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数学教学现代技术
中学数学教学现代技术研究
(讲稿)
0.1现代教育技术运用的意义
多媒体计算机的出现、网络技术的运用,信息时代的到来正在给教育带来深刻的变化。
特别是计算机多媒体融图、文、声于一体的认知工具,改善了认知环境。
人们已经意识到这将使得关于教育、教学的传统观念受到冲击。
将会引起教学手段、方法、模式,甚至导致教学内容、教育思想、教学理论、教学体制的变革。
“计算机辅助数学教学”已经普遍被接受,而且越来越受到人们的重视,“计算机辅助数学教学”的研究正在日益兴起。
出于对“计算机辅助中学数学教学”的兴趣,笔者看过较多的计算机辅助教学的软件、听过一些计算机辅助教学的数学课。
不能否认,一些计算机辅助数学教学的软件、一些计算机辅助教学的课还是很成功的,但是,为使用计算机而使用计算机,为“公开课”而使用计算机、为评比而使用计算机的现象还普遍存在。
本该用嘴巴、黑板能讲得清清楚楚的问题却搬来计算机,老师成了“放映员”。
电脑辅助中学数学教学“辅”在何处?
这个问题并没有引起思考或者足够的重视。
中学数学教学需要电脑辅助!
电脑的运用确实给中学数学教学增添了新的活力。
(1)用电脑创设“情景”,改善认知环境。
在教学《三角形的中位线》时,用《画板》做如下的事情(如图5):
作△ABC,取AB的中点D、AC的中点E,连联结D、E;接着测算出DE,BC,∠ADE,∠AED,∠ABC,∠ACB等,甚至把∠ACB,AB,AC也测量出来(干扰观察),
图1图2
这些数据都动态地展现在屏幕上。
然后让学生观察:
您发现了什么?
学生的任何发现,利用《画板》,只要拖动点A(或B,或C),就可立即验证其正确如何。
这为激发学生的学习兴趣,培养他们的观察力,想象力,归纳等诸能力创设了极好的“情景”,增强了教学的自主性、学生的参与性。
再比如三角函数图象的教学,在
中,传统的教学是就ω的几个有限的取值描图后就加以归纳,如ω取1,2,
。
如图6,您只要用鼠标拖动点A,ω,转动φ,改变它们中的任意一个值,就可以观察图象所发生的变化。
这些手段的运用极大地调动了学生学习的积极性。
所提供的外部刺激也不是单一的,而是多重感官的综合刺激,这对于实现“意义建构”、知识的获取和保持,都是非常有利的。
(2)用电脑辅助,辨析数学概念、理解数学概念。
容易混淆的概念用电脑来认识、辨析,就变得更加清晰,印象就特别深刻。
比如这一节课上的椭圆的离心角、椭圆的半径为终边(x轴为始边)的角,它们的区别与联系,通过电脑的演示来加以认识就十分清楚。
直线的倾斜角与直线斜率的关系仅通过关系式k=tanα来认识是不够的。
如图7,在同一个坐标系中不仅可以动态地显示α值变化时,k值是如何变化的,而且还把函数k=tanα的图象也显示在屏幕上,这对于理解直线的斜率、倾斜角的内在联系、增强教学效果是显而易见的。
(3)电脑辅助教学,使抽象更为形象、微观成为宏观、“数”与“形”相互转化。
数学是抽象的,电脑可把抽象的概念形象化。
用《画板》认识数列的极限,学生可以看到随n的不断增大,
是如何接近常数A的。
而且可以动态地随意展示任何一个区间上的情形,学生不再怀疑在区间(A-ε,A+ε)上有着数列的无限项。
图3图4
图象的平移变换是初中代数的一个难点。
如图8,您只要拖动点T或点B,反复观察图象移动与t的数量关系,就不难明白,当函数式中的t>0时,图象右移,t<0时,图象左移。
形象地显现图象的移动与系数间的关系,从而归纳出平移的规律。
(4)电脑提供了反复学习的机会。
需要反复认识的概念,反复学习的内容,可以把软件拷贝回家再反复学习。
这给学习困难的学生提供了再次学习的机会,把电脑辅助教学“辅”在困难学生的身上。
(5)用电脑来开发学生的智力。
电脑极强、极快的运算功能,图形图象功能,交互性,给数学提供了“实验”、探索的工具,让学生的想象力与创造力得到充分发挥,促进了学生思维能力的发展,素质的提高。
把电脑辅助教学“辅”在智力好的学生身上。
有一个简单而又有趣的“实验”:
△ABC的顶点A在定圆上运动,B、C固定,求△ABC的外心O的轨迹。
学生进行了各种猜测。
用“几何画板”一做,发现是线段。
再仔细想一想,应在“意料之中”(BC的中垂线上)。
“意料之中”吗?
