七年级数学下册知识点总结.docx
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七年级数学下册知识点总结
第五章平行线与相交线
※1.互为余角和互为补角的有关概念与性质
如果两个角的和为90°(或直角),那么这两个角互为余角;如果两个角的和为180°(或平角),那么这两个角互为补角;
注意:
这两个概念都是对于两个角而言的,而且两个概念强调的是两个角的数量关系,
个角的相互位置没有关系。
它们的主要性质:
同角或等角的余角相等;
同角或等角的补角相等。
与两
对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时,∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角.
角的名称
特征
性质
相同点
不同点
①两条直线相交面成的角
对顶角
对顶角没有公共边而邻补
对顶角
②有一个公共顶点
都是两直线相交
相等
角有一条公共边;两条直
③没有公共边
而成的角,都有一
线相交时,一个有的对顶
①两条直线相交面成的角
个公共顶点,它们
邻补角
角有一个,而一个角的邻
邻补角
②有一个公共顶点
都是成对出现。
互补
补角有两个。
③有一条公共边
“互相垂直”与“垂线”的区别与联系:
“互相垂直”指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一
条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”。
(2)判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等;
④两条直线相交,对顶角互补.
垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
两点间线段最短.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
二、同位角、内错角、同旁内角
如图,直线a、b与直线c相交,或者说,两条直线a、b被第三条直线c所截,得到八个角。
我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。
c
51
34
62
78
a
b
∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系?
在截线的同旁,被截直线的同方向(同上或同下).
具有这种位置关系的两个角叫做同位角。
同位角形如字母“F”。
∠3与∠2、∠4与∠6的位置有什么共同的特点?
在截线的两旁,被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做内错角.
内错角形如字母“Z”。
∠3与∠6、∠4与∠2的位置有什么共同的特点?
在截线的同旁,被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.
二、平行线定义表示法
1平行定义:
同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行.换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.
平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线.
2.同一平面内,两条直线的位置关系
从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.
在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:
相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就
是平行,或者不平行就是相交.
判断两直线平行的方法?
(1)平行线的定义:
在同一平面内不相交的两条直线平行。
(2)平行公理的推论:
如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行。
(3)两直线平行的条件:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.平行线具有性质:
性质1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行,同位角相等.
性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行,内错相等.
性质3:
两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行,同旁内角互补.
5.3.2命题、定理、证明
判断一件事情的语句,叫做命题.
(3)命题的组成.
①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
②命题的形成,可以写成“如果,,,那么,,”的形式。
真命题与假命题:
命题的正确性是我们经过推理证实的,这样得到的真命题叫做定理,作为真命题,定理也可以作为继续推理的依据.
5.4平移
平移:
(1)把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得到的,这两个点是对应点.(3)连接各组对应的线段平行且相等.图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移
小结:
在平移过程中,对应点所连的线段也可能在一条直线上,当图形平移的方向是沿着一边所在直线的方向时,那么此边上的对应点必在这条直线上。
2利用平移的特征,作平行线,构造等量关系
两线
邻补角,对顶角
对顶角相等
条相
垂线及其性质
点到直线的距离
直交
相
两三
平线
条条
交
面的
直直
同位角,内错角,同旁内角
内位
线线
两置
被所
条关
第截
性质
直系
平
平行公理
行
判定
平移
第六章实数
6.1.1平方根
如果正方形的面积分别是1、9、16、36、4,那么正方形的边长分别是多少?
学生会求出边长分别是1、3、4、6、
25
2
5
上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题。
2.归纳:
⑴算术平方根的概念:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。
⑵算术平方根的表示方法:
a的算术平方根记为a,读作“根号a”或“二次很号a”,a叫做被开方数。
归纳:
一个正数的算术平方根有1个;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根。
即:
只有非负数有算术平方根,如果xa有意义,那么a0,x0。
注:
a0且a0
6.1.2平方根
第2课时
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?
如图,把两个小正方形沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2的大正方形。
你知道这个大正方形的边长是多少吗?
设大正方形的边长为
x,则x2
2,由算术平方根的意义可知x
2,
我们发现它的小数位数无限,
且小数部分不循环,像这样的数我们成为无限不循环小数。
2=1.41421356,,
3
1.732
6.1.3平方根
归纳:
1、平方根的概念:
如果一个数的平方等于
a,那么这个数就叫做
a的平方根.即:
如
果x2=a,那么
x叫做
a的平方根.
求一个数的平方根的运算,叫做开平方.例如:
3的平方等于9,9的平方根是
3,所以平方与开平方互为逆运算.
6.2立方根
1.探索:
设这种包装箱的边长为
xm,则
x3
27,
这就是要求一个数,使它的立方等于
27.
