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11集合的概念与运算
§1.1 集合的概念与运算
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
_,_,_
(2)元素与集合的关系是_或_关系,用符号或表示.
(3)集合的表示法:
、
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
2.集合间的关系
(1)子集:
.
(2)真子集:
(3)空集
(4)若A含有n个元素,则A的子集有个,A的非空子集有个.
(5)集合相等:
若A⊆B,且B⊆A,则
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B=
A∩B=
∁UA=
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔.
交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔
补集的性质:
A∪(∁UA)=;A∩(∁UA)=;∁U(∁UA)=
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)A={x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(2){1,2,3}={3,2,1}.( )
(3)∅={0}( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
(5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( )
(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则∁UP={2}.( )
2.(2013·北京)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B等于( )
A.{0}B.{-1,0}
C.{0,1}D.{-1,0,1}
3.(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3
C.5D.9
4.(2013·课标全国Ⅱ)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N等于( )
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}
5.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________.
题型一 集合的基本概念
例1
(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.10
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义,明确元素的特征,抓住集合的“三性”.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.3
(2)若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a=________.
题型二 集合间的基本关系
例2
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集,可按含元素的个数依次写出;B⊆A不要忽略B=∅的情形. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解; (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题. (1)设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( ) A.6个B.5个C.4个D.3个 (2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________. 题型三 集合的基本运算 例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R,集合A= ,B= ,则A∩(∁RB)等于( ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0 (2)(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简,然后结合数轴或Venn图计算. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)设集合A= ,B={x∈Z|x-2>0},则A∩B=( ) A.{x|2 C.{2,3}D.{x|-1≤x<2} (2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________. 题型四 集合中的新定义问题 例4 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 思维启迪 解答本题要充分理解[k]的意义,然后对选项逐一验证. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 设U为全集,对集合X,Y,定义运算“”,满足XY=(∁UX)∪Y,则对于任意集合X,Y,Z,X(YZ)等于( ) A.(X∪Y)∪(∁UZ) B.(X∩Y)∪(∁UZ) C.[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D.(∁UX)∪(∁UY)∪Z 遗忘空集致误 典例: (5分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值组成的集合为__________. 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征. (2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如a=0时,S=∅;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3或2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解. 方法与技巧 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. 失误与防范 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性. A组 专项基础训练 (时间: 30分钟) 一、选择题 1.(2013·重庆)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)等于( ) A.{1,3,4}B.{3,4} C.{3}D.{4} 2.下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 3.已知全集S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁SA={3},则实数a等于( ) A.0或2B.0 C.1或2D.2 4.设集合M={m∈Z|m≤-3或m≥2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则(∁ZM)∩N等于( ) A.{0,1}B.{-1,0,1} C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2} 5.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个B.4个C.6个D.8个 6.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 A.A BB.B A C.A=BD.A∩B=∅ 7.(2013·辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( ) A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2] 8. 设全集U为整数集,集合A={x∈N|y= },B={x∈Z|-1 A.3B.4C.7D.8 二、填空题 9.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=__________. 10.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=__________. 11.(2013·天津改编)已知集合A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则A∩B=________. 12.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a B组 专项能力提升 (时间: 15分钟) 1.若集合A={x|x2-9x<0,x∈N+},B={y| ∈N+},则A∩B中元素个数为( ) A.0个B.1个 C.2个D.3个 2.已知集合M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N等于( ) A.∅B.{x|x≥1} C.{x|x>1}D.{x|x≥1或x<0} 3.已知U={x∈Z|y=ln },M={x∈Z||x-4|≤1},N={x∈N| ∈Z},则集合{4,5}等于( ) A.M∩NB.M∩(∁UN) C.N∩(∁UM)D.(∁UM)∪(∁UN) 4.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则∁UP=________. . 5.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________. 6.已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范围是________. §1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.命题的概念 __,叫作命题.其中__的语句叫真命题,__的语句叫假命题. 2.四种命题及相互关系 3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有__的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性__关系. 4.充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q,则p是q的__,q是p的__ ; (2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的__. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( ) (2)“sin45°=1”是真命题.( ) (3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°.( ) (4)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题( ) (5)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件.( ) (6)若α∈(0,2π),则“sinα=-1”的充要条件是“α= π”.( ) 2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ) A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b 3.命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠ ,则tanα≠1 B.若α= ,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α= 4.(2013·福建)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.(2012·天津)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 题型一 四种命题及真假判断 例1 (1)下面是关于复数z= 的四个命题: p1: |z|=2, p2: z2=2i, p3: z的共轭复数为1+i, p4: z的虚部为-1. 其中的真命题为( ) A.p2,p3B.p1,p2 C.p2,p4D.p3,p4 (2)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ) A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题 B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题 C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪 (1)可化简复数z,再利用复数的知识判断命题真假; (2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确,可利用四种命题的关系判断命题是否为真. 思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键; (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)判断一个命题为假命题可举反例. (1)命题“若α= ,则cosα= ”的逆命题是( ) A.若α= ,则cosα≠ B.若α≠ ,则cosα≠ C.若cosα= ,则α= D.若cosα≠ ,则α≠ (2)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 题型二 充要条件的判定 例2 已知下列各组命题,其中p是q的充分必要条件的是( ) A.p: m≤-2或m≥6;q: y=x2+mx+m+3有两个不同的零点 B.p: =1;q: y=f(x)是偶函数 C.p: cosα=cosβ;q: tanα=tanβ D.p: A∩B=A;q: A⊆U,B⊆U,∁UB⊆∁UA 思维启迪 首先要分清条件和结论,然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题,做出判断. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断; (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件. (1)(2012·福建)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( ) A.x=- B.x=-1 C.x=5D.x=0 (2)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 题型三 充分条件与必要条件的应用 例3 (1)函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
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