数f(x)的图象可知f(a)=5,即a+1=5,∴a=4. 同理,当a≤-1时,-a-1=5,∴a=-6. 5.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是______. 答案 [-1, ] 解析 设y=|2x-1|+|x+2| = 当x<-2时,y=-3x-1>5; 当-2≤x< 时,5≥y=-x+3> ;当x≥ 时,y=3x+1≥ ,故函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值为 .因为不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立,所以 ≥a2+ a+2.解不等式 ≥a2+ a+2,得-1≤a≤ ,故a的取值范围为[-1, ]. 题型一 绝对值不等式的解法 例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 解 (1)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为 . (2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B(2a+1,0),C(a,a+1), △ABC的面积为 (a+1)2. 由题设得 (a+1)2>6,故a>2. 所以a的取值范围为(2,+∞). 思维升华 解绝对值不等式的基本方法有: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解. (1)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为________. (2)设不等式|x-2| ∈A, ∉A,则a=________. 答案 (1){x|x≤-3或x≥2} (2)1 解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号,需要对x与-2和1进行大小比较,-2和1可以把数轴分成三部分.当x<-2时,不等式等价于-(x-1)-(x+2)≥5,解得x≤-3;当-2≤x<1时,不等式等价于-(x-1)+(x+2)≥5,即3≥5,无解;当x≥1时,不等式等价于x-1+x+2≥5,解得x≥2.综上,不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}. 方法二 |x-1|+|x+2|表示数轴上的点x到点1和点-2的距离的和,如图所示,数轴上到点1和点-2的距离的和为5的点有-3和2,故满足不等式|x-1|+|x+2|≥5的x的取值为x≤-3或x≥2,所以不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}. (2)∵ ∈A,且 ∉A, ∴| -2| -2|≥a,解得 , 又∵a∈N*,∴a=1. 题型二 利用绝对值不等式求最值 例2 (1)对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4 (2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________. 答案 (1)C (2)5 解析 (1)∵x,y∈R, ∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1, |y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3. ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3. (2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5. 思维升华 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: (1)利用绝对值的几何意义; (2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥|a|-|b|;(3)利用零点分区间法. (1)关于x的不等式|2014-x|+|2015-x|≤d有解时,d的取值范围是________. (2)不等式|x+ |≥|a-2|+siny对一切非零实数x,y均成立,则实数a的取值范围为________. 答案 (1)[1,+∞) (2)[1,3] 解析 (1)∵|2014-x|+|2015-x|≥|2014-x-2015+x|=1, ∴关于x的不等式|2014-x|+|2015-x|≤d有解时,d≥1. (2)∵x+ ∈(-∞,-2]∪[2,+∞), ∴|x+ |∈[2,+∞),其最小值为2. 又∵siny的最大值为1, 故不等式|x+ |≥|a-2|+siny恒成立时, 有|a-2|≤1,解得a∈[1,3]. 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3 设函数f(x)=|x-3|-|x+1|,x∈R. (1)解不等式f(x)<-1; (2)设函数g(x)=|x+a|-4,且g(x)≤f(x)在x∈[-2,2]上恒成立,求实数a的取值范围. 解 (1)∵函数f(x)=|x-3|-|x+1| = 故由不等式f(x)<-1可得x>3或 解得x> . (2)函数g(x)≤f(x)在x∈[-2,2]上恒成立, 即|x+a|-4≤|x-3|-|x+1|在x∈[-2,2]上恒成立, 在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象,如图所示. 故当x∈[-2,2]时,若0≤-a≤4时,则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方,g(x)≤f(x)在x∈[-2,2]上恒成立, 求得-4≤a≤0,故所求的实数a的取值范围为[-4,0]. 思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决. (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 解 (1)当a=-3时,f(x)= 当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2 当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[-3,0]. 24.绝对值不等式的解法 典例 不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为____________________________________________ ____________________________. 思维点拨 本题不等式为|x-a|+|x-b|≥c型不等式,解此类不等式有三种方法: 几何法、分区间(分类)讨论法和图象法. 解析 方法一 如图所示,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1,到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x. ∴-1-x+1-x=3,得x=- . 同理设B点右侧有一点B1到A,B两点距离之和为3,B1对应数轴上的x,∴x-1+x-(-1)=3.∴x= . 从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都大于3;点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3. 所以原不等式的解集是 ∪ . 方法二 当x≤-1时,原不等式可化为 -(x+1)-(x-1)≥3,解得: x≤- . 当-1 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解. 当x≥1时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3.所以x≥ . 综上,可知原不等式的解集为 . 方法三 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3, 即y= 作出函数的图象,如图所示: 函数的零点是- , . 从图象可知,当x≤- 或x≥ 时,y≥0, 即|x+1|+|x-1|-3≥0. 所以原不等式的解集为 ∪ . 答案 ∪ 温馨提醒 这三种方法是解|x+a|+|x+b|≥c型不等式常用的方法,方法一中关键是找到特殊点,方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则,方法三则要准确画出函数图象,并准确找出零点. 1.绝对值不等式的三种常用解法: 零点分段法,数形结合法,构造函数法. 2.可以利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求函数最值,要注意其中等号成立的条件. 3.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. A组 专项基础训练 (时间: 30分钟) 1.不等式|2x-1|<3的解集是( ) A.(1,2)B.(-1,2) C.(-2,-1)D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 答案 B 解析 |2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1 2.不等式|2x-1|-|x-2|<0的解集是( ) A.{x|-1 C.{x|x>1}D.{x|x<-1或x>1} 答案 A 解析 方法一 原不等式即为|2x-1|<|x-2|, ∴4x2-4x+1 ∴3x2<3,∴-1 方法二 原不等式等价于不等式组 ① 或② 或③ 不等式组①无解,由②得 . 综上得-1 3.函数y=|x-1|+|x+3|的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析 y=|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4, 当且仅当(1-x)(x+3)≥0,即-3≤x≤1时取“=”. ∴当-3≤x≤1时,函数y=|x-1|+|x+3|取得最小值为4. 4.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1(x∈R)的解集是( ) A.(0,4)B.[0,2] C.[0,4]D.(-2,2) 答案 C 解析 由||x-2|-1|≤1,得-1≤|x-2|-1≤1, 即0≤|x-2|≤2,∴-2≤x-2≤2,∴0≤x≤4. 5.若不等式|x+1|+|x-2| 答案 (-∞,3]
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