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我们为什么要学习数学
我们为什么要学习数学二〇一八年九月二十五日星期二
21世纪到来,各国都在进行中小学数学课程标准的研制工作。
在建立数学课程目标时,首先回答的问题是:
我们为什么要学习数学(然后才是学什么样的数学,怎样学习这些数学)。
站在不同角度,对这个问题有不同的回答,因而给数学课程目标的制订带来困惑与困难,甚至出现种种误解与偏差。
本文从数学与自然的关系,数学对人的发展的影响及数学与人类文化的相互作用三个方面来重新认识这个问题。
通过对数学与科学发展的历史分析,揭示数学与自然,数学与科学的密切关系。
并阐述这种关系使数学成为人类认识自然、认识现实世界的中介与工具,是一种高级的认识论与方法论系统。
在人类探索宇宙的规律(这种规律更多的是用数学进行表述的)的过程中,数学这种独特的性质促进了人类智慧的发展,品德的完善,人格的健全,同时促进了人类思维的不断创新。
这种对人类智慧的记录、传递与创造的作用,使得数学成为人类文化的重要组成部分,在人类文化发展中起着不可替代的作用。
从而说明,只有对数学与自然的关系,数学与人的发展,数学与文化的作用等有正确的认识,才能建立合理的中小学数学课程目标。
(一)数学:
人类认识自然的中介
数学与自然的关系十分密切,这里只讨论自然与课程目标关系相密切的两个问题,数学为什么总是有效的,数学仅仅是为了应用吗?
1.数学为什么总是有效的
这个问题一直困扰着哲学家、科学家与数学家,并激励着他们不停地探索自然的真谛,探索数学中隐藏的巨大力量和源泉。
公元前6世纪的古希腊人认为,自然界是被合理地安排好的,一切现象都是按一个精密的不可变的计划进行的。
这个计划就是数学计划,世界是建立在数学原理之上的。
这期间占统治地位的毕达哥拉斯学派认为,数是描述大自然的第一原理,是一种物质,“万物皆数”。
他们创立两种学说:
①自然界是根据数学原则安排的。
②数比是实质,是基础,是唯一本质,是自然界中序列认识的工具。
这种观点虽然很快就被找出谬误,但它的影响却一直延续到近代。
这是因为它“终究提出了宇宙的本性问题,提出人可以通过对数的研究达到对宇宙的本质认识”B1。
原子论学派也断言,以现实世界的经常性变化为基础的现实性可以用数学语言来表示,数学定律严格预定了在这个世界上正在产生的一切。
柏拉图认为,现实世界是建立在数学原则之上的,“现实的,为事物的表示现象所掩盖的,表示事物内部实质的那些东西,就是数学”B2。
亚里士多德学派也支持以整个宇宙为基础的数学计划的说法,认为数学的抽象是从物质世界中吸取的。
中世纪的欧洲哲学家由于无法解释数学与自然的神奇联系,避免与神学的冲突,便认为用数学原理创造世界的正是上帝。
他们在数学中看到了通往认识的自然之路,世界的和谐就是数学结构的表现,上帝用严格的数学秩序奠定了世界的基础。
正如数学史家克莱茵所评:
“16—18世纪,数学家的工作实质就是宗教的寻找,在寻觅数学定律之中举行宗教仪式,揭示神的创造力的光荣与伟大。
”B3他们“深信存在着自然界所有现象的数学定律。
每一次发现自然定律,都又一次证明上帝的英明”B4。
17世纪,“回归自然”口号的提出,欧洲的“科学革命”,数学起了重要的作用。
分析17世纪以后哲学家的思想,我们可以对数学与自然的关系有更深入的认识。
首先是笛卡儿和伽利略把自然科学与数学有机地结合起来。
笛卡儿认为,“只有研究秩序或度量的那些学科才属于数学领域……”B5,相信自然界是以数学原理为基础的。
“现实世界就是数学定律表现物体在时空中运动的总和,而整个宇宙则是一个以数学定律构成的庞大而协调的机器”B6。
因而认为,正是数学方法为人类开辟了一条获得自然规律的道路。
伽利略认为,自然科学家在研究自然时应该遵循某个数学模型,“数学符号就是上帝用来书写自然这一伟大著作的统一语言,不了解这些文字就不可能懂得自然的统一语言,只有用数学概念和公式所表达的物理世界的性质才可认识……”B7。
