第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛答案.docx
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第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛答案
第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛答案
计算
【解】
有三张卡片,在它们上面各写有一个数字(图43)。
从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排起来,可以得到不同的一位数、二位数、三位数。
请你将其中的素数都写出来。
【解法】我们知道,一个比1大的自然数,如果除了1和它本身,不再有别的约数,那末这个数就叫做质数,也叫做素数。
我们先回想一下被3整除的判定法则:
如果一个数的各位数字之和能被3整除,那末这个数也能被3整除。
因为三张卡片上的数字分别为1,2,3。
这三个数字的和为6,能被3整除,所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除,因此不可能是素数。
再看二张卡片的情形。
因为1+2=3,根据同样的道理,用1,2组成的二位数也能被3整除,因此也不是素数。
这样剩下要讨论的二位数只有13,31,23,32这四个了。
其中13,31和23都是素数,而32不是素数。
最后,一位数有三个:
1,2,3。
1不是素数。
2和3都是素数。
总之,本题中的素数共有五个:
2,3,13,23,31。
答:
共有五个素数:
2,3,13,23,31。
【分析与讨论】这道题主要考察问学们对素数概念的掌握以及整除的基本规律(如被3整除的特点)。
当然,如果将二张卡片组成的所有数都写出来,再一个一个地分析,也可以做出来。
但这样做是不可取的。
有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?
【解法】把碎石沉没在水中,水面升高所增加的体积,就等于所沉入的碎石的体积。
因此,沉入水池中的碎石的体积是
3米×3米×0.06米=0.54米3
而沉入小水池中的碎石的体积是
2米×2米×0.04米=0.16米3
这两堆碎石的体积一共是
0.54米3+0.16米3=0.7米3。
把它们都沉入大水池里,大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3。
而大水池的底面积是
6米×6米=36米2。
所以水面升高了:
在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),如图44。
小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔。
他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔。
他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔。
最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔。
你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?
【解法】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号;A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3,4,……B孔的编号就是圆圈上的孔数。
我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?
很容易看出应在1,4,7,10,……上。
也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1。
按题意,小明最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1。
同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A,就意味着总孔数是7的倍数。
如果将孔数减1,那么得数是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数。
这个15的倍数加上1就等于孔数,而且能被7整除。
注意15被7除余1,所以15×6被7除余6,15的6倍加1正好被7整除。
我们还可以看出,15的其他(小于7的)倍数加1都不能被7整除,而15×7=105已经大于100,7以上的倍数都不必考虑。
因此,总孔数只能是15×6+l=91。
答:
圆圈上共有91个孔。
【分析与讨论】这道题其实是下面一类问题的特殊情形。
一般的问题是:
有一个未知整数,只知道它被某几个整数除后所得的余数,求这个整数。
中国古代数学名著《孙子算经》中,已经有解决这类问题的一般方法了。
这个方法在国际上被普遍称为“中国余数定理”。
华罗庚教授曾为高小初中学生写过一本小册子《从孙子的“神奇妙算”谈起》,深入浅出地介绍了解决这个问题的巧妙方法,还由此引伸出其他一些很有趣的问题,极富启发性。
这本小册子已被选入《华罗庚科普著作选集》(上海教育出版社),有兴趣的同学可以读读。
试将1,2,3,4,5,6,7分别填入图45的方框中,每个数字只用一次:
使得这三个数中任意两个都互质。
其中一个三位数已填好,它是714。
【解法】我们知道,如果两个数的最大公约数是1,那末这两个数就叫做互质数。
已经填好的三位数714是个合数,它的质因数分解是
714=2×3×7×17。
使得这三个数中任意两个都互质。
其中一个三位数已填好,它是714。
由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5,6中只能选5,也就是说,第三行的一位数只能填5。
现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2,3,6这三个数字。
因为任意两个偶数都有公约数2,因此不互质。
而714是偶数,所以第二行的三位数不能是偶数,也就是说,2和6不能填在个位上,因此个位数只能是3。
这样一来,第二行的三位数只能是263或623。
但是623能被7整除,所以623与714不互质。
最后来看263这个数。
通过检验可知:
714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质。
显然,263与5也互质。
因此,714,263和5这一个数两两互质。
答:
填法是:
图47是一张道路图,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。
请问小王从A出发走到B,最快需要几分钟?
