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数学的来历.docx
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数学的来历
罗素悖论
2003-9-12 古今数学家
一天,萨维尔村理发师挂出一块招牌:
“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发。
”于是有人问他:
“您的头发由谁理呢?
”理发师顿时哑口无言。
因为,如果他给自己理发,那么他就属于自己给自己理发的那类人。
但是,招牌上说明他不给这类人理发,因此他不能自己理。
如果由另外一个人给他理发,他就是不给自己理发的人,而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发,因此,他应该自己理。
由此可见,不管怎样的推论,理发师所说的话总是自相矛盾的。
这是一个著名的悖论,称为“罗素悖论”。
这是由英国哲学家罗素提出来的,他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础。
到19世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。
就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论,它极为简单、明确、通俗。
于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”。
此后,为了克服这些悖论,数学家们做了大量研究工作,由此产生了大量新成果,也带来了数学观念的革命。
向量
2003-6-23 古今数学家
向量又称为矢量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚力士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向.但是在高等数学中还有更广泛的向量.例如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的多项式都可看成一个向量.在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了.因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.
向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学.
但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析.
三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪SO年代各自独立完成的.他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具.
梅森素数
2003-6-19 古今数学家
梅森素数是数论中非常重要的一类素数,它在纯数学、不可破译的编码和加密解密领域都有应用。
GIMPS是一个互联网上的分布式计算系统,专门用来寻找梅森素数。
GIMPS的设计者之一乔治。
沃特曼说:
“除了已发现的以外还存在许多这样的素数,任何人只要拥有一台能够上网的计算机,就可以加入GIMPS”.他们在共同使用一个软件来寻找梅森素数,.
1999年6月1日发现了第三十八个梅森素数,,它等于2的6972593次方再减去1,这个数有2098960位,是由美国的NayanHajratwala(纳扬)用了111天才找到的.他赢得了EFF公司为此而设立的5万美元的奖金,此奖是为第一个发现一百万位以上的素数设立的,如果谁第一个发现了一千万位以上的素数,将赢得10万美元的奖金.
第39个梅森素数是:
2的13,466,917次方减1,它有4,053,946位十进制数字。
这个新的梅森素数是由一位20岁的加拿大青年麦克尔.卡梅隆(MichaelCameron)用一台雷鸟800MHz的PC机花了45天时间发现的。
他是GreatInternetMersennePrimeSearch(Gimps)。
参加者之一。
现在已经有十三万人参加其中。
有理数
2003-6-19 古今数学家
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数,中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。
分数的使用是由于除法运算的需要。
除法运算可以看作求解方程px=q(p≠0),如果p,q是整数,则方程不一定有整数解。
为了使它恒有解,就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论,可用如下方法建立。
在Z×(Z-{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系:
设p1,p2Z,q1,q2Z-{0},如果p1q2=p2q1。
则称(p1,q2)~(p2,q1)。
Z×(Z-{0})关于这个等价关系的等价类,称为有理数。
(p,q)所在的有理数,记为。
一切有理数所成之集记为Q。
令整数p对应一于,即(p,1)所在的等价类,就把整数集嵌入到有理数的集中。
因此,有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
整数
2003-6-19 古今数学家
在自然数集N之外,再引入新的元素0,-1,-2,-3,…,-n,…。
称N中的元素为正整数,称0为零,称1,-2,-3,…,-n,…。
为负整数。
正整数、零与负整数构成整数系。
零不仅表示"无"它在命数法中还个有特殊的意义:
表示空位的符号。
中国古代用算筹计数并进行运算,空位不放算筹,虽无空位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。
印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的零(sunya)字,其原意也是"空"或"空白"。
中国最早引入了负数。
《九童算术·方程》中论述的"正负术",就是整法的加减法。
减法运算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然数,则方程未必有自然数解。
为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。
关于整数系的严格理论,可用下述方法建立。
在N×N(即自然数有序对的集)上定义如下的等价关系:
对于自然有序对(a1,b1),(a2,b2),如果a1+b2=a2+b1,就说(a1,b1)~(a2,b2),N×N,关于上述等价关系的等价类,称为整数。
一切整数的集记为Z。
自然数
2003-6-19 古今数学家
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。
古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。
现在使用的英语calculate(计算)一词是从希腊文calculus(石卵)演变来的。
中国古代《易·系辞》中说,上古结绳而治,后世圣人易之以书契,这都是匹配计算法的反映。
集合的基数具有元素"个数"的意义,当集合是有限集时,该集合的基数就是自然数。
由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法(见算术)
为了计数,必须有某种数制,即建立一个依次排列的标准集合。
随后对某一有限集合计数。
就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应,所对应的最后的项,就标志着给定集合元素的个数。
这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理,这里"集合"、"含有"、"自然数"、"后粥"等是不加定义的。
①是自然数。
