兰州市中考数学试题解析.docx
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兰州市中考数学试题解析
兰州市2015年中考数学试题解析
2015年兰州市初中毕业生学业考试数学(A)解析者:
浙江省杭州市余杭区临平一中朱兵
一、选择题(本题有15小题,每小题4分,共60分)【答案】C【考点解剖】本题考查的是二次函数的概念【解答过程】所谓二次函数,是指形如的函数,其中,,都是常数,且。
首先,二次函数必须是整式函数,因此D就被排除;其次,函数的形式,那么它的最高次项是二次,并且由,就保证了它一定要含有二次项,所以A也被排除;再来看B和C的区别:
仅从形式上看,似乎没什么区别,但由于二次函数必须要求,也就是说二次项系数必须不能为0,而这一点上,B选项是没有保证的,所以B选项也不对。
这样,只剩下C。
【易错点津】主要看二次项系数是确定的具体的数,还是含有字母的一般的数【归纳拓展】如函数或方程,在没有明确给出字母的取值范围之前,它们未必是关于的二次函数或二次方程【题目星级】★★
【答案】B【考点解剖】本题考查了三视图的相关知识,以及考生的空间概念能力【解答过程】就本题而言,其三视图如图那么容易得知只能是选项B。
【题目星级】★★
【答案】A【考点解剖】本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识【思路点拔】如果将二次函数改写为顶点式:
,那么其顶点为(,),对称轴为直线(也有一些教科书将顶点式表示为的形式,那么其顶点就是(,),对称轴为直线)【解答过程】这四个函数中,对称轴分别是A:
;B:
;C:
;D:
,所以只能是选项A【解题策略】在涉及到二次函数的对称轴问题时,可以将函数改写为顶点式的形式,那么只要令,其对称轴就便可求之。
【题目星级】★★★
【答案】D【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义【思路点拔】直角三角形中,某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比【解答过程】Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB2,∴AC=AB,则cosA=,选D【解题策略】一般地说,在涉及到某个锐角的三角函数值时,只要将之放到直角三角形中去,那么问题往往不难解决。
在直角三角形中,我们将夹角α的那条直角边称为邻边,角α所对的那条边称为对边,那么角阿尔法的各三角函数值分别为,,。
如果原题没有图,那么可以自己在草稿纸上画一个示意图;如果是在斜三角形中,那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来,将问题转化到直角三角形中去解决。
【题目星级】★★
【答案】B【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识【思路点拔】根据题意:
AO:
CO=BO:
DO=5:
2,而位似中心恰好是坐标原点O,所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍,因此选B。
【题目星级】★★★
【答案】C【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质,以及乘法公式中的相关知识。
【知识准备】完全平方公式:
【解答过程】将各选项左边展开,并整理成一般式:
A:
,;B:
,;C:
,;D:
,,因此正确选项为C【思维模式】此类题的关键在于配方【一题多解】由于在配方过程中,需要在方程的两边加上相同的一个数;而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”,其实际上也是在方程两边都加上相等的东西,因此,无论方程如何变形,两边增减的“量”都是相等的,所以本题亦可采用如下方式进行:
在原方程中,取,此时,左边=-1,右边=0,在各选择支中,如果变形是正确的话,左边应该始终比右边的值小1,在时,A左=16,A右=17;B左=16,B右=15,则(即B被排除);C左=16,C右=17;D左=16,D右=15,则;现在留下A、C两个选项,难道两个都是正确的吗?
当然不是。
我们再换一个的值试试:
取,那么原式左边=-8,原式右边=0,也就是说:
在同样的条件下,如果是正确的变形,那么一定是满足左边=右边-8,反之,如果不满足这一条件,那么就一定是错的。
当时,A左=25≠A右-8,所以这里需要提醒注意的是:
这样的方法只能用来排除错误,不能保证正确。
如在本题中,当时,虽然也有C左=C右-8,但不能就此判言C为正确,但因为A,B,D都已被排除,所以唯一留下的C选项必为对的。
再��嗦一句:
上面介绍的“特殊值法”,在本题中其实反而显得很笨拙,但如果换个场合,有可能是一个高效、灵活的解题方法。
【题目星级】★★
【答案】D【考点解剖】本题考查特殊平行四边形的性质和判定【解答过程】略【题目星级】★★★【答案】A【考点解剖】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质【知识准备】一次函数的图象是一条直线,当时,这条直线从左到右是上升的;反之,它是下降的;反比例函数的图象是双曲线,当时,其图象分别位于第一、三两个象限,并且在每个象限(注意:
仅仅是在该象限之内),图象上的点越来越低(从左到右);反之,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每个象限内图象位置越来越高。
【解答过程】观察A:
从直线的方向向下(从左到右),说明其中的;再看双曲线,位于二、四象限,那么其比例系数,这样分析并没有看出什么不妥,但是我们也不宜急于下结论就说A是正确选项,因为或许还有哪个地方没有被我们注意到呢?
观察B:
从直线形态来看,应该有,但是从双曲线的形态来说,又应该是,这里是矛盾的,所以;同样道理,C也是错误的;再看D:
无论是直线还是双曲线,都满足,这里并没有看出什么矛盾。
那么问题来了:
A和D,到底哪个才是正确的选项?
