全国高考理科数学2卷精美解析版.docx
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全国高考理科数学2卷精美解析版
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)
理科数学
本试卷4页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.
2018.6.29
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
12i
12i
()
A.
43433434iB.iC.iD.i
55555555
1.【解析】
12i12i234i34i
12i12i12i555
,故选D.
2.已知集合
A{(x,y)|x
2y2
3,xZ,yZ},则A中元素的个数为()
A.9B.8C.5D.4
2.【解析】
A{(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)}
,元素的个数为9,故选A.
3.函数
f(x)
exexx2
的图像大致为()
yy
A.
1
O1x
B.
1
O1x
yy
C.
1
O1x
D.
1
O1x
3.【解析】
f(x)
e
xe
x2
x
f(x),即f(x)为奇函数,排除A;由
1
f
(1)e0
e
排除D;由
1/10
2
e4e411111
f(4)(e2)(e)(e)ef
(1)
1616e2eee
排除C,故选B.
4.已知向量a,b满足a1,ab1,则a(2ab)
()
A.4B.3C.2D.0
4.【解析】
a(2ab)2aab213
,故选B.
5.双曲线
x2y2
1(a0,b0)a2b2
的离心率为
3
,则其渐近线方程为()
A.
y2x
B.
y3x
C.
y
23
xD.y22
x
5.【解析】离心率
cc2a2be3
aa2a2
2
3
,所以
b
a
2
,渐近线方程为
y2x
,故选A.
6.在ABC中,cos
C5
,BC1,AC5,则AB()25
42
A.
cosC2cos
6.【解析】
2
30
B.
B3
1
25
,
C.
29
D.
25
开始
由余弦定理得
AB
BC2AC22BCACcosC42
,
N0,T0
故选A.
i1
7.为计算
S1
11111
23499100
,设计了右侧的
是
i100
否
程序框图,则在空白框中应填入()A.ii1
NN
1
i
SNT
B.
C.
ii2ii3
TT
1
i1
输出
S
D.
ii4
结束
7.【解析】依题意可知空白框中应填入
ii2
.第1次循环:
N1,T
1
2
i3
;第2次循环:
11111111
N1,T,i5;;第50次循环:
N1,T,i101
32439924100
,结
束循环得
S1
11111
23499100
,所以选B.
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数
可以表示为两个素数的和”,如的概率是()
30723
,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30
2/10
ADDB
1
1
A.
1111
B.C.D.
12141518
8.【解析】不超过
30
的素数有:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29
,共10个.从中选取两个不同的数,其和等于
30
31
的有:
7与23、11与19、13与17,共3对.则所求概率为,故选C.
C215
10
9.在长方体
ABCDABCD中,ABBC1,AA
11111
3
,则异面直线AD与DB所成角的余弦值为
11
()
A.
1
5
B.
552
C.D.
652
9.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,1,0),D(1,0,3),D(1,0,0),B(0,1,3)
11
所以AD(0,1,3),DB(1,1,3),11
1125
则cosAD,DB
ADDB25511
,
,故选C.
D
1
D
x
C
1
C
z
A
A
1
B
B
1
y
10.若
f(x)cosxsinx
在
[a,a]
上是减函数,则
a
的最大值是()
A.
B.
42
C.
3
4
D.
10.【解析】因为
故选A.
f(x)cosxsinx
3
2cos(x)在区间[,]上是减函数,所以a的最大值是,4444
11.已知
f(x)
是定义域为
(,)
的奇函数,满足
f(1x)f(1x)
.若
f
(1)2
,则
f
(1)f
(2)f(3)f(50)
()
A.
50
B.
0
C.
2
D.
50
11.【解析】因为
f(x)f(x)
,所以
f(1x)f(x1),则f(x1)f(x1),f(x)
的最小正周
期为
T4
.又
f
(1)2
,
f
(2)f(0)0
,
f(3)f
(1)2
,
f(4)f(0)0
,所以
f
(1)f
(2)f(3)f(50)12[f
(1)f
(2)f(3)f(4)]f(49)f(50)f
(1)f
(2)2
,选C.
12.已知
F,F是椭圆C:
12
x2y2
1(ab0)a2b2
的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为
3
6
的直线上,
PFF
12
为等腰三角形,
FFP12012
,则
C
的离心率为()
A.
2
3
B.
1
2
C.
11
D.
