初中数学重点知识点总结归纳完整版.docx
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初中数学重点知识点总结归纳完整版
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《有理数》知识点总结归纳
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数:
比0小的数
正数:
比0大的数
0既不是正数,也不是负数
注意:
①字母a可以表示任意数,当
a表示正数时,-a是负数;当
a表示负数时,-a是正
数;当a表示0时,-a
仍是0。
(如果出判断题为:
带正号的数是正数,带负号的数是负数,
这种说法是错误的,例如
+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加
“+”,有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:
零上8℃表示为:
+8℃;零下8℃表示为:
-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“
没有”,如教室里有
0个人,就是说教室里没有人;
⑵0是正数和负数的分界线,
0既不是正数,也不是负数。
如:
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(
0和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:
只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是
有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
注意:
引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,
像-2,-4,-6,-8
也是偶数,-1,-3,-5
也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
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正整数
正整数
整数
正有理数
0
负整数
正分数
有理数
有理数
(0不能忽视)
0
正分数
负整数
分数
负有理数
负分数
负分数
总结:
①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,
三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,
正有理数可用原点右边的点表示,
负有理数可
用原点左边的点表示,
0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,
有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于
0,负数都小于
0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
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4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是
0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是
1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是
-1,无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示
a是正数;反之,
a是正数,则
a>0;
⑵a<0表示
a是负数;反之,
a是负数,则
a<0
⑶a=0表示
a是0;反之,a是0,,则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,
向右移动几个单位长度则加上几,
从而得
到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,
0的相反数是
0。
注意:
⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是
0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数是
0;
⑶互为相反数的两数和为
0,和为0的两数互为相反数,即
a,b互为相反数,则
a+b=0
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3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,
是互为相反数;
互为相反数的两个数,
在数
轴上的对应点(
0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;原点
表示0的相反数。
说明:
在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“
-”即可求得(如:
5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“
-”,然后化简(如;
5a+b的相反
数是-(5a+b)。
化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“
-”,然后化简(如:
-5
的相反数是-
(-5),化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地,数
a的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或
0。
当
a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当
a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当
a=0时,-a=0,(0的相反数是
0)
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:
“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;
“-”号的个数决定
最后化简结果;即:
“-”的个数是奇数时,结果为负,
“-”的个数是偶数时,结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数
a的点与原点的距离叫做
a的绝对值,记作
|a|。
2.绝对值的代数定义
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⑴一个正数的绝对值是它本身;
⑵一个负数的绝对值是它的相反数;
⑶0的绝对值是
0.
可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a;
②如果a<0,那么|a|=-a;
③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:
a≥0,<═>|a|=a
(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负
数。
)
②a≤0,<═>|a|=-a
(非正数的绝对值等于其相反数;
绝对值等于其相反数的数是非正数。
)
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,
也就是说绝对值具有非负性。
所以,a取任何有理数,
都有|a|≥0。
即⑴0的绝对值是
0;绝对值是
0的数是0.即:
a=0<═>|a|=0
;
⑵一个数的绝对值是非负数,
绝对值最小的数是0.即:
|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。
即:
|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,
它们互为相反数。
即:
若|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。
即:
或若a+b=0,则|a|=|b|;
|-a|=|a|
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。
即:
,则a=b或a=-b;
|a|=|b|
⑺若几个数的绝对值的和等于
0,则这几个数就同时为
0。
即|a|+|b|=0,则
a=0且
b=0。
(非负数的常用性质:
若几个非负数的和为
0,则有且只有这几个非负数同时为
0)
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:
数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:
两个负数比较大小,
绝对值大的反而小;
异号两数比较
大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a
;
②当a≤0时,|a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
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一个数a的绝对值就是数轴上表示数
a的点到原点的距离,
一般地,绝对值为同一个正数的
有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为
0的数是0,没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵绝对值不相等的异号两数相加,
取绝对值较大的加数的符号,
并用较大的绝对值减去较小
的绝对值;
⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:
a+b=b+a
⑵加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”
;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”
;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”
;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”
;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”
。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加
0后的和等于原数。
即:
⑴当b>0时,a+b>a
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