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全等三角形
初中二年级几何(第二册)
第三章第二单元全等三角形
一、教法建议
【抛砖引玉】
全等三角形这一单元的引入,应从学生实验入手,一让学生拿同一张底片冲洗出来的两张照片,放在一起,能发现什么呢?
二用自己使用一块三角板按在硬纸上,画下图形,照图形裁下来的硬纸和三角板一样.把裁下来的硬纸和三角板放在一起又发现什么呢?
大家可发现,两种试验,两个图形都能完全重合,然后便可适时引入全等形和全等三角形概念等.由此引出:
“全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.”结合图形,讲清楚“对应”这个概念,进一步讲清楚对应边,对应角.以便教会学生找对应边,对应角的方法.对课本P24六种全等变换对学生可介绍.进一步巩固找对应边对应角的关系.对于公理1,教学时,可以直接告诉学生怎样画图,即已知一个三角形,画一个三角形有两条边及其夹角与已知三角形的两边及夹角对应相等的步骤.让学生自己动手画,画完以后,再动手剪剪量量,在这个基础上启发学生想一想,判定两个三角形全等需要什么条件?
这里想通了,对学习后面几个公理有好处,由于学生亲自参与画图,剪量……等实验的全过程,对来源于实践的公理1确信无疑,印象深刻,才能应用公理进行证明.为了让学生熟悉公理,学会用公理证明两个三角形全等,特别是学会把证明过程正确地写出来.一定要学习例题的书写格式,严格按例题的书写格式书写,养成习惯.在应用公理1证明有关问题时,要注意图形的各种变化(如平移,旋转,对称等),注意引导学生观察分析图形,熟悉这些简单变化的图形,可以为后面观察分析复杂图形打下基础.在教学时,始终遵循理论与实践相结合.应用学得知识为生产服务,如P29、例5.对公理2,公理3及直角三角形的判定公理都要从画图实验引入,让学生亲自参与,切入主题.通过练习,发现问题,及时纠正,防患未然.不论学生情况怎样,训练或练习都要围绕掌握三角形全等的判定方法这个中心.使学生在这一阶段,把这项任务完成.
在研究全等形的基础上,通过教学,使学生掌握角平分线性质定理和它的逆定理,能利用它们证明两角相等或两条线段相等,了解原命题和逆命题的关系,能说出题设和结论都很简单的逆命题,通过实例使学生认识原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.
【指点迷津】
找对应边,对应角对学生来说有一定困难.我们结合实例,针对两个三角形不同位置关系,总结出寻找对应边,对应角的规律:
(1)有公共边的,公共边一定是对应边;
(2)有公共角的,公共角一定是对应角;(3)有对顶角的,对顶角是对应角;(4)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最小边(或最小的角)是对应边(或角)等.对于证(解)题思路分析,应该让学生懂得,在探索证明方法的过程中,常会遇到走不通的情况,这时不要畏缩不前,要再认真研究图形与已知条件,联想定理,将问题转化,另找办法.对于证明书写格式一定从严要求,并要注意对应关系,这对以后学习打下良好基础.通过全等三角形学习,向学生指出:
研究线段相等,两角相等,两直线平行,两直线垂直等通常转化为证明两三角形全等,没有条件,可添设辅助线,创造条件,构造全等三角形,达到目的.总之,认真学好三角形全等问题,可为以后学习打下坚实基础.
二、学海导航
【思维基础】
1.能够完全的两个三角形叫做全等三角形,的顶点叫对应顶点,的边叫对应边,互相重合的角叫.
2.全等三角形的相等,相等.
3.判定一般三角形全等的方法有,,,.判定直角三角形全等的方法还有.
4.全等三角形的对应角,对应线段(边、高、中线、角平分线).
5.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离.到一个角两边距离相等的点,在这个角的.角的平分线是到角的两边距离的所有点的集合.
6.如果第一个命题的是第二个命题的,而第一个命题
又是第二个命题的,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫
那么另一个叫做它的.
如果一个定理的经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做定理,其中一个叫做另一个的.
【学法指要】
例1.如图,已知AB∥CD,AD∥BC,F在DC的延长线上,AM=CF,FM交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:
AE=CN.
思路分析:
欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,
设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现
△AME≌△FCN可证.
题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,
可找两对角相等.
∵AD∥BC(已知)
∴∠1=∠E(两直线平行,内错角相等)
∠3=∠D(两直线平行,同位角相等)
∵∠1=∠2(对顶角相等)
∴∠2=∠E(等量代换)
∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠D(两直线平行,同位角相等)
∴∠3=∠4(等量代换).
至此,两三角形全等条件完全具备.
在△AME与△CNF中
∠3=∠4(已证)
∠2=∠E(已证)
CF=AM(已知)
∴△AME≌△CNF(A.A.S)
∴AE=CN(全等三角形的对应边相等)
例2.△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过C的一条直线CE⊥AE于E,BD⊥CE的延长线于D,求证:
AE=BD+DE.
思路分析:
从本例的结论知是求线段和的问题,
由此入手,很难找到突破口.此时可迅速调整思维角
度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由
此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么
AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.