当您拖动点C,使C在圆内时,是直线。
学生们谨慎起来,不再说话。
有一个胆大的学生说,三种情况都有:
当B、C在圆外时,轨迹是线段;当B、C中有一个在圆外、一个在圆内时,轨迹是直线;当B、C都在圆内时,轨迹是射线。
这就对了吗?
仍然把点B、C都放在圆外,但线段BC与圆相交,这时轨迹成为两条射线,……。
这位学生自感有点“冒失”,其他人不敢再说话,沉默了。
学生们的思维得到训练,思维品质得以优化,能力得到培养。
(6)用电脑辅助教学,可以激发学生的学习兴趣。
电脑的交互性,使学生有了参与的机会,也极大地调动了学生的积极性、学习的兴趣。
经常使用《几何画板》,学生不仅对教学内容提高了兴趣,对软件(课件)本身也兴趣浓厚,要求拷贝,带回去再观察、再认识、再体会,游戏不想玩了。
0.2构建现代数学教学模式
0.21现代数学教学模式的意义
多媒体计算机的出现、网络技术的运用、信息时代的到来给数学教育带来深刻的变化。
多媒体计算机融图、文、声于一体的认知工具,改善了认知环境;先进的网络技术,使得人们关于教育、教学的传统观念受到了冲击。
教学手段、教学方法、教学模式正在发生改变,甚至导致教学内容、教育思想、教学理论、教学体制的变革,引发教育革命。
随着计算机走进学校、家庭,教育也向经济一样走向“全球一体化”,教室在“缩小”,学校在“扩大”。
正如比尔·盖茨所说“你的工作场所和你关于教育的观念将被改变,也许被改变得几乎面目全非。
”[3]我们要努力学习现代教育理论,掌握现代教育技术,采取积极的态度来迎接这场革命。
在国际教育改革的探索中,建构主义的理论越来越受到重视。
它吸取了近几十年来哲学、心理学、思维科学、教育研究领域的新成果,结合教学的基本性质和特点,对各科教学作出了全面的阐述,成为教育理论和实际教学的指导性理论。
建构主义理论的核心,即认为“知识不是被动接受的,而是认知主体积极建构的”。
建构主义以这种新的观点,对各科知识的性质、学习的性质、学生的性质等方面展开了它的基本看法。
建构主义认为,数学不是建立在独立于人类思想之外的纯客观的事实上的。
数学的对象是思维对象,是人类的创造与发明,而不是发现。
数学又不是任意创造出来的,它是从已有的数学对象出发,根据科学、生活、生产实践的需要,经人类自身的数学活动而形成。
建构主义认为,既可以用这样的观点来看待整个人类建构的“数学实体”,也可以以这样的眼光来认识学生的性质。
虽然学生要学习的数学都是前人已经建造好了的,但对学生来说,仍是全新的、未知的。
需要每个人再现类似的创造的过程来形成,即学生用自己的活动对人类已有的数学知识建构起自己的正确理解,而不是去仔细地吸收课本上的或教师叙述的现成结论,应该是一个学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思想活动的组织过程。
但是建构主义理论目前还只是一种导向性理论框架,理论层次上的观点并没有简单地引伸出具体的教学模式[2]。
特别是还没有来得及提出应用计算机多媒体技术、网络技术的教学模式。
0.22多媒体技术为实现建构主义理论提供强有力的技术支持
建构主义强调学习的“情景”。
学习环境中的情景必须有利于学生对所学内容的“意义建构”。
这就对教学的设计提出了新的要求,不仅要考虑教学目标的分析,学习者特征的分析以及教学媒体的选择与利用,更要考虑学生建构主义的情景创设。
由于多媒体计算机和网络具有多种特征,一张关于乐器的光盘《乐器》上,可以听到200种乐器的音调和音色,能发现大约1500个实例,超过500张的高清析度的照片和大量文章,还可以用4种不同的方法来研究乐器[3]。
