数学阶段性整理1.docx
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数学阶段性整理1.docx
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数学阶段性整理1
第二题:
如图,在△ABC中,∠BAC=60∘,∠ABC=90∘,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为___.
过点B作EF⊥l2,交l1于E,交l3于F,在Rt△ABC中运用三角函数可得
BC
AB
=
3
,易证△AEB∽△BFC,运用相似三角形的性质可求出FC,然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC,再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值.
如图,过点B作EF⊥l2,交l1于E,交l3于F,如图。
∵∠BAC=60∘,∠ABC=90∘,
∴tan∠BAC=BCAB=3√.
∵直线l1∥l2∥l3,
∴EF⊥l1,EF⊥l3,
∴∠AEB=∠BFC=90∘.
∵∠ABC=90∘,
∴∠EAB=90∘−∠ABE=∠FBC,
∴△BFC∽△AEB,
∴FCEB=BCAB=3√.
∵EB=1,∴FC=3√.
在Rt△BFC中,
BC=BF2+FC2−−−−−−−−−−√=22+(3√)2−−−−−−−−−√=7√.
在Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAC=3√2,
AC=2BC3√=27√3√=221−−√3.
故答案为221−−√3.
相似三角形的判定与性质,平行线之间的距离,勾股定理
第二题:
如图,在△ABC中,∠BAC=60∘,∠ABC=90∘,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为___.
第三题
如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A. D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为___.
先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点,再由CD⊥AB,FG∥CD可知FG是△ACD的中位线,故可得出CG的长,再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线,故可得出GE的长,由此可得出结论.
∵点A. D关于点F对称,
∴点F是AD的中点。
∵CD⊥AB,FG∥CD,
∴FG是△ACD的中位线,AC=18,BC=12,
∴CG=12AC=9.
∵点E是AB的中点,
∴GE是△ABC的中位线,
∵CE=CB=12,
∴GE=12BC=6,
∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27.
故答案为:
27.
三角形中位线定理,等腰三角形的性质,轴对称的性质
第三题
如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A. D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为___.
第四题
2014?
玉林)给定直线l:
y=kx,抛物线C:
y=ax2+bx+1.
(1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶�
(2014?
玉林)给定直线l:
y=kx,抛物线C:
y=ax2+bx+1.
(1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶点,B与A关于原点对称,求a的值;
(2)若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′,则无论非零实数k取何值,直线l′与抛物线C都只有一个交点.
①求此抛物线的解析式;
②若P是此抛物线上任一点,过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点,O为原点.求证:
OP=PQ.
(1)∵l:
y=kx,C:
y=ax2+bx+1,当b=1时有A,B两交点,
∴A,B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1,即ax2+(1-k)x+1=0.
∵B与A关于原点对称,
∴0=xA+xB=
k?
1
a
,
∴k=1.
∵y=ax2+x+1=a(x+
1
2a
)2+1-
1
4a
,
∴顶点(-
1
2a
,1-
1
4a
)在y=x上,
∴-
1
2a
=1-
1
4a
,
解得a=-
1
4
.
(2)①∵无论非零实数k取何值,直线l′与抛物线C都只有一个交点,
∴k=1时,k=2时,直线l′与抛物线C都只有一个交点.
当k=1时,l′:
y=x+2,
∴代入C:
y=ax2+bx+1中,有ax2+(b-1)x-1=0,
∵△=(b-1)2+4a=0,
∴(b-1)2+4a=0,
当k=2时,l′:
y=2x+5,
∴代入C:
y=ax2+bx+1中,有ax2+(b-2)x-4=0,
∵△=(b-2)2+16a=0,
∴(b-2)2+16a=0,
∴联立得关于a,b的方程组
(b?
1)2+4a=0
(b?
2)2+16a=0
,
解得
a=?
1
4
b=0
或
第四题
2014?
玉林)给定直线l:
y=kx,抛物线C:
y=ax2+bx+1.
(1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶�
(2014?
玉林)给定直线l:
y=kx,抛物线C:
y=ax2+bx+1.
(1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶点,B与A关于原点对称,求a的值;
(2)若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′,则无论非零实数k取何值,直线l′与抛物线C都只有一个交点.
①求此抛物线的解析式;
②若P是此抛物线上任一点,过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点,O为原点.求证:
OP=PQ.
第五题
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-1),且对称轴为直线x=2,点P、Q均在抛物线上,点P位于对称轴右侧,点Q位于对称轴左侧,PA垂直对称轴于点A,QB垂直对称轴于点B,且QB=PA+1,设点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式
(2)求点Q的坐标(用含m的式子表示)
(3)请探究PA+QB=AB是否成立,并说明理由
(4)抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)经过Q、B、P三点,若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1:
5的两部分,直接写出此时m的值.