其后是牛顿、莱布尼兹等科学家的进一步扩展。
牛顿“努力使自然现象服从于数学规律”B8,以其著作《自然科学的数学原理》向人类显示出一个新的世界秩序——宇宙的运动可用几条数学定律描述,使古希腊的理念得到确切的证实,摆脱了毕达哥拉斯学派的数学神秘主义。
莱布尼兹认为现实世界与数学世界是协调的,这种科学哲学观奠定了他的宇宙基础数学原理说的基础。
总之,“笛卡儿、伽利略、牛顿、莱布尼兹及其他现代数学的奠基人始终信仰的实质就是:
自然界内部固有着某个隐藏的和谐,它以简单数学定律的形式在我们的意识中反映出来。
由于这一和谐性,结合数学分析的观察能预言自然现象”B9。
随着科学与数学的进一步发展,数学的推演与实际观测的吻合,人们从信仰宗教转到信仰自然,坚信自然规律就是数学规律,一切注意力都集中在探索宇宙的数学规律上。
数学家魏尔的思想“在自然界中存在着其内部固有的隐藏着的协调,它反映在我头脑中的形式为简单的数学定律”B10,更是明确指出了自然与数学的密切关系。
巴雷特甚至断言:
“整个数学的历史证明数学理性与自然之间存在着相互联系。
”B11因此,数学仿佛是一种人与自然,人们的内在世界与周围外部世界之间的媒介物。
对近现代科学的重大成就稍作分析就会发现,它们几乎全是数学的成就,甚至完全依赖于数学。
首先,电磁场理论就是最好的例证。
它在理论物理中的重要地位是众所周知的,然而它几乎是纯数学理论。
近代物理的精神就是数学理论。
爱因斯坦认为这种变化是“从牛顿时代以来物理所经受的最深刻、最富有成效的变化”B12。
其次,原子结构观点对于物理学具有非常重要的意义,对化学和生物的研究也有极大的促进作用。
然而,原子模型却是数学模型。
“数学在充满混乱的地方展示和建立了秩序”B13。
第三,今天的微电子技术,信息网络技术更是由数学编织而成。
总之,从古希腊至今,人们一直在探索数学与自然的关系。
科学史的大量资料也显示了数学的巨大力量和源泉,在人类的创造中最强大的方法就是数学。
数学使得我们对形形色色的自然现象取得确定的认识,数学是人类认识自然现象必不可少的中介。
它“体现了最有效地使现实世界与感性认识世界联系的环节,长期以来,数学处于人类思维的前沿,它保持先进的位置,至今,它仍是加以百般爱护的人类理性的无价之宝”B14。
“数学的事业是一桩伟大的探索,探索宇宙和人类自己最深的奥秘”B15。
2.数学仅仅是为了应用吗
数学与自然的密切关系使数学成为一切科学的基础,因而具有广泛的应用性。
数学在人类生活、生存、科学与文化发展中一直发挥着至关重要的作用。
培根认为“对自然界的许多部分,如果没有数学的帮助和参与,则既不能以足够的技巧予以制造,也不能以充分的表白予以演示,也不能以足够的灵巧使之适于应用”B16。
尤其在今天科技发展的时代,“被人如此称颂的高技术本质是一种数学技术”B17。
由于数学的应用给人类物质方面带来数不尽的巨大成就,导致了对数学本质认识的各种偏差。
最典型的几种情形是:
①忘记了数学的应用是建立在数学与自然的密切关系基础之上的,过分片面地强调数学的应用性。
能用的即予保留,暂时用不上的即予放弃;对物质生产直接起作用的即予发展,无直接作用的便不予接纳。
这种现象在东方的数学史中尤为突出。
中国古代数学受经世致用思想的导引,数学只在商业、运输、水利、天文、历法等实践中具体应用。
在早期阶段,随着农商业迅速发展,数学也迅速发展,许多成果在世界数学史上领先达千年之久。
然而随着农业社会的缓慢发展,以应用为目的的数学的生存与扩展空间便越来越窄,最终成为无源之流,渐趋枯竭。
②对“无用的”数学加以拒绝,否定,直到看到其“用”才接受,吸纳。
虚数的承认,非欧几何的建立在数学史上都经历波折。
尽管它们解决了数学内部矛盾,但由于在数学之外尚未看到可“用”,因而当初都被拒绝过。
③为了使数学有“用”,许多人曾坚信,辩解,断言,所有数学都是有用的。
非欧几何、数论中的一些定理常被引为例证。
他们声称这种有用可能在若干年后“叫你难以相信,你不可能到达那一步,让你永久地期待”(钟开莱《数学与应用数学》)B18。