这就把不同媒体信息的各种教学内容组成一个有机的整体,形成建构主义“情景”下的理想认知环境,就能有效地促进学生的认知发展。
这正是建构主义理论显示出强大生命力的原因之一。
传统的教材、文字与语言以及活动的影像无法组成一体化教材,只是以教科书、录音带、录像带各自独立的形式存在,内容也比较单调、枯燥,与多媒体计算机融图、文、声、影像于一体的,丰富多彩的电子教材就无法相比。
建构主义强调学习过程中的“协作”。
“协作”应该发生在学习过程的始终。
协作对学习材料的收集与分析、假设的提出与验证、学习成果的评价直至意义的最终建构都有重要的作用。
在多媒体计算机交互状态下,学生可以按照自己学习的基础、学习的兴趣、学习的层次,选择自己学习的内容、方式,甚至教学的模式。
比如“协商讨论”的模式。
计算机可以象学习伙伴一样和您进行学习交流。
由于计算机强大的计算功能,学生通过计算机收集材料,所提出的假设可以得到及时的验证、反馈。
设想当年费尔玛如果有计算机,一定不会作出
(n∈N)是一个质数的错误判断。
即便如此,也不会要经过92年后才被细心的欧拉所发现。
建构主义强调“会话”。
协作的过程当然也是会话的过程,会话是协作过程不可缺少的环节。
在网络通信技术的应用下,学校“大”了,教室“小”了。
通过网络,学习者之间、学习者与教育者之间可以方便地交流学习内容、学习的成果。
一个学习者可以把另几个学习者的成果进行存储、加工、编辑、变换、控制,以便其他学习者查询、检索、再利用。
可以共享每一学习者的思维成果。
建构主义认为,“意义建构”是学习过程的最终目标。
所要建构的意义是指事物的性质、规律以及事物之间的内在联系。
由于学习方式、教学模式的变革,使学习者在学习过程中始终处于主动探索、主动思考、主动建构意义的认知主体位置,这就不仅有利于建构意义的形成,而且非常有利于建构意义的保持。
建构主义提倡在教师指导下的以学习者为中心的学习,就是强调学习者在学习过程中的认知主体地位,又不忽视教师的主导作用。
学生在教师的帮助下自己动手、动脑,用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料、获得体验,并作类比、分析、归纳,逐渐完成自己的认知过程。
教师应用计算机多媒体技术和网络技术,通过包含图形、图像、声音等其它的多媒体信息,能够为学生更有效地创设符合教学内容要求的情景,可以更强烈地激发学生的学习兴趣,可以更全面、更方便地揭示新旧知识之间联系的线索,还可以提供“自我协商”和“交际协商”的“人机对话”环境,从而更能为学生实现“意义建构”创造了良好的条件。
这样的教学模式显然不同于通过老师滔滔不绝的“讲”来学习数学,而是学生用计算机来“做数学”,形成对结论的感觉、产生自己的猜想,从而留下了深刻的印象。
教师是“意义建构”的帮助者、促进者,而不是知识的提供者与灌输者;学生是信息加工的主体,是意义主动建构者,而不是知识的被动接受者和被灌输的对象。
0.23应用多媒体技术构建现代数学教学模式
(1)利用计算机认知数学概念。
极限是数学教学的一个难点,在传统的一支笔、一块黑板、一张嘴的教学模式下,很难把
随n的不断变化而趋向某个常数或不趋向于某个常数的动态过程显露出来,更不能有一个学生参与的认知环境。
一堂课结束,甚至一段时间下来,一些学生也未弄清ε、N是怎么回事,极限的概念还是不理解,“意义建构”并未完成。
而运用计算机教学工具,可以把数列的通项随n变化的过程动态的显示出来。
学生可以亲自参与,反复实践,反复体验何谓“无限逼近”。