34
12.【解析】如图,因为
PFF
12
为等腰三角形,
FFP12012
且
FF2c12
,所以
PFF30
12
,则
P
3/10
的坐标为
(2c,3c),故k
PA
3c3
2ca6
,化简得
4ca
c1
,所以离心率e,故选D.
a4
y
P
AFOF
12
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
x
13.曲线
y2ln(x1)
在点
(0,0)
处的切线方程为.
13.【解析】
y
2
x1
y
|2,则曲线y2ln(x1)在点(0,0)x0
处的切线方程为
y2x
.
14.若
x,y
满足约束条件
x2y50x2y30
,则
zxy
的最大值为.
x50
14.【解析】可行域为ABC及其内部,当直线
yxz经过点B(5,4)
时,
z
max
9
.
15.已知
sin
cos
1,cos
sin
0,则ysin()
.
15.【解析】
sin
cos
2sin2
2sin
cos
cos
2
B
1
,
A
cossin2cos22cossinsin20
-3O
,
C
5x
则
sin
22sincoscos2cos22cossinsin2
011
,
即
22sin
cos
2cos
sin
1sin()
1
2
.
16.已知圆锥的顶点为
S
,母线
SA,SB
所成角的余弦值为
7
8
,
SA
与圆锥底面所成角为
45
,若
SAB
的面
积为
515
,则该圆锥的侧面积为.
16.【解析】如图所示,因为
cosASB
7
8
,所以
sinASB
15
8
,
S
S
SAB
115SASBsinASBSA
216
2
515,所以SA45
.
又SA与圆锥底面所成角为45,即
SAO45
,
A
O
则底面圆的半径
OA210
,圆锥的侧面积
SOASA402
.
B
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)
4/10
记
S
n
为等差数列
a的前n
n
项和,已知
a7
1
,
S15
3
.
(1)求
a的通项公式;n
(2)求S,并求S的最小值.
nn
17.【解析】
(1)设等差数列
a
n
的公差为
d
,则
由
a7
1
,
S3a3d1531
得
d2
,
所以
a7(n1)22n9,即an
n
的通项公式为
a2n9n
;
(2)由
(1)知
S
n
n(72n9)
2
n
2
8n
,
因为
S(n4)n
2
16
,
所以n4时,S的最小值为16.
n
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额投资额
y
(单位:
亿元)的折线图.
240
220
209
220
200
180
171
184
160
148
140
120
100
122
129
60
80
40
20
14
19
25
35
37
4242
47
5356
0
20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016
年份
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了
y
与时间变量
t
的两个线性回归模型,根据2000
年至2016年的数据(时间变量
t
的值依次为
1,2,,17
)建立模型①:
yˆ30.413.5t
;根据2010年至2016
年的数据(时间变量t的值依次为
1,2,,7
)建立模型②:
yˆ
9917.5t
.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
18.【解析】
(1)将t19代入模型①:
yˆ
30.413.519226.1
(亿元),
所以根据模型①得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
226.1
亿元;
将
t9
代入模型②:
yˆ9917.59256.5
(亿元),
所以根据模型②得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元.
(2)模型②得到的预测值更可靠.理由如下:
5/10
2
答案一:
从折现图可以看出,2010年至2016年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线
yˆ
30.413.5t
的上下,2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加,这说明模型
①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长.而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归
直线
yˆ9917.5t
的附近,这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长,所以模型②得到的
预测值更可靠.
答案二:
从计算结果来看,相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元,利用模型①得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元的增幅明显更合理,所以模型②得到的预测值更可靠.
19.(12分)
设抛物线
C:
y
2
4x
的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,AB8.
(1)求
l
的方程;
(2)求过点
A,B
且与
C
的准线相切的圆的方程.
19.【解析】
(1)焦点F为(1,0)
,则直线
l:
yk(x1)
,
yk(x1)联立方程组,得
y24x
k2x2(2k24)xk20
,
y
A
令
A(x,y),B(x,y),则xx112212
2k
2
k
4
2
,
xx1
12
.
-1O
Fx
根据抛物线的定义得
ABxx28
12
,
B
即
2k
2
k
4
2
6,解得k1(舍去k1
),
yx1
所以l的方程为
;
(2)设弦AB的中点为M,由
(1)知
xx
12
2
3,所以M的坐标为(3,2)
,
则弦AB的垂直平分线为
yx5
,令所求圆的圆心为
(m,5m)
,半径为
r
,
根据垂径定理得
ABm5m1r
22
2
2m
2
12m34
,
由圆与准线相切得
m1
2m212m34
,解得
m3
或
m11
.
