集合与简易逻辑习题有详解.docx
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集合与简易逻辑习题有详解
集合与简易逻辑习题
1.全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,4},则下面结论错误的是( )
A.M∩N={2} B.∁UM={3,4}
C.M∪N={1,2,4}D.M∩∁UN={1,2,3}
[答案] D
[解析] ∵∁UN={1,3},∴M∩∁UN={1},故D错,由交、并、补运算的定义知A、B、C均正确.
2.(2011·重庆文,2)设U=R,M={x|x2-2x>0},则∁UM=( )
A.[0,2]B.(0,2)
C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)
[答案] A
[解析] 由x2-2x>0得x>2或x<0.
∴∁UM=[0,2].
3.(文)(2010·黑龙江哈三中)设集合A={x|y=
},B={y|y=2x,x>1},则A∩B为( )
A.[0,3]B.(2,3]
C.[3,+∞)D.[1,3]
[答案] B
[解析] 由3x-x2≥0得,0≤x≤3,
∴A=[0,3],
∵x>1,∴y=2x>2,∴B=(2,+∞),
∴A∩B=(2,3].
(理)(2011·安徽省“江南十校”联考)已知集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q等于( )
A.{3,0}B.{3,0,1}
C.{3,0,2}D.{3,0,1,2}
[答案] B
[解析] 根据题意P∩Q={0},所以log2a=0,
解得a=1从而b=0,可得P∪Q={3,0,1},故选B.
4.(文)(2011·山东文,1)设集合M={x|(x+3)(x-2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=( )
A.[1,2)B.[1,2]
C.(2,3]D.[2,3]
[答案] A
[解析] 由(x+3)(x-2)<0知-3 (理)(2011·福建龙岩质检)已知集合M={x| ≥0},集合N={x|x2+x-2<0},则M∩N=( ) A.{x|x≥-1}B.{x|x<1} C.{x|-1 [答案] D [解析] ∵M={x|x≥-1},N={x|-2 ∴M∩N={x|-1≤x<1},∴选D. 5.(文)(2011·湖北文,1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则∁U(A∪B)=( ) A.{6,8}B.{5,7} C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8} [答案] A [解析] ∵A={1,3,5,7},B={2,4,5},∴A∪B={1,2,3,4,5,7},又U={1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴∁U(A∪B)={6,8}. (理)(2011·北京理,1)已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-1]B.[1,+∞) C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞) [答案] C [解析] P={x|-1≤x≤1},∵P∪M=P,∴M⊆P,即a∈{x|-1≤x≤1},∴-1≤a≤1,故选C. 6.由实数a,-a,|a|所组成的集合里,所含元素最多为( ) A.0个B.1个 C.2个D.3个 [答案] C [解析] 当a=0时,a、-a、|a|代表一个数0, ∵|a|= , ∴当a>0或a<0时,a、-a、|a|仅代表两个数,故所含元素最多为两个. 7.(2011·江苏省苏北四市高三调研)已知集合A=(-∞,0],B={1,3,a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是________. [答案] a≤0 [解析] ∵A=(-∞,0],B={1,3,a},A∩B≠∅, ∴a≤0. 8.(文)已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则集合M∩N=________. [答案] {(3,-1)} [解析] 由于M∩N中元素既属于M又属于N,故其满足 解之得x=3,y=-1. (理)(2011·南京月考)已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},求A∩B. [答案] {(0,1),(-1,2)} [解析] A、B都表示点集,A∩B即是由集合A中落在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,将A中点的坐标代入直线方程检验知,A∩B={(0,1),(-1,2)}. 1.(文)若集合M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x、y∈M},则N中元素的个数为( ) A.9 B.6 C.4 D.2 [答案] C [解析] N={(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)},按x、y∈M逐个验证得出N. (理)已知集合S={3,a},T={x|x2-3x<0,x∈Z},S∩T={1},P=S∪T,那么集合P的子集个数是( ) A.32B.16 C.8D.4 [答案] C [解析] 因为T={x|0 ∴S={1,3},则P=S∪T={1,2,3}, ∴集合P的子集有23=8个,故选C. 2.(2010·辽宁理,1)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁UB)∩A={9},则A=( ) A.{1,3}B.{3,7,9} C.{3,5,9}D.{3,9} [答案] D [解析] 由题意知,A中有3和9,若A中有7或5,则∁UB中无7和5,即B中有7或5,则与A∩B={3}矛盾,故选D. 3.设全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|x<-1或x>2}B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x≤1}D.{x|0≤x≤1} [答案] D [解析] 图中阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知, A={x|0≤x≤2},B={y|-1≤y≤1}, ∴A∩B={x|0≤x≤1},故选D. 4.