《认识二元一次方程组》参考教案.docx

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《认识二元一次方程组》参考教案

5.1认识二元一次方程组

●教学目标

（一）教学知识点

1．体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

2．二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．

（二）能力训练要求

1．通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型．

2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．

（三）情感与价值观要求

1．体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识．

2．通过对学生熟悉的传统内容（如鸡兔同笼）的讨论，激发学生学习数学的兴趣．

●教学重点

1．通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型．

2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．

●教学难点

1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．

2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．

●教学方法

学生自主探索——教师引导的方法．

学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础．在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组．

●教具准备

投影片三张：

第一张：

老牛和小马的对话（记作§5.1A）；

第二张：

“希望工程”义演（记作§5.1B）；

第三张：

做一做（记作§5.1C）．

●教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

”谁能用我们学过的知识来解答一下呢？

［生］解：

设鸡有x只，则兔有（35－x）只，根据题意，可得：

2x+4（35－x）=94

解得x=23

∵35－x=35－23=12

答：

鸡有23只，兔有12只．

［生］不用方程也可以解答：

如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了．接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡．

［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学．我们用掌声鼓励他们．接下来，老师说一种新的思路．在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：

鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94．如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94．

这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组．

Ⅱ．讲授新课

出示投影片（§5.1A），并讨论回答下列问题．

有这么一段对话：

老牛和小马驮着包裹走在路上．

老牛：

累死我了！

小马：

你还累？

这么大的个儿，才比我多驮2个．

老牛：

哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！

小马：

真的？

！

请问：

老牛和小马各驮了多少包裹呢？

［师生共析］设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹．从老牛和小马的对话中，我们可以探索到其中的等量关系：

①老牛驮的包裹－小马驮的包裹数=2，②老牛驮的包裹数+1=（小马驮的包裹数－1）×2．由此我们就可得到方程x－y=2和x+1=2（y－1）．

出示投影片（§5.1B）

星期天，俱乐部举行“希望工程”义演，每张成人票5元，每张儿童票3元．我们共去了8个人，买门票花了34元，请问我们共去了几个成人，几个儿童呢？

如果设我们共去了x个成人，y个儿童，由此你能找到怎样的等量关系？

得到怎样的方程呢？

［生］在上述问题中，我们可以找到的等量关系为：

成人人数+儿童人数=8，

成人票款+儿童票款=34．

由此我们可得方程x+y=8和5x+3y=34．

［师］在上面的两个问题中，我们得到了四个方程：

x－y=2和x+1=2（y－1），x+y=8和5x+3y=34．在这四个方程中，它们有何共同的特点．下面请同学们分组讨论．

（此时，老师可参与到学生的讨论中，引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？

含有未知数的项的次数是几次？

）

［生］上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数的项的次数都是一次．老师，我们能不能把它们叫二元一次方程．因为我国古代就把未知数叫做元，并且它们的未知数的次数是一次．

［师］很好．它们的确都是二元一次方程．但我有一个问题和大家共讨论．我这儿有一个方程6xy－3=2．它也含有两个未知数，且未知数的次数x，y都是一次，它和上面的四个方程一样吗?

［生］不一样．它虽然含有两个未知数，未知数x，y也都是一次的，但6xy这一项即含未知数的项却是二次的．

［师］你真棒．正象这位同学说的，6xy－3=2不是二元一次方程．x－y=2和x+1=2（y－1），x+y=8和5x+3y=34它们才是二元一次方程．能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗？

［生］含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．

［师］接下来，我们讨论下面的问题：

在上面的方程x－y=2和x+1=2（y－1）中，x，y的含义相同吗？

［生］应该相同．在两个二元一次方程中，x都表示老牛驮的包裹数，y都表示小马驮的包裹数，因此x，y的含义是相同的．

［师］也就是说，x、y既满足第一个方程x－y=2，又满足第二个方程x+1=2（y－1）．于是我们把它们联立起来，得

像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．如、

和

都是二元一次方程组．注意在一个方程组中x、y应代表同一个量．

出示投影片（§5.1C）

做一做

（1）x=6，y=2适合方程x+y=8吗？

x=5，y=3呢？

x=4，y=4呢？

你还能找到其他x、y值适合方程x+y=8吗？

（2）x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？

x=2，y=8呢？

（3）你能找到一组x、y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？

（4）从以上三个问题归纳总结什么是二元一次方程的解？

它的解有何特点？

（5）满足何条件的一组值才能做为二元一次方程组的解？

（请同学们分组讨论完成，教师深入学生当中，随时发现同学们讨论问题时的闪光点）

［师生共析］

（1）把x=6，y=2代入方程x+y=8的左边得x+y=6+2=8，左边=右边，所以x=6，y=2是适合方程x+y=8．我们把适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解．因此x=6，y=2即为x+y=8的一组解．

我们会发现x=5，y=3也适合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一组解．

还有没有其他的x，y的值适合方程x+y=8呢？

［生］有．如x=1，y=7;x=4，y=4;x=8，y=0;……

［生］我发现，只要给出x的一个值，代入x+y=8中，便可得到y的一个值．例如我们设x=－1，则代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9．所以x=－1，y=9适合方程，是方程的一个解．也因此而得到x+y=8的解有无数多个．

［师生共析］

（2）把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左边=5x+3y=5×5+3×3=34．所以x=5、y=3是方程5x+3y=34的一个解．同样x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一个解．我们把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一个解记作