②不是任何其它自然数的后继。
③每个自然数都有一个后继(a的后记为)
④a/=b/蕴含a=b
⑤设S是自然数的一个集合。
如果S含有1,且S含有a/蕴含S含有,则S含有任何自然数。
公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。
一切自然数集记为{1,2,3,…,n…},简记为N。
从上述公理出发,可以定义加法和乘法,它们满足交换律与结合律,加法与乘法满足分配律。
对数
2003-6-18 古今数学家
对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?
在数学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550-1617年)男爵。
在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科。
可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数。
当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。
在纳皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?
在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。
让我们来看看下面这个例子:
0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的:
第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂。
如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如,计算64×256的值,就可以先查询第一行的对应数字:
64对应6,256对应8;然后再把第一行中的对应数字加和起来:
6+8=14;第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有:
64×256=16384。
纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。
回忆一下,我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的不正是这种思路吗:
计算两个复杂数的乘积,先查《常用对数表》,找到这两个复杂数的常用对数,再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是原先那两个复杂数的乘积了。
这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路,不正是对数运算的明显特征吗?
经过多年的探索,纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》,向世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点。
所以,纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”,理应在数学史上享有这份殊荣。
伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。
法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(PierreSimonLaplace,1749-1827)曾说:
对数,可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
概率论
2003-6-12 古今数学家
概率论产生于十七世纪,本来是又保险事业的发展而产生的,但是来自于赌博者的请求,却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年,有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题:
“两个赌徒相约赌若干局,谁先赢m局就算赢,全部赌本就归谁。
但是当其中一个人赢了a(a 问: 赌本应该如何分法才合理? ”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。 三年后,也就是1657年,荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题,结果写成了《论机会游戏的计算》一书,这就是最早的概率论著作。 近几十年来,随着科技的蓬勃发展,概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。 许多兴起的应用数学,如信息论、对策论、排队论、控制论等,都是以概率论作为基础的。 概率论和数理统计是一门随机数学分支,它们是密切联系的同类学科。 但是应该指出,概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。 费马大定理 2003-6-7 古今数学家 300多年以前,法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理: “设n是大于2的正整数,则不定方程xn+yn=z没有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明,但因书上空白太小,他写不下他的证明。 300多年过去了,不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它,但不是无功而返就是进展甚微。 这就是纯数学中最著名的定理—费马大定理。 费马(1601年~1665年)是一位具有传奇色彩的数学家,他最初学习法律并以当律师谋生,后来成为议会议员,数学只不过是他的业余爱好,只能利用闲暇来研究。 虽然年近30才认真注意数学,但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。 他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何,同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。 费马特别爱好数论,提出了许多定理,但费马只对其中一个定理给出了证明要点,其他定理除一个被证明是错的,一个未被证明外,其余的陆续被后来的数学家所证实。 这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理,因为是最后一个未被证明对或错的定理,所以又称为费马最后定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明,但已经有了很大进展,特别是最近几十年,进展更快。 1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。 1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=z只能有有限多组解,他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。 1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理,但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。 虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认,但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。 毫无疑问,这使人们看到了希望。 四色问题 2003-6-7 古今数学家 英国人格思里于1852年提出四色问题(fourcolourproblem,亦称四色猜想),即在为一平面或一球面的地图着色时,假定每一个国家在地图上是一个连通域,并且有相邻边界线的两个国家必须用不同的颜色,问是否只要四种颜色就可完成着色。 