直线和圆的方程知识点.docx
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直线和圆的方程知识点
直线和圆的方程知识点
直线和圆--知识总结
'、直线的方程
L
a
0W:
V,
若l//x轴或与x轴重合时,
=00。
2、斜率:
k=tan=0:
=■-=0
已知
占
八\、
:
与'的关系:
(Xi,yi)
0VJV—二k0
2
x2,y2
:
=不存在
2
已知
方程
说明
4、直线方程的几种形式
几种特殊位置的直线
斜截式
K、b
Y=kx+b
不含y轴和行平于y轴的直线
占
八\、
斜式
Pi=(
xi,yi)
k
y-yi=k(x-xi)
不含y轴和平行于y轴的直线
两
占
八\、
式
Pl(Xl,yi)
P2(X2
y2)
y—yix—Xi
—yX2—Xi
不含坐标辆和平行于坐标轴的直线
截
距
式
a、b
x+y=1ab
不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线
般
Ax+by+c=0
A、B不
同时为0
①x轴:
y=0
②y轴:
x=0
③平行于x轴:
y=b
4平行于y轴:
x=a
5过原点:
y=kx
式
两个重要结论:
①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。
②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系:
(1)共点直线系方程:
po(Xo,yo)为定值,k为参数y-yo=k(x-xo)
特别:
y=kx+b,表示过(0、b)的直线系(不含y轴)
(2)平行直线系:
①y=kx+b,k为定值,b为参数。
2AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系
3BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系
(3)过Li,L2交点的直线系Aix+Biy+Ci+入(A2X+B2Y+C2)=0(不含L2)
6、三点共线的判定:
①ABBC=AC,②KAB=KBC,
③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系
1、
L1:
L1:
L1与L2组成
y=k1X+b1
A1X+B1Y+
的方程组
L2:
C1=0
y=k2x+b2
L2:
A2X+B2Y+
C2=0
平行
Ki=k2且bi
半b2
A1B1C1
—~r~
a2b2C2
无解
重合
—
Ki=k2且bi=b2
A1B1C1
A2B2C2
有无数多解
相交
Ki工k2
A1B1
——丰一
A2B2
有唯一解
垂直
Ki・k2=-1
AiA2+BiB2=0
(说明:
当直线平行于坐标轴时,要单独考虑)
4、点到直线距离:
|AXq+By。
中cd=_』
PA2+B2
(已知点(po(xo,yo),L:
2、Li到L2的角为0,则怡》占先(心」1)
AX+BY+C=0)
①两行平线间距离:
Li=AX+BY+C1=0L2:
AX+BY+C2=0二d=斗虫
护2+b2
②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为
Ax+By+C±d...a2b2=o
③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相
AXBY
C1C2
2
=0
等的直线方程是
5、对称:
(1)点关于点对称:
p(xi,yi)关于M(Xo,yo)的对称P(2X。
-Xi,2Y。
_Yi)
(2)点关于线的对称:
设p(a、b)
对称轴
对称点p,
对称轴
对称点p^
X轴
p"(a、_b)
Y=-x
P(一b、一a)
Y轴
p\-a、b)
X=m(m丰
o)
p"(2m-a、b)
y=x
P\b、a)
y=n(nMo)
p"(a、2n-b)
一般方法:
如图:
(思路1)设P点关于L的对称点为Po(xo,yo)
则Kppo*Kl=—1
P,Po中点满足L方程解出Po(xo,yo)
(思路2)写出过P丄L的垂线方程,先求垂足,然后用中点坐标公式求出Po(xo,yo)的坐标。
Po
(3)直线关于点对称
L:
AX+BY+C=O关于点P(Xo、Yo)的对称直线i:
A
(2Xo-X)+B(2Yo-Y)+C=0
(4)直线关于直线对称
①几种特殊位置的对称:
已知曲线
关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0是f(y、x)=0
关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0
是f(-y、-x)=0
关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0
是f(2a-x、y)=0
是f(x、2b-y)=0
f(x、y)=0
关于y=x对称曲线
关于y=-x对称曲线
关于x=a对称曲线
关于y=b对称曲线
亠般位置的对称、结合平几知识找出相关特征,逐步求
三、简单的线性规划
不等式表
示的区域
AX+BY+C=0
约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划,可行解,最优解。
要点:
①作图必须准确(建议稍画大一点)。
②线性约束条件必须考虑完整。
③先找可行域再找最优解。
四、园的方程
1、园的方程:
①标准方程xd(y—b)訂2,C(a、b)为
园心,r为半径
HD2+E2-4Fr
2
当D2e2—4f=0时,表示一个点。
当D2E2—4「:
0时,不表示任何图形。
x=arco^s
,为参数
B(X2,丫2)为直径的两端点的园的方
2、点与园的位置关系:
考察点到园心距离d,然后与r
比较大小
3、直线和园的位置关系:
相交、相切、相离
判定:
①联立方程组,消去一个未知量,得到一个一元二次方程:
△>0=相交、△=0二相切、△<0二相离
②利用园心c(a、b)到直线AX+BY+C=0的距离d来确
疋:
dvr=相交、d=r-相切d>r-相离
(直线与园相交,注意半径、弦心距、半弦长所组成的
kt△)
4、园的切线:
(1)过园上一点的切线方程
与园x2y2=r2相切于点(XI、yi)的切线方程是XiXy』=r2
与园(x—a)2(y—b)2=r2相切于点(Xi、『1)的切成方程
为:
(Xi_a)(x_a)(yi_b)(y_b)=r2
与园x2y2+DX+EY+F=0相切于点(Xi、丫1)
的切线是
x+X"iy+y^i
x1xy1yD
(1)E(丄)F=0
22
(2)过园外一点切线方程的求法:
已知:
P0(X0,y°)是园(x-a)2(y-b)2二r2外一点
(xi-a)2(yi-b)2二r2...
①设切点是pi(xi、yi)解方程组
(xo-a)(x^-a)(yo-b)(yi-b)2=r2
先求出Pi的坐标,再写切线的方程
再由匕「=r,求出k,再写出方程
ylk+1
(当k值唯一时,应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线)
③已知斜率的切线方程:
设y=gb(b待定),利用园心到L距离为r,确定bo
5、园与园的位置关系
由园心距进行判断、相交、相离(外离、内含)、相切(外切、内切)
6、园系
1同心园系:
(x-a)2(y-b)2=r2,(a、b为常数,r为参数)
或:
x2y2DXEYF=0(D、E为常数,F为参数)
2园心在X轴:
(x-a)2y2=r2
3园心在y轴:
x2,(y-b)2=r2
4过原点的园系方程(x-a)2•(y-b)2=a2•b2
⑤过两园Ci:
X2+y2+DiX+EiY+Fi"和
C2:
x2y2D2XE2YF2=0的交点的园系方程为
x2y2D1X■E1YF,入(x2y2D2XE2YF^0(不含C2),其中入为参数
若Ci与C2相交,则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
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