证明:
∵∠ACB=90°(已知)
∴∠2+∠3=∠ACB=90°
∵AE⊥CE,BD⊥CE(已知)
∴∠1+∠2=90°(直角三角形两锐角互余)
∴∠1=∠3(等角的余角相等)
∴∠AEC=∠CDB=90°(垂直定义)
在△ACE与△CBD中
AC=BC(已知)
∠1=∠3(已证)
∠AEC=∠CDB(已证)
∴△ACE≌△CBD(AAS)
∴BD=CE,AE=CD(全等三角形的对应边相等)
∵AE=CE=CE+DE
∴AE=BD+DE(等量代换)
例3.如图,AD是△ABC的中线,DE,DF分别平分∠ADB和∠ADC,连接EF,求证:
EF 思路分析: 由结论EF “三角形两边之和大于第三边”联系在一块,观察图 形,BE,CF,EF条件分散,不在一个三角形中, 必须设法(平移,旋转,翻转等)把三者集中 在一个三角形中,是打开本例思路的关键.由角 的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转 180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在 DA上截取DB'=BD),连结EB',B'F,此时△BDE与△B'DE完全重合,所以△BDE≌△B'DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B'E(全等三角形的对应边相等). ∵AD为△ABC的中线(已知) ∴BD=CD(中线性质) ∵BD=B'D(已证)∴CD=B'D(等量代换) ∴在△CDF与△B'DF中 CD=B'D(已证) ∠CDF=∠B'DF(已知) DF=DF(公用边) ∴△CDF≌△B'DF(SAS) ∴B'F=CF(全等三角形的对应边相等) 在△EFB'中,EF ∴EF 对本例,也可采取平移法把CF平移与BE在一个三角形中(如图),作BF'∥AC交FD的延长线于F',连结BF'.由AD为△ABC中线知: BD=DC. ∵BF'∥AC(由作图知) ∴∠C=∠F'BD(二直线平行,内错角相等) 在△F'BD与△FCD中 ∠C=∠F'BD(已证) BD=DC(已证) ∠F'DB=∠FDC(对顶角相等) ∴△F'BD≌△FCD(ASA) ∴F'B=FC(全等三角形对应边相等) 此时,连结EF',便构造出△BEF',则 BE+BF'>EF'(三角形的两边之和大于第三边).即EF' 对照结论,只要再证EF'=EF便达目的. 由△F'BD≌△FCD(已证) ∴DF'=DF(全等三角形对应边相等) ∵∠EDA=∠ADB,∠FDA=∠ADC(已知) ∴∠EDA+∠FDA=(∠ADB+∠ADC) ∵∠ABD+∠ADC=180°(平角定义) ∴∠EDA+∠FDA=90° ∵∠EDF=∠EDA+∠FDA ∴∠EDF=90° ∵∠EDF'+∠EDF=180°(平角定义) ∴∠EDF'=90° 在△EDF和△EDF'中 ED=ED(公用边) ∠EDF=∠EDF'(已证) DF=DF'(已证) ∴△EDF≌△EDF'(SAS) ∴EF=EF'(全等三角形对应边相等) ∴EF 由例1,例2我们可以发现,要证结论成立,必须知道需要什么条件,即要找什么? 此时便可由题设,再结合准确的图形便可找到需要条件,使思路打通.再一步步写出找到的条件和依据(即依据的定义,定理,已知,已证等),就可写出完整的证明过程,请同学们在具体的实践过程中慢慢就熟悉证明的方法了.当条件分散或者直接找不到题设与结论的关系时,此时便可添设辅助线.但添设辅助线不能盲目,要有“的”放“矢”.一要有利于架设结论与题设的关系;二要有利于充分利用已知条件;三要把分散条件集中一块,有利于沟通关系.把握这几个原则.添设辅助线便可心中有数.架起“桥梁”铺平道路.思路自然顺畅.从例3就向同学们指示了这一规律.望同学们要养成这种添设辅助线的好习惯! 在证明几何问题的道路上会越走越宽,越走越好. 【思维体操】 例已知: 如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点, 求证: BF=CF. 揭示思路: 本例要证BF=CF,要看BF与CF在哪两个 三角形中,即将问题转化为证明全等三角形问题,结合图 形可发现BF与CF在△ABF与△ACF或△BDF与△CDF中,只要证△ABF≌△ACF或△BDF≌△CDF,由两条思路吸引同学们去探索.结合题设,发现这两组三角形都不具备全等条件,使问题搁浅.但结合题设与图形可发现△ABD与△ACD却具备全等条件AB=AC(已知),BD=DC(已知),AD=AD(公用边),给证题提供了有利因素.由它们全等可得∠BAF=∠CAF,这时证△ABF≌△ACF(SAS)便没有阻力.同时由∠ADB=∠ADC可证∠BDF=∠CDF(等角的补角相等),那么△BDF≌△CDF(SAS)也很顺利了,两种思路,残途同归. 扩散一: 已知: 如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点, 且B,F,C在一条直线上,求证: F是BC的中点. 揭示思路: 欲证F是BC的中点,即证BF=CF,与原例所 证结论相同,仿原例思路能行通吗? 当然是可以的.请同学 们写出证明过程.待学完等腰三角形,还有更简捷的证法, 那时你们再探索吧! 扩散二: 已知: 如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证: BF=CF. 揭示思路: F点由AD的延长线上移动至AD上,要证的结论 不变,那么证题的思路沿“老路”走还能走通吗? 两种“老路” 亦然可行.请同学们写出证明过程. 扩散三: 已知: 如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点, 求证: BF=CF. 揭示思路: F点由AD的延长线上移动至AD的反向延长线上, 要证的结论亦然不变.那么证题思路仍重蹈旧辙,是否是轻车熟 路呢? 仍然是一路春风.请同学们完成证明过程. 扩散四: 已知: AB=AC,DB=DC,F是直线AD上一动点(即点F在直线AD上运动),点F在AD上不停的运动.你发现什么规律
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