泊松过程.docx
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泊松过程
作者:
BUG生成器
来源:
知乎
·从一个生活的例子中引出泊松过程
愉快的暑假结束了,同学们陆陆续续来到学校。
在开学当天的上午,学校教导主任开始站在学校门口计数到达学校的同学的个数,每分钟计数一次(单位时间),可能是开学第一天比较清闲,顺便观察一下同学们的精神面貌。
通常在一个短暂的时间段内,单位时间到达学校的人数的数学期望应该是一致的。
这是很容易理解的,毕竟这是一个学生人数众多的学校,在教导主任站在门口的这几个小时内到达学校的人数,相比较学校的总人数是微不足道的,也就是说,这一分钟到达学校人数的期望和下一分钟到达学校的人数的期望是相同的。
同时,对于某一分钟(单位时间),某一个学生在这一分钟到达学校的概率也是相同的,两个同学互不相关,在满足学校到校时间要求的前提下,他们到达学校的时间是自由的。
并且假设每个学生在一分钟内到达学校的概率为P。
这个时候就可以定义随机变量了,假设有n个随机变量,它表示
也就是每个学生都有一个独立的状态,可以是1或者是0,这些所有随机变量加起来就是自观察记录以来到达学校的总人数。
可以看出对于一个确定的时刻t,所有随机变量的和——假设是X,它的概率模型就是比较常见的二项分布。
为什么会是二项分布呢,可能用这种所有学生相互独立的描述方法不易直观理解,那么我们可以这样想,在这样一个确定的时刻,依次询问这个学校所有的学生(不管他有没有到校)有没有到校,那么获得“这个学生已经到校”这个信息的概率是p,“这个学生还没有到校”的概率是1-p。
拿出来一个学生询问就好比做了一次实验,这个实验的结果(这个结果是从开始到时刻t的整个过程决定的,注意理解)为1就计数+1,为0就不计数。
那么现在就可以根据二项分布的概率模型写出随机变量X的分布函数
同时,刚才我们提到单位时间内到达学校的人数的数学期望是相同的。
我们假设这个人数是λ,并且把它称为“到达率”,那么从开始计数到时刻t,随机变量X的数学期望就可以写成是。
而且对于二项分布的概率模型,数学期望有它固有的表达形式。
这样我们就可以找到每个学生到达学校的概率p和到达率的关系。
因而上面的X的分布函数就可以改写为
而n表示的是学校的总人数,是一个很大的数字,这个时候已经有一种冲动想要计算n趋于无穷的时候X分布律的极限了。
计算过程有点艰辛,放到最后说,这里只展示结果。
没错,这就是泊松过程的表达形式。
这里面一个比较巧妙的地方是,
刚好是
的幂级数展开的每一项。
而后面还乘着一个
,所以很显然把k的所有情况,从0到∞加起来,得到的概率和一定是1。
这从一个侧面印证了概率分布的和为1,同时也让我们更愿意相信这是一个正确的表达式。
剩下的都是纯数学的工作,关于均值、方差、相关函数等,都可以根据定义结合表达式去计算。
有了数学工具,摩拜变摩托。
有兴趣的同学可以看一下我胡乱推导的泊松过程表达式
对其中的某些部分单独变形
这里用到了高等数学中的一个基本的极限。
将它代回原式
而后边的极限部分
这个时候极限的结果要参考分子和分母最高次幂的比值,参考下面取自高等数学知识中的现成极限结论。
因而
从而可以得到最终泊松过程的表达式。
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