(文)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是________. [答案] a≤1 [解析] 因为A∪B=R,画数轴可知,实数a必须在点1上或在1的左边,所以,a≤1. (理)若A={x|22x-1≤ },B={x|log x≥ },实数集R为全集,则(∁RA)∩B=________. [答案] {x|0 } [解析] 由22x-1≤ 得,x≤- , 由log x≥ 得,0 , ∴(∁RA)∩B={x|x>- }∩{x|0 } ={x|0 }. 5.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为________. [答案] 2 [解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4或a2=4,若a=4,则a2=16,但16∉A∪B, ∴a2=4,∴a=±2,又-2∉A∪B,∴a=2. 6.设全集U=A∪B={x∈N*|lgx<1},若A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=________. [答案] {2,4,6,8} [解析] A∪B={x∈N*|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}. 7.已知集合A={x|(x2+ax+b)(x-1)=0},集合B满足条件: A∩B={1,2},A∩(∁UB)={3},U=R,则a+b等于________. [答案] 1 [解析] 依题意得1∈A,2∈A,3∈A,因此,2和3是方程x2+ax+b=0的两个根, 所以2+3=-a,2×3=b, ∴a=-5,b=6. ∴a+b=1. 8.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来; (3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围. [解析] 集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合. (1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解,得 ∴a> , 即实数a的取值范围是( ,+∞). (2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x= ; 当a≠0时,应有Δ=0, ∴a= ,此时方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素 , ∴当a=0或a= 时,A中只有一个元素,分别是 和 . (3)A中至多有一个元素,包括A是空集和A中只有一个元素两种情况,根据 (1), (2)的结果,得a=0或a≥ ,即a的取值范围是{a|a=0或a≥ }. 考虑到教师工作繁忙,找题选题辛苦及各地用题难易的差别,本书教师用书中提供了部分备选题,供教师在教学时,根据自己教学的实际情况在备课时选用. 1.设集合A={y|y= },B={y|y=2x,x<1},则A∩B为( ) A.(0, ]B.(2,3] C.[3,+∞)D.[1,3] [答案] A [解析] ∵3x-x2=-(x- )2+ ≤ , 且3x-x2≥0,∴0≤y≤ ,即A=[0, ], ∵x<1,∴y=2x<2,∴B=(0,2),∴A∩B=(0, ]. 2.已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3},定义P⊕Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( ) A.32B.31 C.30D.以上都不对 [答案] B [解析] 由所定义的运算可知P⊕Q={1,2,3,4,5}, ∴P⊕Q的所有真子集的个数为25-1=31.故选B. 3.设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是( ) A.m>-1且n<5B.m<-1且n<5 C.m>-1且n>5D.m<-1且n>5 [答案] A [解析] ∵P∈A,∴m>-1, 又∁UB={(x,y)|x+y-n>0},P∈∁UB, ∴n<5,故选A. 4.设集合P={x|x= + ,k∈Z},Q={x|x= + ,k∈Z},则( ) A.P=QB.PQ C.PQD.P∩Q=∅ [答案] B [解析] P: x= + = ,k∈Z;Q: x= + = ,k∈Z,从而P表示 的“奇数倍”数组成的集合,而Q表示 的所有“整数倍”数组成的集合,故PQ.选B. 5.(2011·辽宁理,2)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩∁IM=∅,则M∪N=( ) A.M B.N C.I D.∅ [答案] A [解析] N∩∁IM=∅,∴N⊆M,∴M∪N=M. [点评] 此类抽象集合问题画Venn图或者用特例法求解尤其简便.请自己试一下. 6.定义差集A-B={x|x∈A且x∉B},现有三个集合A、B、C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可用阴影表示为( ) [答案] A [解析] 如图,A-B表示图中阴影部分,因此,C-(A-B)所含元素属于C,但不属于图中阴影部分. 7.(2010·山东省实验中学)如图,I是全集,A、B、C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.(∁IA∩B)∩CB.(∁IB∪A)∩C C.(A∩B)∩∁ICD.(A∩∁IB)∩C [答案] D [解析] 阴影部分在A中,在C中,不在B中,故在∁IB中,因此是A、C、∁IB的交集,故选D. [点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察,看阴影部分在哪些集合中,不在哪些集合中,注意不在集合M中时,必在集合M的补集中. 8.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集合A×B中属于集合{(x,y)|y=4x}的元素个数为________. [答案] 2 [解析] 满足y=4x的元素为(1,4),(2,8).
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