MATLAB数学实验报告.docx
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MATLAB数学实验报告.docx
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MATLAB数学实验报告
Matlab数学实验报告
一、实验目得
通过以下四组实验,熟悉MATLAB得编程技巧,学会运用MATLAB得一些主要功能、命令,通过建立数学模型解决理论或实际问题.了解诸如分岔、混沌等概念、学会建立Malthu模型与Logistic模型、懂得最小二乘法、线性规划等基本思想.
二、实验内容
2、1实验题目一
2、1、1实验问题
Feigenbaum曾对超越函数y=λsin(πx)(λ为非负实数)进行了分岔与混沌得研究,试进行迭代格式xk+1=λsin(πxk),做出相应得Feigenbaum图
2、1、2程序设计
clear;clf;
axis([0,4,0,4]);
holdon
for r=0:
0、3:
3、9
x=[0、1];
for i=2:
150
x(i)=r*sin(3、14*x(i—1));
end
pause(0、5)
fori=101:
150
plot(r,x(i),’k、');
end
text(r—0、1,max(x(101:
150))+0、05,['\it{r}=’,num2str(r)])
end
加密迭代后
clear;clf;
axis([0,4,0,4]);
hold on
forr=0:
0、005:
3、9
x=[0、1];
fori=2:
150
x(i)=r*sin(3、14*x(i—1));
end
pause(0、1)
fori=101:
150
plot(r,x(i),'k、’);
end
end
运行后得到Feigenbaum图
ﻬ2、2实验题目二
2、2、1实验问题
某农夫有一个半径10米得圆形牛栏,长满了草.她要将一头牛拴在牛栏边界得桩栏上,但只让牛吃到一半草,问拴牛鼻子得绳子应为多长?
2、2、2问题分析
如图所示,E为圆ABD得圆心,AB为拴牛得绳子,圆ABD为草场,区域ABCD为牛能到达得区域。
问题要求区域ABCD等于圆ABC得一半,可以设BC等于x,只要求出∠a与∠b就能求出所求面积。
先计算扇形ABCD得面积,2a÷π×πx2=2aπ2,再求AB得面积,用扇形ABE得面积减去三角形ABE得面积即可。
2、2、3程序设计
f=inline('acos(x/20)*x^2+100*pi-200*acos(x/20)—x*sqrt(100—(x^2)/4)-50*pi');
a=0;
b=20;
dlt=1、0*10^-3;
k=1;
whileabs(b-a)>dlt
c=(a+b)/2;
if f(c)==0
break;
elseif f(c)*f(b)<0
a=c;
else
b=c;
end
fprintf(’k=%d,x=%、5f\n’,k,c);
k=k+1;
end
2、2、4问题求解与结论
k=6,x=11、56250
k=7,x=11、71875
k=8,x=11、64063
k=9,x=11、60156
k=10,x=11、58203
k=11,x=11、59180
k=12,x=11、58691
k=13,x=11、58936
k=14,x=11、58813
k=15,x=11、58752
结果表明,要想牛只吃到一半得草,拴牛得绳子应该为11、6米。
2、3实验题目三
2、3、1实验问题
饲养厂饲养动物出售,设每头动物每天至少需要700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。
现有5种饲料可供选用,每种饲料每千克所含营养成分含量及单价如下表。
试确定既能满足动物生长得营养需要,又可使费用最省得选用饲料得方案。
饲料
蛋白质(g)
矿物质(g)
维生素(mg)
价格{元/千克}
A1
3
1
0、5
0、2
A2
2
0、5
1
0、7
A3
1
0、2
0、2
0、4
A4
6
2
2
0、3
A5
18
0、5
0、8
0、8
五种饲料单位质量(1kg)所含营养成分
2、3、2问题分析与模型建立
设Xj (j=1,2,3,4,5)表示饲料中所含得第j种饲料得数量.由于提供得蛋白质总量必须每天满足最低要求70g,故应有
3X1+2X2+1X3+6X4+18X5≥700
同理,考虑矿物质与维生素得需求。
应有
1X1+0、5X2+0、2X3+2X4+0、5X5≥30
0、5X1+1X2+0、2X3+2X4+0、8X5≥100
希望调配出来得混合饲料成本最低,故目标函数f为
f=0、2X1+0、7X2+0、4X3+0、3X4+0、8X5
当来对决策量Xj得要求应为非负.
