中考数学几何最值.docx
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中考数学几何最值
中考数学————几何最值
【知识梳理】
1.常见的几何最值问题有:
线段最值问题,线段和差最值问题,周长最值问题、面积最值问题等
2.几何最值问题的基本原理。
①两点之间线段最短②垂线段最短③利用函数关系求最值
一般处理方法:
常用定理:
两点之间,线段最短(已知两个定点时)
垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时)
三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)
构建“对称模型”实现转化
一次对称
1.如图,在锐角△ABC中,AB=4
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.
2、如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_______。
1题图2题图3题图4题图
3.已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是
的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.
4.如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.
正方形中的对称变换
1、如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为_________。
2、如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.2
B.2
C.3D.
3.如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.
二次对称
1.如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=18cm,则△PMN的周长为________。
2.如图,点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=3
,则△PMN周长的最小值为.
1题图2题图3题图
3.如图,∠MON=60°,点A、B为∠MON内两点,∠AOB=30°,OA=3,OB=2
,C、D分别是ON、OM上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为____________.
平移与对称综合
1、如图,A、B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短?
2.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,则点F的坐标为.
3.如图,在四边形ABCD中,AB=1,BC=CD=4,E是BC的中点,∠AED=135°,则AD长度的最大值为_________.
折叠
1.
在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,M、N两点分别是边AB、AC上的
动点,将△AMN沿MN翻折,A点的对应点为A′,连接BA′,则BA′的最小值是_________.
2.如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在
线段AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P.
(1)当P落在线段CD上时,PD的取值范围为;
(2)当P落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值等于.
二次函数求最值
1.如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是 .
2.如图,⊙O的半径为2,直线l与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点B,连接PA,则PA-PB的最大值为____________.
动点轨迹与最值
1、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=6,点D在边AC上,且AD=4.将线段AD绕点A旋转,点M始终为BD中点,则线段CM长度的最大值为_____________.
1题图2题图3题图
2.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是边DC,BC上的动点,DE=CF,连接AE,DF交于点P.当点E从点D运动到点C时,线段CP长的最小值为___________。
3.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,点P是边AB上一动点,PQ⊥PC交BC于Q,则线段QC长度的最小值为____________.
旋转变换与几何最值
1、一锐角三角形,试在三角形内找一点,使该点到三顶点的距离之和最短。
2、已知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
3、定点P到等边△ABC的定点距离AP=2,BP=3,当此三角形的边长、位置都可以改变时,求PC的最大值,并证明你的结论。
4、如图,四边形ABCD内接于圆,∠D=90°,AB=BC,CD=4,AC=8,O是AC的中点.
(1)设P是AB上的动点,求OP+PC的最小值;
(2)设Q、R分别是AB、AD上的动点,求△CQR的周长的最小值.
5.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.将正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,直线AE′与直线BF′相交于点P,则点P的纵坐标的最大值为___,最小值为__.
6、如图,矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场,A、D是入口.现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台Q,求铺设公路AP、DP以及PQ的长度之和的最小值为多少米?
7.△ABC中,BC=a,AC=b.如图1,以AB为边向△ABC外作等边△ABD,则当∠ACB=___°时,C、D两点的距离最大,最大值为______;如图2,以AB为边向△ABC外作正方形ABDE,则当∠ACB=__________°时,点C到正方形ABDE的中心O的距离最大,最大值为_____________.
【中考几何最值类问题欣赏】
1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意
一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
+1时,求正方形的边长.
2、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=
.点D在边AC上(不与A,C重合),连结BD,F为BD中点.
(1)若过点D作DE⊥AB于E,连结CF、EF、CE,如图1.设
,则k=;
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示.求证:
BE-DE=2CF;
(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点求线段CF长度的最大值.
【思维发散】
1.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,点E、F分别在边AB、AC上,且BE=AF,过点A作AH⊥EF于H,则AH的长的最大值为____________
1题图2题图
2.如图,AB是⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,∠ABC=60°,P是⊙O上一动点,D是AP的中点,连接CD,则CD的最小值为____________.
3题图4题图
3.如图,正方形ABCD的边长为1,点M、N分别在BC、CD上,且△CMN的周长为2,则△AMN的面积的最小值为_____________.
4.如图,直线PA与⊙O交于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AC平分∠PAE,CD⊥PA于D.若DA+DC=4,则⊙O半径的最小值为____________.
5.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2
,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________.
6.如图,AB是半圆O的直径,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,点P是半圆上一动点.已知AB=2,AC=1,BD=3,则封闭图形ABDPC面积的最大值为___________.
5题图6题图
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