当我们感到山重水复时,如果再静下心来重新读题,很有可能会有新的发现,从而寻找到一条通向柳暗花明之路。
在一次函数中,如果我们将表达式改写为,那么就会发现:
无论取什么值,当时,其函数值都为0,换句话说:
该直线一定通过(1,0)。
从这一点分析,D当然就不符合这样的特征,所以D又被排除了,那么只能选A。
【题目星级】★★★★
【答案】B【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念【知识准备】在同一个圆(或等圆)中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;当圆周角为直角时,其所对的弦是直径。
【解答过程】∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一条弧所对的圆周角,所以它们相等【归纳拓展】在其它类似题目中,我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同;再换一种场合,如果连结AB,还有可能需要说明AB是直径,或者点P在AB上。
【题目星级】★★【答案】B【考点解剖】本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点【知识准备】菱形的四条边相等,对角相等,对角线互相垂直平分;等腰三角形底边上的高线平分底边和顶角。
【思路点拔】由菱形的性质以及现有条件,可得△AEF是正三角形,而正三角形的面积等于边长的平方的倍【解答过程】连结AC和BD,并记它们的交点为G,则有AC⊥BD,且AG=CG,BG=CG,△ABC中,AB=CB,∠ABC=60°,所以△ABC是正三角形,正三角形△ABC中,AE和BG是中线,也是高线,可求得AE=BG=AB=,△BCD中,因为E,F分别是BC,CD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD=BG=,记AC与EF的交点H,因为EF∥BD,AC⊥BD,所以AH⊥EF,且由相似形的性质,可得CH=CG=AC=1,则AH=AC-CH=4-1=3,则。
【题目星级】★★★★
【答案】B【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质【知识准备】所谓某个量,它增长了,意味着增长部分是,那么它就由原来的,增长到了(),也就是【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1(如果你觉得不放心,也可以假设为或等与现有字母不冲突的任何字母),那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天,是在0.9的基础上增加了,那么就是到了;接下去要注意的是:
虽然第二天增长率同样为,但是起步价变了,已经不是0.9,而是前一天收市之后的,它是在的基础上增加到了倍(请注意增加和增加到的区别),因此,现在的股价是,也就是。
【解答过程】跌停后,股价为0.9,连续两天按照的增长率增长后,股价为,根据题意,得方程,那么正确选项为B。
【易错点津】首先必须要分清楚增加(或减少)的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系?
其次,这个基础“1”前后是否发生了变化。
【题目星级】★★★
【答案】D【考点解剖】本题考查反比例函数的图象和性质,以及坐标系中的相关知识点。
【思路点拔】反比例函数的图象关于原点对称,既然,那么必有,所以选D。
【题目星级】★★★
【答案】A【考点解剖】本题考查的是坐标系以及函数的图象的相关知识点【知识准备】以自变量的值为横坐标,以对应函数值为纵坐标所确定的点,称为函数图象上的一个点;所有函数图像上的点所构成的集合,称为函数的图象。
【解答过程】点C坐标为(0,c),因为点C在轴正半轴上,所以CO=,由已知,OA=OC,且点A在轴负半轴,所以A(,0),A(,0)在抛物线上,则,即,因为(否则点C在原点),所以,即,所以选A。
【题目星级】★★★★
【答案】C【考点解剖】本题考查二次函数的图象和性质、直角坐标系中的相关知识点【知识准备】二次函数的对称轴为直线【解答过程】的图象是一条开口向上,对称轴为的抛物线,点P(,)在抛物线上,由图知:
当点P在轴上方()时,对应部分图形在直线左侧,或者直线右侧。
此时,对应的的值(即的值)为,或,所以,;A选项的“当时,”,说的是“当点P在轴下方时,它位于轴的左侧”,由图可以看出:
而这一点未必正确,因为点P也可能在轴的右侧,所以;由图我们看到:
由于抛物线开口向上,且与轴的交于点A和点B,那么抛物线上位于A,B两点之间部分在轴下方;翻过来,当图象居于轴下方时,对应的点必定在直线和直线之间,也就是说:
当时,,所以选C。
【题目星级】★★★★
【答案】A【考点解剖】本题考查的是矩形性质,弧长的计算【知识准备】矩形的对角线相等,且互相平分;半径为,圆心角为的弧的长度为【解答过程】连结OP,由矩形性质知:
OP=MN,且它们相交于中点Q,则当点P沿着圆周转过45°时,点Q在以O为圆心,以OQ=1为半径的圆周上转过45°,因此只要求出以1为半径,45°圆心角所对弧的长便可。
弧长计算公式忘记了怎么办?
没关系,临时推导一下就行:
整个圆的周长是,那么所求弧长就等于45°圆心角在整个周角360°中所占的份额:
,即。
【题目星级】★★★★
二、填空题(本题有5小题,每小题4分,共20分)【答案】2015【考点解剖】本题考查了方程的解的概念【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值,称为方程的解。
【解答过程】因为是方程的解,所以,即,所以【题目星级】★★
【答案】3【考点解剖】本题考查比例的基本性质【解答过程】因为,且,所以,而,即,所以。
【一题多解】因为,所以,,,而,即,因为,所以。
【题目星级】★★★
【答案】10【考点解剖】本题考查概率和频率【知识准备】当独立随机实验的次数足够大时,某现象发生的频率总在概率附近波动【解答过程】由列表知:
摸出黑球的频率约为0.500,所以所有小球的数量约10个【题目星级】★★
【答案】S1=S2【考点解剖】本题考查的是反比例函数的图象,图形的面积变换,平面直角坐标系【知识准备】坐标平面内点P(,)到轴和轴的距离分别是和;,等底等高的两个三角形面积相等【思路点拔】如果点B和点M在原点处,那么我们很容易知道这两个三角形面积是相等的,但现在这两个三角形都在半途,我们自然想到如何将之与△AP
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