用《几何画板》这一软件教学双曲线的概念,把双曲线(同时也是椭圆)的产生过程(也是课件制作的过程)展现在课堂上,让学生从课件制作的过程中完成双曲线的意义建构[4]。
由于计算机可以进行动态控制,学生从中还可以发现椭圆与双曲线的联系与区别、离心率的大小变化对双曲线的开口的开阔或扁狭(椭圆的扁
平)程度的影响。
图1是一个可以任意转动的二面角。
图形连续转动形成图1的众多画面变换给学生带来的视觉感受,使学生在大脑中形成图形空间变化的印象。
再让学生亲自操作,反复观察在各个不同位置二面角的图形特点,从而纠正长期形成的二维平面思维习惯,认识二面角的概念。
这就是在计算机创设的认知环境下,再加上教师的指导来完成概念的意义构建过程。
(2)用计算机做数学实验。
在传统的教学模式中,教学过程中的一切几乎都是由教师决定的,学生很少有参与实践的机会。
而在交互式计算机的学习环境中,学生不仅可以接受教师的安排而且还可以有自己的设想,可以自己做“数学实验”。
比如函数图象的教学也是一个难点。
函数表达式中参数对图象的影响通常是教师通过一两个不同的参数值作出它们的图象(甚至预先作在小黑板上)就开始进行归纳,学生也只是一知半解的接受。
由于教学环境的死板,信息刺激的单一、单调,印象不可能深刻,达不到应有的教学效果。
在高三学生中,还常常有人弄不清
=2px(p>0)中随p的增大,抛物线的开口变大还是变小。
图象的变换更是一片混乱。
利用计算机强大的运算功能以及图形图象功能进行图象的教学就象有了一个图象“实验室”。
利用教师编制的软件(或选择现成软件),学生可以不断地给一个参数赋值观察图象的变化,也可以同时给几个参数赋值,可以在一个坐标系中作几个函数的图象加以对比。
这一切都非常方便、快捷。
比如函数y=Asin(ωx+Φ)(ω>0)图象的教学。
利用《几何画板》,可以自由地给ω(也可以给A、Φ)赋值(用鼠标拖动即可),观察函数值重复出现的情况,加深周期的印象,归纳周期与ω的关系。
计算机还能显示由其中一个函数图象变换(平移或伸长等)到另一个的动态过程,且可以控制这个过程是迅速的还是缓慢的,以适应不同层次学生的需要。
如果学生的认知还未完成,可到电子阅览室(网络)或把软件拷贝回家,在自己家里(如果有计算机)反复体验,教师不需要在场。
在这样的认知环境下,这样的教学模式下学生学习积极主动,观察能力、归纳能力、思维能力都得到了很好的训练、培养,素质必然得到提高。
(3)用计算机实现“数学的发现”。
多媒体计算机在教学中的使用,给学生以“数学发现”的机会。
学生不仅获取知识、培养了能力、增长了才干,也使他们丰富的想象力与创新能力得到充分的发挥。
传统教学中,仅仅指出当n为奇数时,极坐标方程ρ=2acos(nθ)(a、n为非零常数)表示的是n叶玫瑰线,n为偶数时,表示2n叶玫瑰线。
当时不知是否有学生(或者可以说很少有)提出“n不是自然数时方程表示的曲线是什么样的”问题。
这种教学模式下学生的想象力很难发挥出来,甚至可以说被扼杀,哪能有什么创新。
而在计算机交互模式下,“调皮”的学生,不,应该是想象力丰富、创新能力强的学生,给计算机一个“为难”的值n=3.5。
“奇迹”发生了。
啊,重瓣的玫瑰花!
“数学美”立马展现在您的面前。
再给n=20怎么样,啊,真象“孔雀开屏”。
学习的热情怎不高涨?
再给n=1.1,1.01.1.001,…这不是“圆”吗?
再给n=0.1,0.01,…为什么还是“圆”?
圆心到了原点?
知识间的联系建立,极限的概念得到了运用。
数学学习的兴趣还需要“激发”?
!