同样

也是方程5x+3y=34的一个解．

（3）由

（1）、

（2）我们可以发现

既是方程x+y=8的一个解，也是5x+3y=34的一个解．我们把这两个二元一次方程的公共解，叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解．例如

就是二元一次方程组

的解．

Ⅲ．例题精析

［例1］

（1）已知方程2xm+2+3y1－2n=17是一个二元一次方程，则m=________，n=________．

（2）方程①y=3x2+x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=2;⑤

+y=0;⑥x+y+z=1;

⑦

+x=4中，是二元一次方程的有_________．

解：

（1）由二元一次方程的定义，得

m+2=1，1－2n=1

∴m=－1，n=0

（2）根据二元一次方程的定义．可知②③⑤是二元一次方程．

评注：

二元一次方程必须要同时符合下列条件的整式方程：

①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是1．

［例2］写出一个以

为解的二元一次方程组．

解：

答案不惟一．只要写出的二元一次方程组的解是

即可．例如

评注：

二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程．

Ⅳ．随堂练习

课本练习的答案

1．解：

设小明买了面值50分的邮票x枚和面值80分的邮票y枚，则可列出方程组．

2．解：

分别将四组数值代入方程2x+y=10的左边，可知：

（1）

代入左边=2x+y=2×（－2）+6=2≠10，即左边≠右边，所以

不是方程2x+y=10的解．

（2）

代入左边=2x+y=2×3+4=10即左边=右边，所以

是方程2x+y=10的解．

（3）

代入左边=2x+y=2×4+3=11即左边≠右边，所以

不是方程2x+y=10的解．

（4）

代入左边=2x+y=2×6+（－2）=10即左边=右边，所以

是方程2x+y=10的解．

3．解：

根据二元一次方程组的解的定义，将四个解分别代入方程组的每一个方程，可得

是方程组

的解．

Ⅴ．课时小结

这节课通过对实际问题的分析，使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模型．在此基础上，我们了解了二元一次方程．二元一次方程组及其解等概念，并学会了判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．

Ⅵ．课后作业

（一）习题5.1

（二）预习课本，体会二元一次方程组是如何转化为一元一次方程问题的．

Ⅶ．活动与探究

求二元一次方程2x+y=7的正整数解．

过程：

我们知道求二元一次方程2x+y=7的正整数解，就是求适合2x+y=7的一组未知数的正整数的值．2x+y=7的解有无数多个，而正整数解只有九个．由等式的性质可由方程2x+y=7得到y=7－2x，由于x，y只能取正整数，所以x=1，2或3．

当x=1时，y=7－2×1=5;

当x=2时，y=7－2×2=3;

当x=3时，y=7－2×3=1．

结果：

二元一次方程2x+y=7的正整数解为

●板书设计

认识二元一次方程组

一、概念

1．二元一次方程

含有两个未知数，并且所含的未知数的项的次数都是1的方程叫二元一次方程．

2．二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组．

3．二元一次方程的解．

4．二元一次方程组的解．

二、例题精讲

例1．（略）

例2．（略）

三、随堂练习

四、课时小结

五、课后作业

●备课资料

一、参考例题

［例1］已知方程8x=

y+4．

（1）用x的代数式表示y．

（2）求当x为何值时，y=12？

分析：

第

（1）小题中，关键是把x看作是已知数，把y看作是未知数，然后按解一元一次方程的解法解；第

（2）小题中把y=12代入方程8x=

y+4实际就是含未知数x的一元一次方程．

解：

（1）去分母，得24x=y+12

移项，得y=24x－12

（2）若y=12，即24x－12=12

∴24x=24，x=1

评注：

将二元一次方程中的一个未知数用另一未知数的代数式表示出来，这个过程实质是方程的一个变形，这种变形的方法是，把二元一次方程看做一元一次方程，其中把要表示的未知数仍看作是未知数，把另一个未知数看作已知数，然后解一元一次方程即可．

［例2］已知

是方程组

的解，求m+n的值．

③　④

①　②

分析：

因为

是方程组

的解，所以

同时满足方程①和方程②，将

分别代入方程①和方程②，可得

则③和④可求出m、n的值．

解：

∵

是方程组的解，所以将其代入原方程组中两个等式仍成立，即

解得

，∴m+n=－1+0=－1

评注：

仔细体会“已知方程组的解”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义．

二、参考练习

1．填空题

（1）已知方程2x2n－1－3y3m－n+1=0是二元一次方程，则m=_________，n=_________．

（2）方程①2x+5y=0;②2x－

=8;③5x+2y=7;④4x－xy=3;⑤

;⑥x－2y2=6;⑦

+y=5中，二元一次方程有_________．（填序号）

（3）若x－3y=2，则7－2x+6y=_________．

（4）若x=1，y=－1适合方程3x－4my=1，则m=_________．

（5）在x－5y=7中，用x表示y=_________；若用y表示x，则_________．

答案：

（1）

（2）①③⑤⑦　（3）7－2x+6y=7－2（x－3y）=7－2×2=3　

（4）－

　（5）

　7+5y

2．选择题

（1）下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

A．

B．

C．

D．

（2）下列各对数中，是方程组

的解是（）

A．

　　　B．

C．

D．均不对

（3）已知

是方程组

的解，则a等于（）

A．

　B．2　

C．1　D．－2

（4）若

是方程3x+y=0的一个解（a≠0）．则有（）

A．a、b异号B．a、b同号

C．a、b同号也可能异号D．以上均不对

答案：

（1）C　

（2）B　（3）A　（4）A

3．已知方程

，求当x=－3时，y的值．

答案：

－3