则所求圆的方程为:
(x3)2(y2)216
或
(x11)2(y6)2144
20.(12分)
如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,PAPBPCAC4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO
平面
ABC
;
(2)若点M在棱BC上,且二面角20.【解析】
(1)证明:
连接OB,
MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
P
6/10
3
x
1x
1
PAPC,O为AC的中点,POAC
,
ABBC22,AC4
,
AB2BC2AC
2
,即
ABBC
,OB
1
2
AC2
,
又
PO23,PB4,则OB
2
PO
2
PB
2
,即OPOB,
ACOBO
,PO
平面
ABC
;
(2)由
(1)知
OB,OC,OP
两两互相垂直,
z
P
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则
B(2,0,0)
,
C(0,2,0)
,
A(0,2,0)
,
P(0,0,23)
,
BC(2,2,0)
,
AP(0,2,23),CP(0,2,23)
令
则
BMBC,[0,1].
OMOBBC(22,2,0),AM(22,22,0)
,
A
O
M
Cy
令平面
PAM的法向量为n(x,y,z)
,
B
x
由
nAP
nAM
2y23z0
(22)x(22)y0
,取
x31,得n(3
1,31,1)
易知平面
PAC
的一个法向量为
m(1,0,0)
,
所以
cosn,m
nm
nm
3(
1)
2
3
(1)3
(1)2
(1)
2
3
(1)7227
cos30
3
2
,
解得
1422(舍去3),即n(3,3,)
3333
,
因为
cosn,CP
nCP
nCP
83
8
4
3
3
4
3
,所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
4
21.(12分)
已知函数
f(x)exax2
.
(1)若a1,证明:
当x0时,f(x)1
;
(2)若
f(x)
在
(0,)
只有一个零点,求
a
.
21.【解析】
(1)方法1:
欲证明当
x0
时,
f(x)1
,即证明
ex
x21
1
.
令
g(x)
x
e
2
x
1
,则
g
(x)
e
x
(x21)2xex(x1)2e2222
x
0
,
7/10
ex0
0
0
0
2
2
则
g(x)
为增函数,
g(x)g(0)1
,得证.
方法2:
a1
时,
f(x)exx2,则f(x)ex2x
,
令
f
(x)g(x)
,则
g
(x)ex2
,
x[0,ln2)时,g
(x)0,g(x)
为减函数,
x(ln2,)时,g
(x)0,g(x)
为增函数,
所以
g(x)
min
g(ln2)22ln20,即当x0时,f
(x)0,f(x)
为增函数,
所以
f(x)f(0)1
,
因此
a1
,
x0
时,
f(x)1
.
(2)方法1:
若
f(x)
在
(0,)
只有一个零点,则方程
e
x
x
2
a
只有一个实数根.
令
h(x)
e
x
x
2
,等价于函数
yh(x)
的图像与直线
ya
只有一个公共点.
又
h(x)
x2ex2xexx2e
x4x3
x
,
x(0,2)
时,
h
(x)0
,
h(x)
为减函数,
x(2,)
时,
h
(x)0
,
h(x)
为增函数,
所以
h(x)
min
e2
h
(2),x0时h(x),x时h(x)4
.
则
a
e2
4
时,
f(x)在(0,)
只有一个零点.
方法2:
若
f(x)
在
(0,)
只有一个零点,则方程
ex
x
ax
只有一个实数根.
令
h(x)
ex
x
,等价于函数
yh(x)
的图像与直线
yax
只有一个公共点.
当直线
yax
与曲线
yh(x)
相切时,设切点为
(x,)
x
0
,
又
h
(x)
xe
xexx1e
x2x2
x
,则
h
(x)
0
x1ex0ex
0x2xx
00
,此时
ah
(x)
0
e2
4
.
又当
x(0,1)
时,
h(x)0
,
h(x)
为减函数,
y
x(1,)时,h
(x)0,h(x)
为增函数,
所以
h(x)
min
h
(1)e
,
且
x0
时
h(x)
,
x
时
h(x)
.
根据
yh(x)与yax的图像可知,
O12x
a
e2
4
时,函数
yh(x)
的图像与直线yax只有一个公共点,即
f(x)在
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