因为
33
27
,所以
x
3,即这种包装箱的边长应为
3m。
2.归纳:
①立方根的概念:
一般地,如果一个数的立方等于
a,那么这个数叫做
a的立方根或三次方根。
②立方根的表示方法:
如果
x3
a,那么
x叫做
a的立方根。
记作
x
3a,3
a读作三次根号
a。
其中
a是被开方数,
3是根指数,
3
a中的根指数
3不能省略。
③开立方的概念:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算,可以根据这种关系求一个数的立方根。
6.3.1实数
归纳:
任何一个有理数(整数或分数)都可以写成有限小数或者无限
34795
3,,,,写成小数的形式
发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
即:
3
3.0,
3
0.6,47
5.875,9
0.81,5
0.5
5
8
11
9
循环小数的形式,
反过来,任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
通过前面的学习,我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数,把无限不循环小数叫做无理数。
比如2,5,33等都是无理数。
3.14159265,也是无理数。
二、实数及其分类:
1、实数的概念:
有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类:
按照定义分类如下:
有理数
整数
小数)
(有限小数或无限循环
实数
分数
无理数(无限不循环小
数)
按照正负分类如下:
正实数
正有理数
负无理数
实数
零
负实数
负有理数
负无理数
3、实数与数轴上点的关系:
归纳:
①实数与数轴上的点是一一对应的。
即没一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。
②对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
画弧,与数轴正半轴的交点就表示5。
解:
如图所示,OA2,AB1,
由勾股定理可知:
OB
5
以原点
O为圆心,以
OB
长度为半径画弧,
与数轴的正半轴交于点
C
则点
C
就表示
5。
6.3.2实数
第二课时
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质,引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质,并通过例题和练习题加以巩固,适当加深对它们的认识。
①会求实数的相反数和绝对值;
②会进行实数的加减法运算;
③会进行实数的近似计算。
有理数的一些概念和运算性质运算律:
1、相反数:
有理数a的相反数是a。
2、绝对值:
当a≥0时,aa,当a≤0时,aa。
3、运算律和运算性质:
有理数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方、非
负数的开平方、任意数的开立方运算,有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。
二、实数的运算:
1.实数的相反数:
数a的相反数是a。
2.一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
3、实数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方、非负实数的开方运算,还
有任意实数的开立方运算,在进行实数的运算中,交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。
第六章复习
本章的知识网络结构:
知识梳理
一.数的开方主要知识点:
【1】平方根:
1.如果一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当
2
(0)
xaa
时,我们称x是a的平方根,记做:
x
a(a
0)。
因此:
2.当a=0时,它的平方根只有一个,也就是
0本身;
3.当a>0时,也就是a为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:
xa。
当a<0时,也即a为负数时,它不存在平方根。
【算术平方根】:
1.如果一个正数x的平方等于a,即x2a,那么,这个正数x就叫做a的算术平方
根,记为:
“a”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。
特别规定:
0的算术平方根
仍然为0。
2.算术平方根的性质:
具有双重非负性,即:
a0(a0)。
3.算术平方根与平方根的关系:
算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共
同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:
a;而平
方根具有两个互为相反数的值,表示为:
a。
【立方根】
1.如果x的立方等于a,那么,就称
x是a的立方根,或者三次方根。
记做:
3a,读
作,3次根号a。
注意:
这里的3表示的是开根的次数。
一般的,平方根可以省写根的次数,但是,当根的次数在两次以上的时候,则不能省略。
2.平方根与立方根:
每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。
【无理数】
1.无限不循环小数的小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条
件。
在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:
(1)特殊意义的数,如:
圆周率
以及含有
的一些数,如:
2-,3
等;
(2)开方开不尽的数,如
:
2,5,39等;(3)
特殊结构的数:
如:
2.010
01000100001
(两个1之间依次多
1个0)等。
应当要注意
的是:
带根号的数不一定是无理数,如:
9等;无理数也不一定带根号,如:
2.有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则
是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分
数),而无理数则不能写成分数形式。
【实数】
1.有理数与无理数统称为实数。
在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。
2.实数的性质:
实数a的相反数是-a;实数a的倒数是1(a≠0);实数a的绝对值
a
a(a0)
|a|=,它的几何意义是:
在数轴上的点到原点的距离。
a(a0)
3.实数的大小比较法则:
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
即正数
大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的
反而小。
(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。
对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4.实数的运算:
在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则的值。
第七章平面直角坐标系
7.1.1有序数对
“北纬44.2°东经125.7°”。
3.某人买了一张8排6号的电影票,
二.概念确定
有序数对:
用含有两个数的词表示一个确定的位置,其中各个数表示不同的含义,我们把这
种有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对(orderedpair),记作(a,b)。
利用有序数对,可以很准确地表示出一个位置。
三.方法归类
常见的确定平面上的点位置常用的方法
(1)以某一点为原点(0,0)将平面分成若干个小正方形的方格,利用点所在的行和列的
位置来确定点的位置。
(2)以某一点为观察点,用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。
1.如图,A点为原点(0,0),则B点记为(3,1)
北
2.如图,以灯塔A为观测点,小岛B在灯塔A北偏
东45,距灯塔3km处。
例2如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图,对我方舰艇来说:
B(小岛)
45°
北
1)北偏东方向上有哪些目标?
