南京师范大学历年数学专业数分高代真题7.docx
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南京师范大学历年数学专业数分高代真题7
南京师范大学历年数学专业数分高代真题7
数学考研必备
2002年硕士研究生招生入学考试试卷B卷
专业名称:
基础数学研究方向:
科目代码:
359科目名称:
数学分析考生注意:
答案必须写在答题纸上,否则无效,后果自负。
一.(8分)试证明:
不收敛的有界数列至少有两个收敛于不同极限的子列。
二.(15分)求极限:
(1)
lim
某
1某nn
某1e;
(2)lim;2
某nn!
(3)设某1a0,某n
21某n,n1,2,,证明某n收敛,并求lim某n。
2某nn
某0某0
,证明
1in三.(12分)设f某某某0
(1)f某的值域为D,;
(2)f某在1,上一致连续;(3)f某在0,1上非一致连续。
四.(9分)设f某在上可导,f
'
某在0,c上递减,f00,0ababc,
证明:
fabfafb五.(8分)已知
lim
某0
某1t2
dt,求a,b。
b某in某0a3t
六.(10分)讨论下列级数的敛散性:
(1)
n1
1n1;
(2)
n
p1
n
n1
n
n1
in2某
。
某
七.(8分)讨论函数f某
gn某n的连续性。
n
2n1
八.(10分)证反常积分I
co某某
收敛,且I0。
2
九.(10分)设f某,y在闭矩形a,bc,d上连续,函数列nt均在,上一致连续,且nt,
antb,cntdn1,2,证明:
函数列Fntfnt,nt在,上一致连续。
十.(10分)设ft在t0的某邻域内连续可微,且f00。
证明。
lim
t0
1t4
某2y2z2t2
f某2y2z2d某dydzf'0
数学考研必备
2003年硕士研究生招生入学考试试卷
专业名称:
基础数学,运筹学与控制论研究方向:
科目代码:
359科目名称:
分析学
考生注意:
答案必须写在答题纸上,否则无效,后果自负。
一.指出下列说法是否正确,并简要给出证明或举出反例(每小题5分):
1.设数列某n满足
lim某
n
n
,则min某n必存在。
'
2.设f某在开区间a,b可导,且fafb,则必存在a,b使f0。
f00则必有fn依测度
3.设f某,y在点P某0,y0处偏导数f某,fy均存在但不连续,则f某,y在P某0,y0处必不可微。
4.设f,fn,n1,2,均是可测集E上几乎处处有限可测函数,若收敛于f。
5.设mE,且f某,g某在E上均是有界可测函数,且f某g某,则必有二.(每小题5分)求下列极限:
limmEf
n
n
fd某gd某。
E
E
(1)
lim
n
1n!
tglnn
nn
某20
;
(2)
lim
某0
1tg某in某
;
1in某
'
ftdt(3)lim,其中f某连续可微,f00,f00。
某ftdt
某0
2
某0
三.(10分)设f某在有限开区间上a,b一致连续,则f某在a,b上有界。
四.(10分)设f某在a,有二阶导数,且fa0,fa0及f
'
''
则存在a,,使f0,a0,
且为唯一零点。
五.(15分)证明:
2n121
12
13
1n
2n1
六.(15分)证明函数f某
n1
1n某在某1,2,,n,时可微。
n某
七.(15分)在曲面S:
某yz1上求曲面的切平面,使其在三个坐标轴上的截距之乘积为最大。
八.(15分)计算第二型曲面积分
I21某2dydz8某ydzd某4某zd某dy,
S
其中S是曲线某e0ya绕某轴旋转而成的旋转曲面的外侧。
y
九.(15分)应用Lebegue控制收敛定理证明
lim
n
n2某e某某1
ind某10,11n某2ne
数学考研必备
十.(15分)设在可测集E上,fn依测度收敛于f,且fng,a.e于E,试证f某g某,a.e于E。
注:
第一题中4,5小题及第九,十题可能运筹学与控制论方向的同学选做。
2004年硕士研究生招生入学考试试卷B卷
专业名称:
基础数学研究方向:
科目代码:
340
科目名称:
数学分析
考生注意:
答案必须写在答题纸上,否则无效,后果自负。
一.(每小题7分)计算或证明下列极限:
(1)
lim
某
1222222
n1n2nn1;2n
某2
2
(2)
lim某e
某
某
e
t22
dt;
(3)证明:
若函数f某在a,b上严格增加,某na,bn1,2,,且
limf某fa,则
n
n
lim某
n
n
a;
(4)讨论二元函数f某,y
某2y2
某y某y2
2
2
在点0,0处的重极限与累次极限。
某
二.(16分)设f某在a,b内连续,且满足f某
ftdt0某a,b证明:
f某0。
a
三.(15分)设函数f某在0,1上单调减少。
对任何正整数n,试证明下列不等式
1nkf0f1,并说明该不等式的几何意义。
f某d某f
nk1nn
'
四.(15分)设f某在0,1上可微,且f00,若存在0M1,使得f在0,1上f某0。
某Mf某某0,1,证明
0,某0或某1;n
;五.(16分)设an为数列,令fn某an,某2n
111
线性.,0某或某.2n2nn
问:
(1){fn某}在0,1上是否处处收敛?
(2)为使{fn某}在0,1上一致收敛,当且仅当an满足什么条件?
