不等式的概念和基本性质.docx
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不等式的概念和基本性质
不等式的概念和基本性质
重点:
不等式的基本性质
难点:
不等式基本性质的应用
主要内容:
1.不等式的基本性质
(1)a>b
b (2)a>b,b>c a>c (3)a+b a a>b a+c>b+c (4)a>b 2.不等式的运算性质 (1)加法法则: a>b,c>d a+c>b+d (2)减法法则: a>b,c>d a-d>b-c (3)乘法法则: a>b>0,c>d>0 ac>bd>0 (4)除法法则: a>b>0,c>d>0 > >0 (5)乘方法则: a>b>0,an>bn>0(n∈N,n≥2) (6)开方法则: a>b>0, > >0 (n∈N,n≥2) 3.基本不等式 (1)a∈R,a2≥0 (当且仅当a=0时取等号) (2)a,b∈R,a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取等号) (3)a,b∈R+, ≥ (当且仅当a=b时取等号) (4)a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc (当且仅当a=b=c时取等号) (5)a,b,c∈R+, ≥ (当且仅当a=b=c时取等号) (6)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 4.不等式的概念和性质是进行不等式的变换,证明不等式和解不等式的依据,应正确理解和运用不等式的性质,弄清每条性质的条件与结论,注意条件与结论之间的关系。 基本不等式可以在解题时直接应用。 例1.对于实数a,b,c判断以下命题的真假 (1)若a>b,则ac (3)若aab>b2; (4)若a|b|; (5)若a>b, > 则a>0,b<0. 解: (1)因为c的符号不定,所以无法判定ac和bc的大小,故原命题为假命题。 (2)因为ac2>bc2,所以c≠0,从而c2>0,故原命题为真命题。 (3)因为 所以a2>ab ① 又 所以ab>b2 ② 综合①②得a2>ab>b2 故原命题为真命题. (4)两个负实数,绝对值大的反而小.故原命题为真命题. (5)因为 所以 所以 从而ab<0 又因a>b 所以a>0,b<0. 故原命题为真命题. 例2.已知f(x)=ax2-c且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f(3)的范围. 解: 由题意可知: ∴ ∴f(3)=9a-c= f (2)- f (1) ∴运算可知 -1≤f(3)≤20 错解: 依题设有 ① 消元,得 ② ∵f(3)=9a-c ∴-7≤f(3)≤26 错因: 根源在于不等式组①与不等式组②并不等价,不等式组②扩大了不等式组①的解的范围,同向不等式在多次相加时要谨慎,一定要检查其同解性. 例3.设a,b是不相等的正数: A= G= H= Q= 试比较A、G、H、Q的大小. 解: 由于a,b为不相等的正数. 所以: G-H= - = - = = = >0
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- 关 键 词:
- 不等式 概念 基本 性质