所以该饲料配比问题就是一个线性规划模型
Minf =0、2X1+0、7X2+0、4X3+0、3X4+0、8X5
3X1+2X2+1X3+6X4+18X5≥700
1X1+0、5X2+0、2X3+2X4+0、5X5≥30
0、5X1+1X2+0、2X3+2X4+0、8X5≥100
Xj≥0,j=1,2,3,4,5
2、3、3模型评述
一般得食谱问题可叙述为:
设有n种食物,每种食物中含有m种营养成分。
用ija表示一个单位得第 j种食物中含有第i 种营养得数量,用ib表示每人每天对第i种营养得最低需求量,jc表示第j 种食品得单价,jx表示所用得第j种食品得数量,一方面满足m种营养成分得需要同时使事物得总成本最低。
一般得食谱问题得线性规划模型为
这类线性规划模型还可以描述很多诸如合理下料、最小成本运输、合分派任务等问题,具有很强得代表性。
2、3、4模型计算
将该问题化成Matlab中线性规划问题得标准形式Minf=0、2X1+0、7X2+0、4X3+0、3X4+0、8X5
-3X1-2X2—1X3-6X4-18X5≤-700
—1X1—0、5X2—0、2X3-2X4—0、5X5≤—30
-0、5X1-1X-0、2X3-2X4—0/;、8X5≤—100
Xj≥0,j=1,2,3,4,5
由MATLAB软件得编辑器构作m文件LF如下:
c=[0、2,0、7,0、4,0、3,0、8];
a=[—3,—2,-1,-6,—18;—1,—0、5,—0、2,—2,—0、5;-0、5,-1,—0、2,-2,-0、8];
b=[-700,—30,-100];
lb=[00 00 0];
ub=[];
aeq=[];
beq=[];
[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub)
在MATLAB命令窗口键入LF,回车,计算结果显示如下
x=0、0000
0、0000
0、0000
39、7436
25、6410
fval =
32、4359
其结果显示x1=0 x2=0x3=0x4=39、7436x5=25、6410,则表示该公司分别购买第四种第五种饲料39、7436(kg),25、6410(kg)配成混合饲料;所耗成本32、4359(元)为满足营养条件下得最低成本。
2、3、5模型思考:
线性规划得本质特点
一.目标函数就是决策变量得线性函数
二.约束条件就是决策变量得线性等式或不等式,它就是一种较为简单而又特殊得约束极值问题。
三.能转化为线性规划问题得实例很多如:
生产决策问题,一般性得投资问题,地址得选择,运输问题等等。
2、4实验题目四
2、4、1实验题目描述
1790年到1980年各年美国人口数得统计数据如下表:
年份
179
0
统计
3、9
5、3
7、2
9、6
12、9
17、1
23、2
31、4
38、6
50、2
年份
4
70
1980
统计
62、0
72、0
92、0
106、5
123、2
131、7
150、7
179、3
204、0
226、5
试根据以上数据,
(1)分别用Malthu模型与Logistic模型建立美国人口增长得近似曲线(设美国人口总体容纳量为3、5亿);
(2)预测2000年,2005年,2010年,2015年,2020年人口数;
(3)对两种预测结果进行比较、
2、4、2问题得分析
2、4、2、1Malthu模型
1798年,Malthus提出对生物繁殖规律得瞧法。
她认为,一种群中个体数量得增长率与该时刻种群得得个体数量成正比.设x(t)表示该种群在t时刻个体得数量,则其增长率(dx/dt)=rx(t),或相对增长率1/x*dx/dt=r、其中常数r=B—D,B与D分别为该种群个体得平均生育率与死亡率。
2、4、2、2Logistic模型
1838年,Verhulst指出上述模型未考虑“密度制约"因素.种群生活在一定得环境中,在资源给定得情况下,个体数目越多,个体所获资源就越少,这将抑制其生长率,增加死亡率.所以相对增长率1/x*(dx/dt)不应为一常数r,而应就是r乘上一个“密度制约”因子。
此因子随x单调减小,设其为(1—x/k),其中k为环境容纳量。
于就是Verhulst提出Logistic模型:
dx/dt=rx(1-x/k)。
2、4、3实验设计得流程
2、4、3、1Malthu模型源代码
clear;clf
x=10:
10:
200;
y=[3、95、3 7、29、612、917、123、2 31、4 38、650、2 62、072、092、0 106、5123、2131、7 150、7179、3204、0226、5];
plot(x+1780,’k-','markersize’,20);
axis([1780,2020,3,800]);
grid;holdon
n=20;
a=sum(x(1:
n));
b=sum(x(1:
n)、*x(1:
n));
c=sum(log(y(1:
n)));
d=sum(log(y(1:
n))、*x(1:
n));
A=[na;a b];
B=[c;d];
P=inv(A)*B;
t=10:
10:
800;
f=exp(P
(1)+P
(2)*t);
plot(t+1780,f,'ro-',’linewidth',2);
k=[20002005201020152020];
f=exp(P
(1)+P
(2)*(k—1780));
fprintf('f=%、1f',f);
2、4、3、2Logistic模型程序源代码
clc;clear;
x=9:
28;
y=[3、95、37、29、612、917、123、231、438、6 50、262、0 72、092、0106、5 123、2131、7150、7 179、3204、0226、5];
plot(x*10+1700,y,'k、’,’markersize’,15);
grid;
holdon;
axis([179020150400]);
m=1000*y、/(1000—y);
a1=sum(x);
a2=sum(x、^2);
a3=sum(log(m));