【解法1】为叙述方便,我们把每个路口都标上字母,如图48、图49所示
首先我们将道路图逐步简化。
从A出发经过C到B的路线都要经过DC和GC。
面从A到C有两条路线可走:
ADC需时间14+13=27(分钟);AGC需时间15+11=26(分钟)。
我们不会走前一条路线,所以可将DC这段路抹去。
但要注意,AD不能抹去,因为从A到B还有别的路线(例如AHB)经过AD,需要进一步分析。
由G到E也有两条路线可走:
CCE需16分钟,GIE也是16分钟。
我们可以选择其中的任一条路线,例如选择前一条,抹掉GIE。
(也可以选择后一条而抹掉CE。
但不能抹掉GC,因为还有别的路线经过它。
)这样,道路图被简化成图49的形状。
在图49中,从A到F有两条路线,经过H的一条需14+6+17=37(分钟),经过G的一条需15+11+10=36(分钟),我们又可以将前一条路线抹掉(图50)。
图50中,从C到B也有两条路线,比较它们需要的时间,又可将经过E的一条路线抹掉。
最后,剩下一条最省时间的路线(图51),它需要15+11+10+12=48(分钟)。
答:
最快需要48分钟。
【解法2】要抓住关键点C。
从A到B的道路如果经过C点,那么,从A到C的道路中选一条最省时间的,即AGC;从C到B的道路中也选一条最省时间的,即CFB。
因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的,即AGCFB。
它的总时间是48分钟。
剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB,看那个更省时间。
不经过C点的道路只有两条:
①ADHFB,它需要49分钟;②AGIEB,它也需要49分钟。
所以,从A到B最快需要48分钟。
【分析与讨论】上面的简化过和并不需要逐一画图,只要在原图上将准备抹掉的路段打上记号,就能很快找出需时最短的路线来。
即使更复杂的道路图,也很容易得到简化。
图52是稍为复杂一些的道路图,图中数字意义与本题相同。
请同学们试用上面的逐步简化方法求出从A到B的最短时间。
本题在应用数学中有个专门的名称,叫做“最短路线问题”。
最短路线问题在交通运输、计划规划等许多方面都有广泛的应用。
在实际问题中,道路图往往很复杂,要找出从A到B的所有路线是很困难的。
因此,象上面这样的间化方法,就十分必要了。
梯形ABCD的中位线EF长15厘米(见图53),∠ABC=∠AEF=90°,G是EF上的一点。
如果三角形ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5,那么EG的长是几厘米?
[解]梯形ABCD的面积等于EF×AB,而三用形ABC的面积等于(1/2)EG×AB,因此三角形ABG和梯形ABCD的面积比等于(1/2)EG与EF的比。
由题目的条件,三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的1/5,或者说EG是EF的2/5。
因为EF长15厘米.EG的长就是15厘米×2/5=6厘米
答:
EG长6厘米。
[分析与讨论]在本题中,假设∠ABC=∠AEG=90°,这个条件其实是多余的。
只是考虑到小学同学可能还没有学过有关中位线的性质,才加上这个条件的。
有兴趣的同学可以考虑一下,如果去掉这个条件,这一题应该怎样做?
有三堆砝码,第一堆中每个法码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克。
请你取最少个数的砝码,使它们的总重量为130克写出的取法:
需要多少个砝码?
其中3克、5克和7克的砝码各有几个?
[解法]为厂使问题简化,我们首先分析一下这三排砝码之间的关系。
很明显,一个3克的破码加上一个7克的砝码正好等于两个5克的砝码(都是10兑)。
因此,如果用一个3克的砝码和一个7克的砝码去替换两个5克的砝码,砝码的个数及总重量都保持不变。
这样一来,我们就可以把5克砝码两个两个地换掉,直到只剩一个5克的砝码或者没有5克砝码为止。
这样就将问题归结为下面两种情形:
一、所取的砝码中没有5克砝码。
很明显,为了使所取的砝码个数尽量少,应该尽可能少取3克砝码,而130克减去3克砝码的总重量应该是7无的倍数。
计算一下就可以知道,取0个、1个、2个、3个、4个、5个3克砝码,所余下的重量都不是7克的倍数。
面如果取6个3克砝码,则130-3克×6=112克=7克×16。
于是可以取16个7克砝码和6个3个克砝码,总共22个砝码,
二、所取的砝码中有一个5克的。
那么3克和7克砝码的总重最是130克-5克=125克、和第一种情形类似,可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码,这样总共有17+2+1=20个砝码。
比较上面两种情形,我们得知最少也取20个砝码。
取法可以就象后十种情形那样;2个3克的,1个5克的,17个7克的;当然也可以用两个5克砝码换掉一个3克和1个7克的砝码,例如可以取5个5克的和15个7克的。
答:
最少要取20个砝码,取法如上述。
[分析和讨论]在这个问题中,有三个数(即三种砝码的个数)是可以变的。
上面的解法实质上是先固定一个数(5克砝码的个数)、那么只剩下的个数在变,就比较容易处理了。
如果三个数都在变,就会变得很乱,即使是找到一种只需20个砝码的取法,也很难说清楚为什么这就是最少的。
如果同学们还想冉做一个这样的习题,那么不妨算一下,在本题的条件下,至多可以取多少个砝码?