我校高一学生利用《几何画板》软件有了许多令教师吃惊的发现,限于篇幅,不再举例。
(4)用计算机进行数学辅导。
课堂的局限性很大,学生课后需要复习,希望课堂的再现,需要课外辅导。
传统教学模式中许多学生一直在“听老师讲”还是“记好课堂笔记”之间举棋不定。
记笔记妨碍听讲,专心听讲又很难课后把老师的课堂教学内容再现,反复学习。
利用计算机教学软件可以很方便的解决这个问题。
上课时学生不必记笔记,大量的时间用在老师指导下的教学活动中(“协商”、“会话”,也不仅仅是“听讲”)。
课后,学生可以根据自己的需要再现课堂教学的任一部分内容,或者再反复地实验、琢磨。
在网络状态下,学生在自己家里也可以向老师提出问题,求得解答。
课后的辅导变得随时随地。
学生还可以针对自己的情况选择不同层次的学习内容,教师不必对每个同学提同一个要求,可以实现分层教学。
传统教学模式,教师很少当面批改作业,作业中出现的错误要等到下一节课才能知晓,得到纠正,而计算机可以对学生的解答立即进行反馈。
计算机还有很强的评价功能。
经过一段时间的学习,或者几道题、一个单元、一个章节,计算机就可作出评价(评分),使你了解学习的效果,鼓励你努力学习。
典型的、反复出现的错误,计算机还可以针对性地让你在这一簿弱环节上反复学习。
(5)用计算机做数学练习。
传统的板演练习只能暴露几个学生的学习情况,代表性不强。
在网络教室中,教师可以根据需要调阅任意一个学生的学习情况,及时发现他们的进度、难处,以便及时地加以纠正。
好的方法、典型的问题、典型的错误可以再展示在大屏幕上或板演到黑板上,或者指示其他同学调阅学习伙伴的学习情况。
同学之间可以利用网络进行讨论。
能力差点的学生可以得到更多的关心。
(6)用计算机实现“问题解决”。
著名的“四色定理”就是1976年美国三个大学生阿普尔(K.Appel)、黑肯(W.Haken)、考齐(J.Koch)利用计算机加以证明的。
在学习数学的过程中,经常会遇到一些难以解决的问题,尤其是与大量的运算有关,或图形有关,或需要动态显示,或需要观察其微观,或需要形象直观的。
运用计算机多媒体工具就能很好的解决这些问题。
“人工智能”计算机还能进行逻辑推理,帮助您解决问题得到新的发现。
中科院院士张景中教授组织开发的新一代智能软件《数学实验室》中的系列软件《数学之门》能进行智能作图(包括平面几何、立体几何)、自动推理(这是该软件的核心,堪称世界第一)、问题解答、练习辅导等智能操作[5]。
目前《几何专家》已经问世,这是一个几何动态作图与定理自动证明(证明过程可以打印出来)的软件。
它不仅帮助用户解决难题,还可以教会用户解题的方法。
根据以上粗浅的分析,利用计算机多媒体技术和网络技术所构建的现代数学教学模式大致可以用下图来表示。
计算机多媒体技术、网络技术的运用,无疑给教育带来了深刻的变革。
这给我们教师,尤其是青年教师提出了新的要求,新的挑战,也带来了新的机遇。
首先要认真学习先进的教育理论,转变教育观念,同时还要努力掌握计算机等现代教育教学技术,这样就能创新数学教学模式,适应新的教学要求,跟上时代的步伐,做一个新时代合格的教育者。
1.几何画板的基本作图工具
1.1“几何画板”的窗口
1.11*标题栏(控制菜单,窗口按纽),
1.12*滚动条
1.13*几何画板工具箱
1.14选择与释放,选取两个以上对象;旋转;随时回到选择工具。
1.15画点工具,点的位置显示在左下角。
(线上的点,圆上的点,给定坐标的点,用计算数据画点)
1.16画线工具,线段、射线、直线,用画图工具画线(注意画线条件),利用
作图菜单画线,线的位置显示在左下角。
1.17画圆工具,用画图工具画圆,(注意画圆条件),移动圆(可以看出画圆条
件),利用作图菜单画线。
1.18文本工具,修改和编辑标签文字(4.0版在标题栏),标签开关,移动标
签。
1.2“几何画板”用户参数设置
1.21*显示参数选择(自动显示标签,字型,度量单位,度量值,字体,等)
1.22*其它高级参数对话框轨迹上的样点数(取大则图象平滑,最大999)
1.3菜单功能简介
几何画板的作图建立在几何的原理和思想之上,不是简单的机械操作,没有对数学(几何)原理的理解,掌握几何画板将是困难的。
理解了作图的几何原理,才能理解有关的操作和操作的方法,才能合理地运用和进行操作,才可能尽快掌握它的功能。
