高中数学竞赛标准教材第四章几个初等函数的性质.docx
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高中数学竞赛标准教材第四章几个初等函数的性质
高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)
第四几个初等函数的性质
一、基础知识
1.指数函数及其性质:
形如=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞),当0<a<1时,=ax是减函数,当a>1时,=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。
2.分数指数幂:
。
3.对数函数及其性质:
形如=lgax(a>0,a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。
当0<a<1,=lgax为减函数,当a>1时,=lgax为增函数。
4.对数的性质(>0,N>0);
1)ax=x=lg&nt;a(a>0,a1);
2)lg&nt;a&nt;(N)=lg&nt;a+lg&nt;aN;
3)lg&nt;a()=lg&nt;a-lg&nt;aN;4)lg&nt;an=nlg&nt;a;,
)lg&nt;a=lg&nt;a;6)alg&nt;a=;7)lg&nt;ab=(a,b,>0,a,1)
函数=x+(a>0)的单调递增区间是和,单调递减区间为和。
(请读者自己用定义证明)
6.连续函数的性质:
若a<b,f(x)在[a,b]上连续,且f(a)•f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)上至少有一个实根。
二、方法与例题
1.构造函数解题。
例1已知a,b,∈(-1,1),求证:
ab+b+a+1>0
【证明】设f(x)=(b+)x+b+1(x∈(-1,1)),则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立,只需证f(-1)>0且f
(1)>0(因为-1<a<1)
因为f(-1)=-(b+)+b+1=(1-b)(1-)>0,
f
(1)=b++b+a=(1+b)(1+)>0,
所以f(a)>0,即ab+b+a+1>0
例2(柯西不等式)若a1,a2,…,an是不全为0的实数,b1,b2,…,bn∈R,则()•()≥()2,等号当且仅当存在R,使a&nt;i=,i=1,2,…,n时成立。
【证明】令f(x)=()x2-2()x+=,
因为>0,且对任意x∈R,f(x)≥0,
所以△=4()-4()()≤0
展开得()()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根,即存在,使a&nt;i=,i=1,2,…,n。
例3设x,∈R+,x+=,为常数且∈(0,2],求u=的最小值。
【解】u==x+≥x++2•
=x++2
令x=t,则0<t=x≤,设f(t)=t+,0<t≤
因为0<≤2,所以0<≤1,所以f(t)在上单调递减。
所以f(t)in=f()=+,所以u≥++2
当x==时,等号成立所以u的最小值为++2
2.指数和对数的运算技巧。
例4设p,q∈R+且满足lg9p=lg12q=lg16(p+q),求的值。
【解】令lg9p=lg12q=lg16(p+q)=t,则p=9t,q=12t,p+q=16t,
所以9t+12t=16t,即1+
记x=,则1+x=x2,解得
又>0,所以=
例对于正整数a,b,(a≤b≤)和实数x,,z,,若ax=b=z=70,且,求证:
a+b=
【证明】由ax=b=z=70取常用对数得xlga=lgb=zlg=lg70
所以lga=lg70,lgb=lg70,lg=lg70,
相加得(lga+lgb+lg)=lg70,由题设,
所以lga+lgb+lg=lg70,所以lgab=lg70
所以ab=70=2××7
若a=1,则因为xlga=lg70,所以=0与题设矛盾,所以a>1
又a≤b≤,且a,b,为70的正约数,所以只有a=2,b=,=7
所以a+b=
例6已知x1,a1,a1,1且lgax+lgx=2lgbx,求证2=(a)lgab
【证明】由题设lgax+lgx=2lgbx,化为以a为底的对数,得
,
因为a>0,a1,所以lgab=lga2,所以2=(a)lgab
注:
指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。
3.指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。
值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7解方程:
3x+4x+x=6x
【解】方程可化为=1。
设f(x)=,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3
例8解方程组:
(其中x,∈R+)
【解】两边取对数,则原方程组可化为①②
把①代入②得(x+)2lgx=36lgx,所以[(x+)2-36]lgx=0
由lgx=0得x=1,由(x+)2-36=0(x,∈R+)得x+=6,
代入①得lgx=2lg,即x=2,所以2+-6=0
又>0,所以=2,x=4
所以方程组的解为
例9已知a>0,a1,试求使方程lga(x-a)=lga2(x2-a2)有解的的取值范围。
【解】由对数性质知,原方程的解x应满足①②③
若①、②同时成立,则③必成立,
故只需解
由①可得2x=a(1+2),④
当=0时,④无解;当0时,④的解是x=,代入②得>
若<0,则2>1,所以<-1;若>0,则2<1,所以0<<1
综上,当∈(-∞,-1)∪(0,1)时,原方程有解。
三、基础训练题
1.命题p:
“(lg&nt;23)x-(lg&nt;3)x≥(lg&nt;23)--(lg&nt;3)-”是命题q:
“x+≥0”的_________条。
2.如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,则x1+x2=_________
3.已知f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,=f-1(x)是它的反函数,则不等式|f-1(lg2x)|<1的解集为_________。
4.若lg2a<0,则a取值范围是_________。
.命题p:
函数=lg&nt;&nt;2在[2,+∞)上是增函数;命题q:
函数=lg2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条。
6.若0<b<1,a>0且a1,比较大小:
|lga(1-b)|_________|lga(1+b)
7.已知f(x)=2+lg3x,x∈[1,3],则函数=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8.若x=,则与x最接近的整数是_________。
9.函数的单调递增区间是_________。