解:
(1)∵抛物线y=
+bx+c经过点(1,-1),且对称轴为在线x=2,
∴
,解得
.
∴这条抛物线所对应的函数关系式y=
-4x+2;
(2)∵抛物线上点P的横坐标为m,
∴P(m,
-4m+2),
∴PA=m-2,
QB=PA+1=m-2+1=m-1,
∴点Q的横坐标为2-(m-1)=3-m,
点Q的纵坐标为
-4(3-m)+2=
-2m-1,
∴点Q的坐标为(3-m,
-2m-1);
(3)PA+QB=AB成立.理由如下:
∵P(m,m2-4m+2),Q(3-m,
-2m-1),
∴A(2,
-4m+2),B(2,
-2m-1),
∴AB=(
-2m-1)-(
-4m+2)=2m-3,
又∵PA=m-2,QB=m-1,
∴PA+QB=m-2+m-1=2m-3,
∴PA+QB=AB;
(4)∵抛物线y=
+
x+
(
≠0)经过Q、B、P三点,
∴抛物线y=
+
x+
的对称轴为QB的垂直平分线,
∵对称轴把四边形PAQB分成面积为1:
5的两部分,
∴
×
×
=
×[
(2m-3)]×(2m-3),
整理得,(2m-3)(m-3)=0,
∵点P位于对称轴右侧,
∴m>2,
∴2m-3≠0,
∴m-3=0,
解得m=3.
第五题
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-1),且对称轴为直线x=2,点P、Q均在抛物线上,点P位于对称轴右侧,点Q位于对称轴左侧,PA垂直对称轴于点A,QB垂直对称轴于点B,且QB=PA+1,设点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式
(2)求点Q的坐标(用含m的式子表示)
(3)请探究PA+QB=AB是否成立,并说明理由
(4)抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)经过Q、B、P三点,若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1:
5的两部分,直接写出此时m的值.
第六题
如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60∘,过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.
(1)求证:
△ADP∽△BDA;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若AD=2,PD=1,求线段BC的长。
(1)首先作⊙O的直径AE,连接PE,利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案;
(2)首先在线段PC上截取PF=PB,连接BF,进而得出△BPA≌△BFC(AAS),即可得出PA+PB=PF+FC=PC;
(3)利用△ADP∽△BDA,得出
AD
BD
=
DP
DA
=
AP
AB
,求出BP的长,进而得出△ADP∽△CAP,则
AP
CP
=
DP
AP
,则AP2=CP•PD求出AP的长,即可得出答案.
(1)证明:
作⊙O的直径AE,连接PE,
∵AE是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,
∴∠DAE=∠APE=90∘,
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90∘,
∴∠PAD=∠E,
∵∠PBA=∠E,∴∠PAD=∠PBA,
∵∠PAD=∠PBA,∠ADP=∠BDA,
∴△ADP∽△BDA;
(2)PA+PB=PC,
证明:
在线段PC上截取PF=PB,连接BF,
∵PF=PB,∠BPC=60∘,
∴△PBF是等边三角形,
∴PB=BF,∠BFP=60∘,
∴∠BFC=180∘−∠PFB=120∘,
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120∘,
∴∠BPA=∠BFC,
在△BPA和△BFC中,⎧⎩⎨⎪⎪∠PAB=∠FCB∠BPA=∠BFCPB=FB,
∴△BPA≌△BFC(AAS),
∴PA=FC,AB=CB,
∴PA+PB=PF+FC=PC;
(3)∵△ADP∽△BDA,
∴ADBD=DPDA=APBA,
∵AD=2,PD=1,
∴BD=4,AB=2AP,
∴BP=BD−DP=3,
∵∠APD=180∘−∠BPA=60∘,
∴∠APD=∠APC,
∵∠PAD=∠E,∠PCA=∠E,
∴∠PAD=∠PCA,
∴△ADP∽△CAP,
∴APCP=DPAP,
∴AP2=CP⋅PD,
∴AP2=(3+AP)⋅1,
解得:
AP=1+13−−√2或AP=1−13−−√2(舍去),
∴BC=AB=2AP=1+13−−√.
圆的综合题,全等三角形的判定与性质,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质
第六题
如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60∘,过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.
(1)求证:
△ADP∽△BDA;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若AD=2,PD=1,求线段BC的长。
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