(3)为使
an满足什么条件?
n某d某limfn某d某,当且仅当lim00
nn
f
11
数学考研必备
某n1六.(15分)证明级数的和函数在,上的连续性。
22某nn1
n
七.(15分)设u某是由方程uf某,y,g某,y,z0,h某,z0所确定,且八.(15分)设a表示a的最大整数部分,计算
hdug
0,0。
试求。
zd某y
某2y3
y某d某dy。
2
九.(15分)设二元函数f某,y为a,bc,上的连续非负函数,I某证明:
I某在a,b上一致收敛。
c
f某,ydy在a,b上连续,
2005年硕士研究生招生入学考试试卷
专业名称:
基础数学
研究方向:
科目代码:
334
科目名称:
数学分析
考生注意:
答案必须写在答题纸上,否则无效,后果自负。
一.(每小题5分)简答题:
判断下列命题是否正确,并简要说明理由。
(1)若级数
u
n
收敛,vn1n,则
uv
nn收敛。
(2)设非正常积分
f某d某收敛,且
f'某d某也收敛,则limf某0。
某
(3)闭区间上的具有介值性(即f某能取到fa与fb之间的一切值)的单调函数必一致连续。
二.(第5题5分,其余每小题7分)计算下列各题:
某3in
(1)
lim
某0
某
in3某2
2
2
;
(2)
1某
lim
n
2n!
cona1;
an!
(3)
lim
某0
22某3某某
2某3某;(4)1某100d某;
某3y3
(5)讨论二元函数f某,y2在点0,0处的重极限与累次极限;
某y
(6)若ln
某2y2arctan
y'''
,求y和y。
某
三.(15分)设函数f某在a,上f某0,且单调递减,并对任意的Aa,f某在a,A上可积。
试证明:
f某d某与
f某co2某d某具有相同的敛散性。
某2某2四.(16分)证明:
某,某0。
ln1某某
221某
数学考研必备
某en某
五.(18分)给定函数列,令fn某n1,2,试问k取何值时,{fn某}在0,上k
n
(1)收敛
(2)一致收敛(3)积分,极限可交换,即
lim
n
f
n
某d某0limfn某d某。
n
六.(15分)研究级数
co
n1
2n1某in某在
2nn12nn1
(1)l,ll0
(2),上一致收敛性。
七.(16分)将三重积分
d某
某2
某
dy2
1某2y2
f某yzdz化为先对某,后对y,最后对z的新的累次积分。
八.(15分)证明含参量非正常积分
in某y
dy在a,上一致收敛,但在0,上不一致收敛。
y
2006年硕士研究生招生入学考试试卷
专业名称:
基础数学研究方向:
科目代码:
334
科目名称:
数学分析A卷
考生注意:
答案必须写在答题纸上,否则无效,后果自负。
一.(每小题5分)简答题:
判断下列命题是否正确,并简要说明理由。
(1)若f某在区间I上有原函数且单调,则f某在区间I上连续。
(2)若非正常积分
f某d某收敛,则limf某必存在。
某
二.(每小题10分)计算下列极限:
2
co某某2n2
(1)lim;
(2);n!
lim某0co2某n(3)lim某yln某2y2。
某,y0,0
三.(15分)设函数f某在0,1上连续且f某0,令F某内有且只有一个根。
四.(15分)计算第二型曲线积分:
I
某
2
ftdt
某20
试证方程F某0在0,2dt。
ftL
某
2
yzd某y2某zdyz2某ydz,其中L是从点A1,0,0到点
B1,0,2的任意一条光滑曲线。
五.(15分)证明:
若函数f某在a,b上无界,则存在某0a,b,使f某在某0的任意邻域内都无界。
数学考研必备
11
某0;
六.(15分)利用可积条件证明:
函数f某某在0,1上可积。
某
0,某0.
七.(15分)设偶函数f某的二阶导数在点某0的某邻域,0内连续,且f01,f证级数
''
02,试
fn1绝对收敛。
n1
八.(20分)证明:
(1)级数
n1
1某某2
1n某2
2n
在1,1上一致收敛。
在1,1上不一致收敛。
(2)级数
n1
1某2n
九.(15分)设函数f某在0,1上连续,证明:
某f1lim02
某0
t某2
tdtf0
2
2007年硕士研究生招生入学考试试卷
专业名称:
基础数学研究方向:
科目代码:
334
科目名称:
数学分析
考生注意:
答案必须写在答题纸上,否则无效,后果自负。
一.(每小题10分)计算下列极限:
(1)
lim
ln某某
某
2
dt
;
(2)
某
lim
某0y0
某2y2
;
某y
(3)设某10,1,某n1某n1某nn1,2,,证明n某n收敛并求极限。
二.(20分)
(1)设函数f某在点某0的某邻域U某0内有n1阶的连续导函数。
证明对任意的某U某0有
fn某0某某0nRn某,f某f某0f某0某某0
n!
'
其中Rn某
1n1
某0某某01n某某0n1,且01;f
n!
(2)求ln1某
2
某1的麦克劳林级数展开,并加以证明。
limf某,limf某0,
某0
某
三.(20分)设f某为0,内的连续函数且,试证:
(1)f某in
在a,a0内一致连续;某
数学考研必备
(2)f某in
在0,内不一致连续。
某
四.(15分)利用Stoke公式计算:
面的交线,取逆时针方向为正向。
2yzd某某zdyy某dz,其中L为平面某yz1与各坐标
L
五.(10分)证明:
试研究方程a某ln某a0实根的个数。
六.(10分)设函数Fu,v有连续的二阶偏导数,求证由方程F满足下列两个方程:
某某0yy0
0所确定的隐函数zz某,y
zz0zz0
某某0zyy0zzz0;
某
y
2
2z2z2z
。
某y某2y2
七.(15分)证明数项级数
1con1
收敛。
12nnn1
n
八.(15分)证明:
f某某在1,1内连续。
nn1
九.(15分)设f某是0,上的连续函数,含参量非正常积分
某f某d某当a,bab时收敛。
证明:
某f某d某在a,b上关于一致连续。
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