这些观点把数学的“用”摆在第一位,“用”是最高目标,可用即为数学,不可用即非数学。
尽管这些观点已受到多次否定,批评,但至今在一些人的意识里仍占着主导地位。
实际上,这是对数学与自然的关系的曲解。
一方面,把数学应用降为工具性侧面,忽视了数学应用是数学与自然的本质的关系的反映。
另一方面,混淆了“数学的应用”与“应用的数学”这两个本质不同的概念。
实际上,“数学的应用”不仅包括“应用数学”,还包括数学思想方法,“数学化”的过程,数学品质等更广阔的内容。
只有从数学与自然的辩证关系认识,把数学视作与自然统一的地位,才能真正体现数学的应用性。
否则,舍弃掉数学是认识自然、征服自然的中介,舍弃其作为认识论、方法论、思维创造乃至文化、艺术于一体的特征,把数学只视作一种工具,视为应用而学习数学的功利主义或实用主义,不仅会降低数学的地位,而且也不利于学生素质的整体发展。
3.启示
随着对数学价值的深入认识,各国在21世纪的数学课程标准中都极为重视数学与自然的关系作用,重视数学的应用,并使数学的应用与应用的数学二者有机地结合起来。
在确立数学作为认识自然、改造自然的中介地位的基础上,既考虑社会需要,更注重人的整体素质的培养。
在对学生进行基本的数学认识、思维、推理、评价、联系、交流、问题解决教育的同时,尽可能选择当今社会中应用广泛的数学内容,如微积分、线性代数、概率统计、计算机等作为学习内容。
尽管各国课程有不同的哲学文化背景,有不同的政治经济制度制约,但最终的根仍扎在数学与自然的关系之中,很少有强调以“应用数学”为终极目标的课程。
(二)数学:
人的发展中不可或缺的内容
数学与自然的特殊关系使得数学成为人的发展中不可或缺的主要内容。
首先,在上文中已揭示,数学不仅给人以应用的数学知识,更为重要的是,数学给人如何运用数学去看待世界、去认识自然的方法。
通过数学,使人掌握宇宙发展的普遍规律。
因此,数学对人的世界观的形成具有特殊作用。
第二,数学是一种思维形式,是思维创造的产物,表现着人类智慧的本质与特征。
数学活动是智力体操与创造发明的活动。
它对人的科学思维与创新意识、创新能力的培养起着重要的作用。
第三,数学与自然的关系揭示了现实世界内在不变的规律,揭示了自然的奥秘、事物之间的相互关系,揭示了物体运动发展的动力与源泉,对形成学生鉴别真、善、美的能力有一定的促进作用。
对形成学生兴趣,培养学生自信、毅力、批判性等良好的个性品质方面也极为有益。
1.数学有利于正确的认识论与世界观的形成
数学对于人的认识论形成的功用上文已有说明。
同时我们还看到,数学对象具有双重性,它的理论是思维创造的产物,而非客观世界中的真实存在。
客观世界中不存在数学中的点、线、面、三角形、圆,数学中的概念、命题等都是抽象思维的产物。
然而,就其内容而言,数学对象则又具有明确的客观意义,它是人的思维对于客观现实的正确反映。
这里的现实与感性是相对而言、具有层次的。
在同一公理系统内,数学的真理具有绝对性,而对于不同的公理系统,数学真理又具有相对性。
这些思想对人的认识论、方法论、世界观的形成都是非常有益的。
2.数学有助于人的思维能力与创造能力的发展
美籍学者项武义说过:
“基础数学教育的首要目的在于开发脑力,提供解析思维的基本训练。
而其第二个主要目的才是让学生掌握现代技术工艺上普遍应用的基础数学知识,数学基础当然十分有用、十分重要,但是,认识问题、解决问题的思维训练实在更加有用,更加重要。
”B19美国《人人关心数学教育的未来》则认为,“中等教育特别缺乏揭示数学的思维方式,而这都是提高公民的理解力所需要的”B20。
长久以来,人们已认识到数学对人的思维训练是极为有益的。
首先,数学是思维的工具,通过数学活动可以提高人的思维能力。
第二,数学活动过程是一种再创造、重新发现的过程,通过观察、实验、归纳、类比、猜想、验证等活动
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