例如,作垂线、平行线,其先决条件是“已知一条直线和一个点”
1.31作线(首先要具备作的条件)
(1)作直线、射线、线段(Shift键)其先决条件是“已知两个点”(用“工具”或“作图”菜单)
(2)作平行线,先决条件是“已知一条直线和一个点”
(3)作垂线,先决条件是“已知一条直线和一个点”
(4)作圆,先决条件是“两个点”,或者“一个点和一条线段”
1.32作对象间的交点
(1)不相交线段的交点(先决条件——两条线),
(2)图上不相交的线,先作交点后,拖动后可显示出交点(p38,12*)。
(3)圆的交点
(4)线与圆的交点
1.33其本工具的运用:
(1)“选择”工具——选择对象,如点、线、圆、弧、轨迹等;
选择若干个对象(拖方框);
——按住左键有“旋转工具”和“缩放工具”。
(2)被选中对象(点、线、圆、弧、轨迹等)出现红框,释放则红框消失。
(3)文本工具:
开关作用——显示标签与否。
修改标签——双击右键可修改标签的字体、大小、颜色
文本编辑——利用文本工具可以编写文字说明;
——用文本工具箱(【编辑】)工具还可编辑复杂数学式;
——智能输入法图标上小键盘也有编辑功能(单击左右键)。
(4)增加作图工具
作图显示参数选择其它高级参数选择设置确定
——“工具箱”中增加一个工具,p126点拨2。
1.34几何变换
(1)平移变换,先决条件是“平移的方向和长度”——向量,平移的对象
*极坐标系下的平移(p67,点拨7)标记角→选定对象→旋转变换→赋以数值,平移方向由角确定,平移距离由数值确定
*上述赋值改为“标记距离”,可在直角坐标系下进行上述平移
(2)旋转变换,先决条件是“旋转中心、旋转角大小和方向(标记角)”,
旋转的对象(标记角具有方向性,由选取对象的顺序决定)
(3)轴反射变换,确定反射轴
(4)缩放变换,缩放比例,缩放中心
课堂练习:
(1)三角形外接圆;
(2)三角形内切圆;
(3)改变标签(字体,字号,颜色)。
2.中学数学教学的基本作图
2.1三角形的垂心(课堂练习)
2.2三角形的内切圆
1.作角平分线
首先要具备作的条件,直接用[作图]工具。
2.作三角形△ABC的内切圆(课堂练习)
具备作的条件,先作角平分线交点
可拖动A、B、C三点,它们是主动点,其它点不能拖动。
3.用文本工具
作三角形的外接圆、改变标签(课堂练习)(垂直平分线交点)
2.3跟踪,动画按纽
1.单圆中点轨迹跟踪(图1)
(1)作“跟踪点”(线段一端点在圆上)
作圆A圆A上点C线段CD
选CD中点E【显示】[追踪点]
(2)作“点在圆A上动画”
选C(圆周)
【编辑】[操作类按纽][动画]
(3)击动画纽,即显示E点轨迹
Esc键轨迹消失,要保留见3。
2.双圆中点跟踪(图2)
在上述动作基础上,
C在A上,D在圆O上——[动画]
3.把跟踪轨迹复制剪贴板上
动画停止后【编辑】
[复制][粘贴](到文档中)
2.4轨迹
1.动线段中点轨迹(一端点在圆周上动)
选中点E、端点C、⊙A
【作图】[轨迹]
2.动线段中垂线轨迹(直线的包络,图3)
选中垂线,C,⊙A【作图】[轨迹]
3.动线段中垂线轨迹和跟踪
以其中一端点为主动点,作中垂线轨迹;
以另一端点为主动点,作中垂线另一轨迹;
作两端点的同时动画,跟踪中垂线轨迹。
2.5被动点的控制
1.到线段端点距离相等的轨迹跟踪(图4)
(1)这个轨迹是“中垂线”
点C是直线AB上动点,两圆半径AC。
做点H、I[跟踪][动画](C在AB上)。
(2)试作“动画纽”、“显示/隐藏纽”(练习)
2.6度量、计算器、制表格和给表格加项
通过作三角形内角和学习这些操作
(1)画三角形ABC,度量∠ABC,∠BAC、∠ACB,
(2)计算三个角之和
打开计算器有两种方法:
双击数据,【度量】[计算]
(3)选取“三个角度”与“内角和”【度量】[制表](出现表格)
(4)移动A点位置双击表格“数据部分”表格增加一列
(或者【度量】[加项])(注:
单击“数据部分“为隐藏表格表头)
(5)选择数据部分【度量】[翻转](纵列排列变横行排列)
2.7圆幂定理(图5)
(1)圆AB,隐藏点B
(2)圆内一点C,过C
(3)作直
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