1878年英国数学家凯莱重新提出这问题,引起人们关注。 次年,英国数学家肯普提出用可约构形证明四色问题,虽然他的证明过程有漏洞,但为该问题的解决指出方向。 1890年英国人希伍德沿着这方向证明了任何地图只用五种颜色着色便够了,取得初步进展。 1913年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。 1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色,推进了四色问题的研究。 70年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集,因为用它可以通过数学归纳法证明四色问题。 1976年美国数学家哈肯和阿佩尔花了1200多小时的电子计算器工作时间,找到一个由1936个可约构形所组成的不可免完备集,因而在美国数学会通报上宣称证明了四色猜想。 后来他们又将组成不可免完备集的可约构形减至1834个。 四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑论、有限射影几何和计算器编码程序设计等理论的发展起了推动作用。 复数 2003-6-4 古今数学家 我们知道,在实数范围内,解方程是无能为力的,只有把实数集扩充到复数集才能解决.对于复数a+bi(a、b都是实数)来说,当b=0时,就是实数;当b≠0时叫虚数,当a=0,b≠0时,叫做纯虚数.可是,历史上引进虚数,把实数集扩充到复数集可不是件容易的事,那么,历史上是如何引进虚数的呢? 16世纪意大利米兰学者卡当(1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数’‘与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来. 数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家菜不尼茨(1664—1716)在1702年说: “虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说;“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达兰贝尔(.1717—1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明: 现行教科书中没有使用记号=-i,而使用=一1).法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了,这就是著名的探莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视. 德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a+bi.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了. 经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集. 随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据. 哥德巴赫猜想 2003-6-2 古今数学家 1742年6月7日,德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中,提出了两个大胆的猜想: 一、任何不小于6的偶数,都是两个奇质数之和; 二、任何不小于9的奇数,都是三个奇质数之和。 这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。 显然,第二个猜想是第一个猜想的推论。 因此,只需在两个猜想中证明一个就足够了。 同年6月30日,欧拉在给哥德巴赫的回信中,明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理,但是欧拉当时还无法给出证明。 由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家,他对哥德巴赫猜想的信心,影响到了整个欧洲乃至世界数学界。 从那以后,许多数学家都跃跃欲试,甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。 可是直到19世纪末,哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。 证明哥德巴赫猜想的难度,远远超出了人们的想象。 有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。 我们从6=3+3、8=3+5、10=5+5、……、100=3+97=11+89=17+83、……这些具体的例子中,可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。 有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数,竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。 20世纪,随着计算机技术的发展,数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。 可是自然数是无限的,谁知道会不会在某一个足够大的偶数上,突然出现哥德巴赫猜想的反例呢? 于是人们逐步改变了探究问题的方式。 1900年,20世纪最伟大的数学家希尔伯特,在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。 此后,20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒,终于取得了辉煌的成果。 20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法,是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。 解决这个猜想的思路,就像“缩小包围圈”一样,逐步逼近最后的结果。 1920年,挪威数学家布朗证明了定理“9+9”,由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。 这个“9+9”是怎么回事呢? 所谓“9+9”,翻译成数学语言就是: “任何一个足够大的偶数,都可以表示成其它两个数之和,而这两个数中的每个数,都是9个奇质数之和。 ”从这个“9+9”开始,全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”,当然最后的目标就是“1+1”了。 1924年,德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。 很快,“6+6”、“5+5”、“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。 1957年,我国数学家王元证明了“2+3”。 1962年,中国数学家潘承洞证明了“1+5”,同年又和王元合作证明了“1+4”。 1965年,苏联数学家证明了“1+3”。 1966年,我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”,也就是: “任何一个足够大的偶数,都可以表示成两个数之和,而这两个数中的一个就是奇质数,另一个则是两个奇质数的和。 ”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。 由于陈景润的贡献,人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“
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