怎样取?
有5块圆形的花圃,它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米;请将这5块花圃分成两组,分别交给两个班管便两班所管理的面积尽可能接近。
[解法]我们知道,每个圆的面积等于直径的平方乘以(π/4)。
现在要把5个圆分组,两组的总面积累尽可能接近或者说;两组总面积的比尽可能接近!
由于每个圆面积都有因子(π/4)。
而我们关心的只是面积的比,所以不把这个共同的因索都去掉,而把问题简化为:
将5个圆公成两组,使两组圆的直径的个方和尽可能接近。
5个圆的直径的平方分别是:
9,16,25,64,81。
这5个数的和是195。
由于195是奇数,所以不可能把这5个数分成两组,使它们的和相等。
另一方面.81+16=97,9+25+24=98天者仅相差1,这当是我样期望的最佳分配了。
答:
应该把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理,其余三个花圃交给另一个班管理。
[分析与讨论]这个题目和“华罗庚金杯”赛第一届初赛第18题属于同一类型。
做这个题目时,如果先每花圃的面积、再根据面积来分组,计算量就太大了。
将这个因数去掉,只考虑直径的平方,就使问题大大简化。
一串数排成一行,它们的规律是这样的:
头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,
问:
这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数?
[解法]观察一下已经写出的数就会发现,每隔两个奇数就有一个偶数。
如果再算几个数,会发现这个规律仍然成立。
这个规律是不难解释的:
因为两个奇数的和是偶救,所以两个种数后面一定是偶数。
另一方面,一个奇放和一个偶数的和是奇数,所以偶数后面一个是奇数,再后面一个还是奇数。
这样,一个偶数后面一定有连续两个奇数,而这两个奇数后面一定又是偶数,等等。
因此,偶数出现在第三、第六、第九……第九十九个位子上。
所以偶数的个数等于100以内3的倍数的个数,它等于99÷3=33。
答:
这串数的前100个数中共有33个偶数。
[分析与讨论]本题给出的这串数叫做“菲波那西数列”,又叫“兔子数列”,它有许多有趣的性质。
有兴趣的同学可以想想:
在这串数的前1000个数中,有多少个3的倍数?
有多少个11的倍数?
王师傅驾车从甲地开乙地交货。
如果他往返都以每小时60公里的速度行驶,正好可以按时返回甲地。
可是,当到达乙地时、他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55公里,如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?
[解法]根据题意,如果王师傅往返都以每小时60公里的速度行驶,正
傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55公里/小时,这样一来、实际行驶1
按时返回甲地,王师傅从乙地返回甲地时,行驶1公里所花的时间必须比原
此王师傅往回开的速度应是66公/小时。
答:
王师傅应以66公里/小时的速度往回开。
图54大圈是400米跑道,由A到B的跑道长是200米,直线距离是50米。
父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼,儿于跑大圈,父亲每跑到B点便沿各直线跑。
父亲每100米用20秒,儿子每100米用19秒。
如果他们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时,第一次与父亲再相遇?
[解法]首先我们要注意到:
父亲和儿子只能在由A沿反时针方向到B这一段跑道上相遇。
而且儿子比父亲跑得快,所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲。
儿子跑一圈所用的时间是19×(400∪÷100)=76,也就是说,儿了每过76秒到达A点一次。
同样道理,父亲每过50秒到达A点一次。
在从A到B逆时针方向的一段跑道上,儿子要跑19×(200∶100)=38秒,父亲垫跑20×(200÷100)=40.因此,只要在父亲到达A点后的2秒之内,儿子到达A点,儿子就能从后面追上父亲。
于是,我们需要找76的一个整数倍(这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数),它比50的一个整数倍大,但至多大2。
换句话说,以找76的一个倍数,它除以50的余数在0到2之间,这试一下就可以了:
76÷50余26,76×2÷50余2,正合我们的要求。
因此.在父子办第一次相遇时,儿子已跑完2圈,也就是正在跑第3圈。
答:
儿子在跑第3圈时,第一次与父亲再相遇。
[分析与讨论]严格地说,一面用的“试除”的方法不是好方法。
在一般情况下,还是应该先看看76的倍数除以50的余数有什么规律,有兴趣的同学可想一想:
儿子在跑第几圈时,第二次与父亲再相遇?
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