要想确定
敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距我方潜艇图上距离为1cm处的敌
舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
A(灯塔)
小岛
敌方战舰B
我方战舰2号
我方潜艇敌方战舰C
我方战舰1号
敌方战舰A
7.1.2平面直角坐标系
正确画坐标和找对应点.
一.利用已有知识,引入
1.如图,怎样说明数轴上点A和点B的位置,
2.根据下图,你能正确说出各个象棋子的位置吗?
A
CB
O
D
二.明确概念
平面直角坐标系:
平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系.水平的
数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴为y轴或纵轴,正方向;两个坐
标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标:
我们用一对有序数对表示平面上的点,这对数叫坐标。
表示方法为(a,b).a是
点对应横轴上的数值,b是点在纵轴上对应的数值。
7.2.1用坐标表示地理位置
教学目标:
1.了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程;培养学生解决实际问题的能力.
2.通过学习如何用坐标表示地理位置,发展学生的空间观念.
3.通过学习,学生能够用坐标系来描述地理位置.
4.通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置,培养学生的认真、严谨的做事态度.
重点:
利用坐标表示地理位置.
难点:
建立适当的直角坐标系,利用平面直角坐标系解决实际问题.
教学过程
一、创设问题情境
观察:
教材第63页图7.2-1.
今天我们学习如何用坐标系表示地理位置,首先我们来探究以下问题.
二、师生互动,探究用坐标表示地理位置的方法
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;
(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.应注意的问题:
用坐标表示地理位置时,一是要注意选择适当的位置为坐标原点,这里所说的适当,通常要
么是比较有名的地点,要么是所要绘制的区域内较居中的位置;二是坐标轴的方向通常是以
正北为纵轴的正方向,这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致;三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度.
有时,由于地点比较集中,坐标平面又较小,各地点的名称在图上可以用代号标出,在图外
另附名称.
7.2.2用坐标表示平移
(1)如图将点A(-2,-3)向右平移
5个单位长度,得到点
A1,
在图上标出它的坐标,把点
A向上平移
4个单位长度呢?
(2)把点A向左或向下平移4个单位长度,观察他们的变化,你能从中发现什么规律吗?
规律:
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(,));将点(x,y)向上(或
下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(,)).
教师说明:
对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生
相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以
看出对这个图形进行了怎样的平移.
例如图
(1),三角形ABC三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),
C(1,2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标后减去6,纵坐标不变,分别得到点A1、B1、C1,
依次连接A1、B1、C1各点,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有
什么关系?
(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到点A2、B2、C2,
依次连接A2、B2、C2各点,所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有
什么关系?
引导学生动手操作,按要求画出图形后,解答此例题.
解:
如图
(2),所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同,三角形A1B1C1
可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.类似地,三角形A2B2C2与三角形
ABC的大小、形状完全相同,它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.
第七章平面直角坐标系
小结
一、本章知识结构图:
二、平面直角坐标系
1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系.平面直角坐标系,水平
的数轴叫做x轴或横轴(正方向向右),铅直的数轴叫做y轴或纵轴(正方向向上),两轴交点
O是原点.这个平面叫做坐标平面.
x轴和y把坐标平面分成四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的点),要注意象限的编
号顺序及各象限内点的坐标的符号:
由坐标平面内一点向x轴作垂线,垂足在x轴上的坐标
叫做这个点的横坐标,由这个点向y轴作垂线,垂足在y轴上的坐标叫做这个点的纵坐标,
这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标(横坐标在前,纵坐标在后).一个点
的坐标是一对有序实数,对于坐标平面内任意一点,都有唯一一对有序实数和它对应,对于
任意一对有序实数,在坐标平面都有一点和它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序实数
对是一一对应的.
2、不同位置点的坐标的特征:
(1)、各象限内点的坐标有如下特征:
点P(x,y)在第一象限x>0,y>0;
点P(x,y)在第二象限x<0,y>0;
点P(x,y)在第三象限x<0,y<0;
点P(x,y)在第四象限x>0,y<0.
(2)、坐标轴上的点有如下特征:
点P(x,y)在x轴上y为0,x为任意实数.
点P(x,y)在y轴上x为0,y为任意实数.
3、点P(x,y)坐标的几何意义:
(1)点P(x,y)到x轴的距离是|y|;
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