a4=sum(x、*log(m));
A=[20,a1;a1,a2];
B=[a3;a4];
p=inv(A)*B;
t=9:
0、1:
55;
s=1、/(0、001+exp(-p
(1)-p(2)*t));
plot(t*10+1700,s,’r—’);
k=[3030、5 31 31、532];
l=[k*10+1700;1、/(0、001+exp(-p
(1)—p
(2)*k))];
2、4、4上机实验结果得分析与结论
Malthus模型结果
Logistic 模型结果
对比预测结果与实际数据,可瞧出Logistic模型更符合自然规律。
三、实验小结与体会
通过以上四组数学实验、我们熟悉了解了许多MATLAB得方法及理论、并尝试了将其运用到了实际问题中去,解决实际问题。
比如,在实验一中,了解了方程得迭代以及分岔、混沌得概念;实验二中通过简单得MATLAB程序解决数学问题;实验三中尝试通过线性规划建立数学模型,从而解决生产生活中得实际问题,了解了最大最小化问题得求解及其MATLAB指令;实验四中通过人口预测问题得分析求解,了解运用最小二乘法进行数据拟合得基本思想,掌握了建立人口增长数学模型得思想方法,学会建立Malthu模型与Logistic模型。
此外,通过这几次数学实验,就个人而言,不仅思维得到了锻炼、提升,而且让我们感觉到数学得乐趣。
用MATLAB编出得程序不仅算得快,画出得图形、得出得结论也很有意思。
就团队而言,这门课程很讲究相互配合、团队合作,不仅让我们更有团队精神,更增进了友谊。
而且,通过实验不仅仅只就是解决了几道题而已,更重要得就是学习解决数学问题得思维方式。
最后,感谢老师开设这门课程,给了我们更多机会,让我们从中受益匪浅,收获良多。
谢谢老师得悉心教导。
00:
00Thomas Bergersen-EmpireofAngels
04:
47 SilverScreen- TheElysium
08:
30EpicScore-RidetoGloryﻫ10:
35C21FX - AncientEvil
12:
55Sub Pub Music— Fearless
14:
55PositionMusic-ResonanceTheory
17:
19 VoltaMusic-Revolution
19:
50PostHaste Music-FallenHeroesﻫ22:
24MaxCameron—EscapeVelocityﻫ25:
40KellyAndrew—ChasingGlory
28:
17Peter Crowley-TheEchoes OfWar
32:
52BrunuhVille-The Wolf andtheMoon
36:
44BrandX Music—HelmettoHelmet
39:
16 ImmediateMusic —ProtectorsOfTruth
44:
14ReallySlow Motion —Homeing Warrior
46:
41Nightcall -DeadVﻫ50:
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53:
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07 GothicStorm Music—BeyondTheStars
58:
34MichaelConn-PitcairnStoryﻫ01:
01:
55 Audiomachine-Iceof Phoenix
01:
05:
20C21FX-Legacy
01:
08:
03 Sub PubMusic-FacetheWorldﻫ01:
10:
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01:
12:
17Audiomachine—Sura
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22 Volta Music—LunaRosaﻫ01:
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28 SimBiJ-Glory
01:
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00ReallySlowMotion—SunsAndStars
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46FutureWorldMusic—LargerThanLifeﻫ01:
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47:
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11TonyAnderson — TheImpossible
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21 EpicMusicVn-LastReunion
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42:
45 EpicMuscVn-Lament of Valkyrie
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45:
45Michael Maasft、FeliciaFarerre— Morpheus andthe Dream
02:
48:
33C21FX - Blood RedRoses
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51:
56AleksandarDimitrijevic—IcarusRising
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