10.函数f(x)=的值域为_________。
11.设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx•a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________
2.已知不等式x2-lgx<0在x∈时恒成立,则的取值范围是_________
3.若x∈{x|lg2x=2-x},则x2,x,1从大到小排列是_________
4若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=_________
命题p:
函数=lg&nt;2在[2,+∞)上是增函数;命题q:
函数=lg2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条
6.若0<b<1,a>0且a1,比较大小:
|lg&nt;a(1-b)|_________|lg&nt;a(1+b)|
7.已知f(x)=2+lg3x,x∈[1,3],则函数=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________
8.若x=,则与x最接近的整数是_________
9.函数=的单调递增区间是_________
10.函数f(x)=的值域为_________
11.设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx•a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R。
若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________
2.已知不等式x2-lgx<0在x∈时恒成立,则的取值范围是________
3.若x∈{x|lg2x=2-x},则x2,x,1从大到小排列是________
4.若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范围是________
.已知an=lgn(n+1),设,其中p,q为整数,且(p,q)=1,则p•q的值为_________
6.已知x>10,>10,x=1000,则(lgx)•(lg)的取值范围是________
7.若方程lg(x)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数的取值范围是________
8.函数f(x)=的定义域为R,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+=0有7个不同的实数解,则b,应满足的充要条是________
(1)b<0且>0;
(2)b>0且<0;(3)b<0且=0;(4)b≥0且=0。
9.已知f(x)=x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0),则F(x)是________函数(填奇偶性)
10.已知f(x)=lg,若=1,=2,其中|a|<1,|b|<1,则f(a)+f(b)=________
11.设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12.设f(x)=|lgx|,实数a,b满足0<a<b,f(a)=f(b)=2f,求证:
(1)a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0;
(2)3<b<4
13.设a>0且a1,f(x)=lga(x+)(x≥1),
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)若f-1(n)<(n∈N+),求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1.如果lg2[lg(lg2x)]=lg3[lg(lg3x)]=lg[lg(lgz)]=0,那么将x,,z从小到大排列为___________
2.设对任意实数x0>x1>x2>x3>0,都有lg1993+lg1993+lg1993>lg1993恒成立,则的最大值为___________
3.实数x,满足4x2-x+42=,设S=x2+2,则的值为___________
4.已知0<b<1,00<α<40,则以下三个数:
x=(sinα)lgbsina,=(sα)lgbsina,z=(sinα)lgbsina从小到大排列为___________
.用[x]表示不超过x的最大整数,则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________
6.设a=lgz+lg[x(z)-1+1],b=lgx-1+lg[xz+1],=lg+lg[(xz)-1+1],记a,b,中的最大数为,则的最小值为___________
7.若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=,则,由小到大排列为___________
8.不等式+2>0的解集为___________
9.已知a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-1)
10.
(1)试画出由方程所确定的函数=f(x)图象。
(2)若函数=ax+与=f(x)的图象恰有一个公共点,求a的取值范围。
11.对于任意n∈N+(n>1),试证明:
[]+[]+…+[]=[lg2n]+[lg3n]+…+[lgnn]。
六、联赛二试水平训练题
1.设x,,z∈R+且x++z=1,求u=的最小值。
2.当a为何值时,不等式lg•lg(x2+ax+6)+lga3≥0有且只有一个解(a>1且a1)。
3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条;对于任何x,>1及u,v>0,f(xuv)≤[f(x)][f()]①都成立,试确定所有这样的函数f(x)
4求所有函数f:
R→R,使得xf(x)-f(x)=(x-)f(x+)①成立。
.设≥14是一个整数,函数f:
N→N定义如下:
f(n)=,
求出所有的,使得f(199)=199
6.求定义在有理数集上且满足下列条的所有函数f:
f(x+)=f(x)+f()+f(x)•f(),x,∈Q
7.是否存在函数f(n),将自然数集N映为自身,且对每个n>1,f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8.设p,q是任意自然数,求证:
存在这样的f(x)∈Z(x)(表示整系数多项式集合),使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,有
9.设α,β为实数,求所有f:
R+→R,使得对任意的x,∈R+,f(x)f()=2•f成立。
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